精品解析：江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期5月第四次调研考试数学试题

南京市励志高级中学2024--2025高一年级 第二学期第四次调研考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 11. 已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（ ） A B. 若 ，则 有两解 C. 当时， 为直角三角形 D. 若 为锐角三角形，则 的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的内角、、所对边长分别为、、，且，则____． 13. 已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数________． 14. 已知函数最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. （1）求证：平面； （2）若为中点，求证：平面平面. 18. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学2024--2025高一年级 第二学期第四次调研考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷､草稿纸上作答无效． 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 4. 某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A. 40，32 B. 42，30 C. 44，28 D. 46，26 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数． 【详解】根据分层抽样原理知，，， 所以抽取男生40人，女生32人． 故选：A. 5. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8. 已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解. 【详解】连接，，由， 可知：和是等边三角形， 设三棱锥外接球的球心为， 所以球心到平面和平面的射影是和的中心，， 是等边三角形，为中点， 所以，又因为侧面底面，侧面底面， 所以底面，而底面，因此，所以是矩形, 和是边长为的等边三角形， 所以两个三角形的高， 在矩形中，，连接， 所以， 设过点的平面为，当时， 此时所得截面的面积最小，该截面为圆形， ， 因此圆的半径为：，所以此时面积为， 当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：， 所以截面的面积范围为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确. 【详解】由题意， ，A错误； ，，所以B正确，C错误； ，D正确. 故选：BD. 10. 函数（）的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可. 【详解】依题意，， 由，得，解得，而， 解得，，的最小正周期为，A正确； 是偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：ACD 11. 已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若 ，则 有两解 C. 当时， 为直角三角形 D. 若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及可得或，即可判断C；通过求的取值范围，并将即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，故，所以， 化解得，即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，得， 由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误； 对于C，因为，两边平方得， 由余弦定理得， 由两式消得，，解得或， 由解得， 由解得; 故为直角三角形，故C正确； 对于D，因为为锐角三角形，且， 所以， 即， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的内角、、所对边长分别为、、，且，则____． 【答案】 【解析】 【分析】应用余弦定理求出角即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数________． 【答案】9 【解析】 【分析】因删除一个数平均值没有改变，所以删除数为均值5，根据方差公式可以求. 【详解】由题意删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意，得， 删除一个数后的方差为： 得，即， 故答案为：9 14. 已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可. 【详解】因为. 又函数最小正周期为，且，所以. 所以. 当时，，所以 做函数，的草图如下： 函数图象关于直线对称. 设，则，.， 所以， ， 解得或（舍去）. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于设，根据题意列出，坐标，根据纵坐标的关系列式，求出的值，再求点纵坐标. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算； （2）因在上的投影向量为，代入（1）中求得的，，计算和即得； （3）根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线,列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由于与的夹角为， 所以，即，解得， 则，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为； 【小问3详解】 由（1）知，，则， ， 由于与所成的角是锐角， 所以,即：， 解得且，即实数的取值范围为. 16. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由两角和的正切公式得到的值； （2）由向量数量积的坐标运算得，因为，利用诱导公式求得的值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 ，所以， . 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. （1）求证：平面； （2）若为中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，由且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，证得平面，由（1）可得平面，结合面面平行的判定定理，即可得证. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 因为底面是正方形，底面，且分别是的中点， 所以，且，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为为中点，连接，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面. 18. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以周长为. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $