2.圆的综合题- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 圆的综合题 类型1切线圆有关的计算 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且 与BC边相交于点E. (1)求证：AC是⊙D的切线： (2)若CE=23,求⊙D的半径. B D (1)证明：如答图，连接AD, .AB=AC,∠BAC=120°， .∠B=∠C=30° .AD=BD, .∠BAD=∠B=30°， .∠ADC=60°， .∠DAC=180°-60°-30°=90°， ..ADLAC, AC是⊙D的切线， (2)解：如答图，连接AE. :AD=DE,∠ADE=60°， .△ADE是等边三角形， .AE=DE,∠AED=60°， .∠EAC=∠AED-∠C=30°， ∠EAC=∠C .AE=CE=23,.DE=23, .⊙D的半为23. 2.如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切 线，交AD的延长线于点C,E是BC的中点，连接DE并延长与 AB的延长线交于点F (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)若OB=BF,EF=4,求AD的长 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)证明：如答图，连接BD,OD :AB为⊙O的直径， :.∠ADB=∠BDC=90° 4 在Rt△BDC中，：E是BC的中点， B ∴DE=EC=BE, .∠1=∠3 :BC是⊙O的切线， .∠3+∠4=90°， .∠1+∠4=90° 又，OD=OB,∠2=∠4， ∠1+∠2=90°， OD⊥DF,DF是⊙O的切线 (2)解：OB=BF, .OF=20B=20D, .∠F=30° :∠FBE=90°， .BE=12EF=2, .DE=BE=2, .DF=6 .∠F=30°，∠ODF=90°，.∠FOD=60° .OD=OA, .∠A=∠ADO=12∠FOD=30°， .∠A=∠F, ∴.AD=DF=6 D 3.如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD,OP与AB的 延长线交于点P,点C在OP上，且BC=PC (I)求证：直线BC是⊙O的切线： B (2)若OA=3,AB=2,求BP的长， (1)证明：连接OB .OA=OB,.∠A=∠OBA 又，BC=PC,.∠P=∠CBP .OP⊥AD, ,∠A+∠P=90°， .∠OBA+∠CBP=90°， 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP)=90° :点B在⊙O上， :直线BC是⊙O的切线. (2)解：连接DB :AD是⊙O的直径， :.∠ABD=90°， .Rt△ABD-Rt△AOP, ∴.ABAO=ADAP,即23=6AP, .AP=9, .BP=AP-AB=9-2=7. 4.如图，⊙O的直径AB=4,C,D为圆周上两点，且四边 形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC,交BA,BC的 D 延长线于点E,F E A (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)求DE的长. (I)证明：，AB是⊙O的直径，：.∠ACB=90° :四边形OBCD是菱形，.ODBC ∴∠1=∠ACB=90° :EFAC,.∠2=∠1=90 :OD是⊙O的半径，EF是⊙O的切线， (2)解：连接OC :直径AB=4,.半径OB=OC=2 :四边形OBCD是菱形， .OD=BC=OB=OC=2,.∠B=60°. ∵ODBC,∴.∠EOD=∠B=60° 在Rt△EOD中，DE=OD-tan∠EOD=2×tan60°=23 5. 2.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为 A 圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. (1)求证：CD与⊙O相切； (2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径. B (I)证明：连接OM,过点O作ON⊥CD于点N :⊙O与BC相切于点M, 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴.OMLBC,OM为⊙O的半径. :四边形ABCD是正方形，.AC平分∠BCD 又，OM⊥BC,ON⊥CD, .OM=ON,.CD与⊙O相切. (②)解：四边形ABCD为正方形， .AB=CD=1,∠B=90°，∠ACD=45°， .AC=2,∠MOC=∠MCO=45°， ..MC-OM=0A, .OC=OM 2+MC2=20M=20A. 又：AC=OA+OC, .OA+2OA=2,.OA=2-2, 即⊙0的半径为2-2 3.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的⊙O与AD,AC 分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE (I)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若an∠ACB=2)2,BC=2,求⊙O的半径 解：(1)直线CE与⊙O相切. 证明如下： :四边形ABCD是矩形， :BCIAD,∠ACB=∠DAC 又，∠ACB=∠DCE, .∠DAC=∠DCE, 如答图，连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE :∠DCE十∠DEC=90°， .∠AEO+∠DEC=90°， .∠OEC=90°，即OE⊥CE 又OE是⊙O的半径， :直线CE与⊙O相切. (2)·tan∠ACB=ABBC=2)2,BC=2, .AB=2, AC=AB2+BC2=2+4=6 又，∠ACB=∠DCE, ∴.tan∠DCE=tan∠ACB=2)2, 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ∴.DE=DC.tan.