第二十章 勾股定理 单元测试卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 勾股定理单元测试卷，90分钟120分，涵盖选择、填空、解答题，全面考查勾股定理及逆定理的应用、实际问题解决与创新探究，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理计算、逆定理判断、赵爽弦图|结合折叠（题8）、光线反射（题4）考查空间观念| |填空题|6/18|等腰三角形面积、正方形面积关系、规律探究|网格角度计算（题13）、动点最值（题15）体现几何直观| |解答题|8/72|实际应用（摆钟、云梯）、直角三角形证明、勾股分割点|新能源充电桩（题22）关联双碳热点，定义新题型（题24）培养创新意识|

第二十章 勾股定理 单元测试卷 时间：90 分钟 分值:120分 得分： 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.在△ABC中,∠C=90°,若AC=8,AB=10,则BC的长是( ) A.7 B.6 C.5 D.2 2.在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.3,4, B.1,1, C.6,12,13 D. 3.如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D 的面积依次为4，5，20，则正方形 B 的面积为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 4.一束光线从y轴上一点A(0，1)出发，经过x 轴上的点C，然后反射经过点 B(-3，3)，则光线从点 A 到点 B 经过的路线长是 ( ) A.4 B.5 C. D.6 5.如图,在四边形ABCD 中,∠D=90°,AD=3,CD=1,AB= ，则四边形ABCD 的面积是 ( ) A.5 B.4 C. D.8 6.如图，把一个含 45°角的三角尺放入2×4的网格中，三角尺的三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示—1的点重合，则数轴上点 A 所表示的数为 ( ) A.2 B. C. D. 7.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足 ,则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 8.如图,在长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为EF,则△ABE 的面积为( ) A.3cm² B.4 cm² C.6 cm² D.12 cm² 9.一个长、宽、高分别是a cm，b cm，c cm的长方体无盖盒子如图所示，已知一根木棒长为7 cm，且 DC⊥AC.通过计算发现，能放入此木棒的长方体无盖盒子的规格是 ( ) A. a=6cm,b=2cm,c=2cm B. a=5cm,b=3cm,c=3cm C. a=4 cm,b=4 cm,c=4 cm D. a=5cm,b=5cm,c=1cm 10.我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形ABCD,如图,连接AC,交 BE于点 P.若 S△CPF-S△AEP=3.5,AE+EB=7,则正方形 ABCD的面积为 ( ) A.28 B.25 C.30 D.24 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.在△ABC 中,若 AB =AC =5,BC =6,则△ABC 的面积为 . 12.如图，直线l 上有三个正方形，若a，b的面积分别为6和16，则c 的面积为 . 学科网（北京）股份有限公司 13.如图,点 A,B,C,D 均在正方形网格格点上,则∠DAC—∠BAC= °. 14.如图,Rt△ABC 的两直角边长分别为1,2,以 Rt△ABC 的斜边AC为一直角边，另一直角边长为1画第2个 Rt△ACD；再以 Rt△ACD 的斜边AD 为一直角边，另一直角边长为 1 画第3个 Rt△ADE；….依次类推，则第 n 个直角三角形的斜边长是 . 15.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC.若P,Q分别是AD 和AC上的动点,则 PC+PQ的最小值为 . 16. 如图，已知在平面直角坐标系中， B(2,0),C(0,2),点P 在x 轴上运动,当点 P 与A,B,C 三点中任意两点构成直角三角形时，点P 的坐标为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共72分) 17.(8分)如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=6cm；当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10 cm,求钟摆AD 的长度. 学科网（北京）股份有限公司 18.(8分)如图，一根木杆在离地面3m 的点 B 处折断，木杆顶端C 落在离木杆底端4m 处. (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在点 D 处折断，木杆顶端C 落在离木杆底端3m 处,求 AD 的长. 19.(8分)如图，某小区有一块三角形空地ABC，现计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD，DE 隔开，且 DE⊥AB.经测量,AB=15 m,AC=13 m,AD=12 m,BD=9 m.求： (1)CD 的长; (2)BE 的长. 20.(8分)在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1.求: (1)△ABC 的周长; (2)AB 上的高CD 的长. 学科网（北京）股份有限公司 21.(8分)每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练.如图，云梯AC 的长为25 m，云梯顶端C 靠在教学楼外墙OC 上(墙与地面垂直)，云梯底端A 与墙角O的距离为7 m。 (1)求云梯顶端C 与墙角O 的距离CO 的长； (2)现云梯顶端C下方4m 的D 处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点 D 处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为多少米? 22.(10分)随着“双碳”目标的提出，减少能源消耗和碳排放对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD 为充电桩，BC 和AC 分别为两侧充电线伸出后的最长距离.已知在 中，CD⊥AB 交AB 于点 D,AC=20,BC=15,CD=12.求证： 是直角三角形. 23. D(10分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,∠CBE=45°,BE 分别交AC,AD 于点E,F. (1)若AB=13,BC=10,求AF 的长; (2)若AF=BC,BH=EF,用等式表示线段AE,EF,BF 之间的数量关系并证明. 24.新趋势综合与实践(12 分)定义:如图,点 M,N 把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB 为边的三角形是直角三角形，则称点 M，N是线段AB 的“勾股分割点”. 【数学思考】 (1)已知点 M,N 把线段AB 分割成AM,MN,NB.若AM=4,MN=5,NB=6,则点M,N 是线段AB 的“勾股分割点”吗?封请说明理由. 【深入探究】 (2)已知点 M,N 是线段AB 的“勾股分割点”. ①“善思小组”提出问题:若 MN 是以AM,MN,NB 为边的三角形的最长边,且AM=BN=2,求AB 的长; ②“智慧小组”提出问题:若AM 是以AM,MN,NB 为边的三角形的直角边,且AM=8,AB=24,请直接写出 BN 的长. 1. B 在△ABC中,∵∠C=90°,AC=8,AB=10, ∴根据勾股定理，得 符合勾股定理的逆定理，不符合题意. 符合勾股定理的逆定理，不符合题意. 不符合勾股定理的逆定理，符合题意. ，符合勾股定理的逆定理，不 符合题意. 3. D ∵5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∵正方形A,C,D 的面积依次为4,5,20, 4. B 如图,作点 A 关于x 轴的对称点 A',连接 A'C,则A'(0,-1),AC=A'C,且B,C,A'三点共线. 作 BD∥AA',A'D∥ OC,DB 与A'D 交于点D, ∴光线从点 A 到点 B 经过的路线长是AC+BC=A'C+ 即光线从点 A 到点 B 经过的路线长是 5. 5. B 如图,连接 AC. ∵∠D=90°,AD=3,CD=1, 又∵AB=BC= ∴∠B=∠D=90°, 6. C 如图，设直角顶点 C与数轴上表示-1的点重合. 由题意，知 ∴数轴上点A 所表示的数为 8. C ∵将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，∴BE=ED. ∵AD=9 cm=AE+DE=AE+BE, ∴BE=9-AE. 根据勾股定理可知， 解得AE=4 cm, 9. D 如图,连接AD. A.由勾股定理，得 7 cm，故选项 A不符合题意. B.由勾股定理，得 7 cm，故选项B不符合题意. C.由勾股定理，得 7 cm，故选项C不符合题意. D.由勾股定理，得 7 cm,故选项 D符合题意. 10. A 11.12 取 BC 的中点 D,连接 AD(图略). ∵AB=AC=5,∴AD⊥BC,BD=3, 12.10 如图,A,B,C,D,E,F,G均为正方形的顶点,其中点E,B,C,D,G在直线l上. ∵∠ABE=∠FDG=90°,∴∠ABC=∠CDF=90°. ∵∠ACF=90°,∴∠ACB=∠CFD=90°-∠FCD. 在△ABC 和△CDF 中, ∴△ABC≌△CDF(AAS),∴BC=FD. ∵a,b 的面积分别为6 和 16, ∴c 的面积为 10. 