∠DCE=l 方法一：在Rt△CDE中，CE=CD2+DE2=3, 设⊙O的半径为，在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2,即(6-2=r2+3, 解得r=6)4,即⊙0的半径为64. 方法二：AE=AD-DE=1.如答图，过点O作OM⊥AE于点M,则AM=12AE=I2. 在Rt△AMO中，OA=AMcos∠EAO=AMcos.∠DAC=AMADAC=12÷2r(6)=6)4,即⊙ 0的半径为6)4 4.如图，AH是⊙O的直径，矩形ABCD交⊙O于点E,连接AE,将矩形ABCD沿AE折 叠，使点B落在CD边上的点F处，画直线EF (I)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径. (1)证明：如答图，连接OE OA=OE ∴.∠EAO=∠AEO, 由折叠可得∠EAO=∠FAE, .∠FAE=∠AEO, :.AFlOE, .∠AFE+∠OEF=180° 在矩形ABCD中，∠ABC=90°， 由折叠可知∠AFE=∠ABE=90°， .∠OEF=90°， ∴.OELEF,且点E在⊙O上，OE为⊙O的半径， .直线EF是⊙O的切线 (2)解：，四边形ABCD是矩形，CD=10, AB=CD=10,∠ABE=90°， 设OA=OE=x,则OB=10一x, 在Rt△OBE中，∠OBE=90°，EB=5, 由勾股定理可得OB2+BE2=OE2, ∴(10-x)2+52=x2,解得x=254, .AH=2x=252, 即⊙0的直径为252 5.如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上，CD⊥AB,CD=AB,连接CB,与OO相 交于点F,过点F作OO的切线EF,，交CD于点E, (1)求证：EF=EC; ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)若点D是OA的中点，AB=4,求BF的长 A D C (1)证明：连接0F, :EF是圆切线， :OF⊥EF, .LBF0+LCFE=90°， :CD⊥AB, LB+∠C=90°， :0B=0F, :ZB ZBFO :ZCFE ZC :EF=EC 0 0 E B (2)解：连接AF, :AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°， .BC=VBD2+CD2=V32+42=5, :LAFB=∠CDB=90°，∠FBA=∠DBC, :△FBA∽△DBC, BF AB BD BC 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 BF=AB·BD4x312 BC 55 D B F 6.如图，△ABC内接于⊙0，连接B0并延长交⊙0于点D,连接AD,过点C作⊙0的切 线，交AD的延长线于点E,且BD//CE. (1)求证：AC平分∠BAD; (2)若BC=4,DE=8,求AB的长. y C (1)证明：如图，连接0C, :CE是⊙0的切线， .0C⊥CE, :BD //CE, OC⊥BD, LB0C=∠D0C=90°， 由圆月角定理得：∠B1C=B0C,∠D1C=D0C, :LBAC=LDAC,即AC平分∠BAD; (2)解：如图，连接CD, :∠B0C=∠D0C, :DC=BC=4, ·.:四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∠ABC+∠ADC=180°， :∠CDE+∠ADC=180°， :ZABC Z CDE 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 :BD //CE, ∠ADB=∠E, ZADB=ZACB, :ZACB ZE ..△BAC∽△CDE, 光能即华黄 4=8 解得：AB=2. A B E 7.如图，Rt△AEF中，∠AEF=90°，点O为边AF上一点，以O为圆心，OA为半径的圆 与AE交于点C,与EF相切于D,点P为⊙O上一点. (1)求证：BD=CD; (2)若sin∠APC=3'BF=2,求AE的长. B C D (1)证明：连接0C、0D,则0C=0A, :EF与⊙O相切于点D, EF⊥OD, :LODF=∠AEF=90°， :OD //AE, :ZBOD ZOAC ZCOD=Z0CA, :∠0AC=∠0CA, :ZBOD ZCOD 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 .BD=CD. (2)解：连接CB,则∠ABC=∠APC, 以0为圆心，OA为半径的圆与AF交于点B, AB是⊙0的直径， ∠ACB=∠AEF=90°， :CB//EF, :ZABC ZF :ZF ZAPC AE、OD ·AF-OF sinF=sin∠APC= AE=号F,0=专OF, 1 :0D=0A=0B,BF=2, .AF=0A+0B+BF=20D+2,0F=0B+BF=0D+2, 0D=0D+2, 解得0D=1, :AF=2×1+2=4, 1 4 ∴AE=5×4= 3 3 :AE的长为4 D B D 8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD,过点C作Q0的切线交DB的延长 线于点E,且∠E=90°，连接AC. (1)求证：∠ACD=2LA; (2)若O0的半径为5，AC=8,求BD的长. 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D E Q (1)证明：连接0C, :CE与⊙0相切于点C, CE⊥0C,∠0CE=90°， :∠E=90°， .∠0CE+∠E=180°， :0C //DE, :LBOC=∠ABD=∠ACD, :∠B0C=2LA, :Z ACD 2ZA (2)解：连接BC, :AB是⊙O的直径， LACB=∠0CE=∠E=90°， 0C=0B, :∠OCB=∠ABC, :∠BCE+∠0CB=90°，∠A+LABC=90°， ·LBCE=LA=LD, :00的半径为5，AC=8, :AB=2×5=10, BC=VAB2-AC2=V102-82=6, ..BE BC 加∠CE=n4-6合}是-sLCE:m升：4C8手 =AB105’BC AB10=5 CE DE =tan D=tan 4=BC=6_3 AC84 DE-BC-x 5CE= *624 C=4. 4.2432 独家授权侵权必究·