13.45 如图,取格点 E,连接 AE,DE. ∴∠BAC=∠EAC, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=∠DAC-∠BAC. ∴∠DAE=∠ADE=45°, ∴∠DAC-∠BAC=45°. 第1 个直角三角形的斜边长是 第2个直角三角形的斜边长是 第3个直角三角形的斜边长是 …… ∴依次可得，第n 个直角三角形的斜边长是 15. 如图，连接BP. 在△ABC 中,AB = AC = 10, BC = 12, AD = 8,AD⊥BC, ∴BD=DC,∴BP=PC,∴PC+PQ=BP+PQ, ∴当B,P,Q三点共线时,PC+PQ的值最小, ∴当BQ⊥AC时,BQ的值最小. 令AQ'=a,则CQ'=10-a. 即 解得 ∴PC+PQ的最小值为 16.(0,0)或 或(;(-2,0) 设点 P 的坐标为(m,0). 当△PAC 为直角三角形时， ①当∠APC=90°时,易知点 P 在原点处,坐标为(0,0). ②当∠ACP=90°时,如图所示. 解得 ∴点 P 的坐标为 当△PBC 为直角三角形时， ①当∠BPC=90°时,易知点 P 在原点处,坐标为(0,0). ②当∠BCP=90°时,如图所示. ∵∠BCP═90°,CO⊥PB, ∴PO=BO=2,∴点 P 的坐标为(-2,0). 综上所述，点P 的坐标为(0，0)或 或(-2,0). 17.解:设AB=AD=x cm. 1分 根据题意可知,BC∥EF,CE⊥EF,BF⊥EF,BF=8 cm, ∴CE=BF=8cm, 2分 AC=AD+DE-CE=x+6-8=(x-2) cm. 4分 在 Rt△ABC 中, 解得x=26, 7 分 ∴钟摆AD 的长度是 26 cm. 8分 18.解:(1)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3 m,AC=4 m. 根据勾股定理，得 5(m),3+5=8(m). 答：木杆折断之前的高度是8m. 4分 (2)设 AD 的长是x m,则CD=(8-x)m. 在 Rt△ADC中,根据勾股定理, 得 6分 解得 7 分 ∴AD 的长是 m. 8分 19.解:(1)∵AB=15 m,AD=12 m,BD=9m, 1分 ∴∠ADB=90°, 2分 ∴∠ADC=90°, 答:CD 的长为 5 m. 4分 (2)由(1),知∠ADB=90°. ∵DE⊥AB,∴∠BED=90°. 设 BE=x m,则AE=(15-x)m. 解得x=5.4. 7分 答:BE 的长为 5.4 m. 8分 20.解:(1)由勾股定理,知 1分 , 2分 , 3分 ∴△ABC 的周长为 4分 (2)如图,S△ABC =S长方形CEPG — S△EBC — S△ACC—S△ABP = 分 8分 21.解:(1)∵∠AOC=90°,OA=7 m,AC=25 m, . 4 分 答:云梯顶端 C 与墙角O 的距离CO 的长为 24 m. (2)∵OD=OC-CD=24-4=20(m), 6 分 ∴AB=OB-OA=15-7=8(m). 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离 AB 为8 m.…⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 22.证明:∵CD⊥AB, ∴∠CDB=∠CDA=90°. ∵在 Rt△CDB中,BC=15,CD=12, 3分 ∵在 Rt△ACD中,AC=20,CD=12, 6分 ∴AB=AD+DB=16+9=25. ∵在△ABC中,AB=25,AC=20,BC=15, , 9分 ∴△ABC 是直角三角形. 10分 23.解:(1)∵AB=AC,AD⊥BC, 1 分 在 直 角 三 角 形 ABD 中,由勾 股 定 理,得AD = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 ∴DF=BD=5, ∴AF=AD-DF=7. 3分 4 分 证明:如图,连接CF,CH. 由(1)可得,∠CBH=∠DFB=∠AFE=45°. 在△CHB 和△AEF 中, ∴△CHB≌△AEF(SAS), ∴AE=CH,∠AEF=∠BHC, ,即∠CEF=∠CHE, ∴CE=CH,∴CE=AE. 6分 ∵AD⊥BC, ∴∠FDC=∠FDB=90°. 在△CDF 和△BDF 中, ∴△CDF≌△BDF(SAS), ∴∠CFD=∠BFD=45°,CF=BF, ∴∠BFC=∠CFD+∠BFD=90°, ∴∠CFE=90°. 9分 在 Rt△CEF 中,由勾股定理,得 又∵AE=CE,CF=BF, 10 分 24.解:(1)不是.理由如下: ∴以AM，MN，NB 为边的三角形不是直角三角形， ∴点 M,N不是线段AB 的“勾股分割点”. 4分 (2)①∵MN 是以AM,MN,NB 为边的三角形的最长边,且AM=BN=2, ∴AB=AM+BN+MN=2+2+2√2=4+2.…7分 ②BN的长为6或10. 12分 提示:设 BN=x,则MN=AB-AM-BN=24-8-x=16-x. ∵AM是以AM,MN,NB 为边的三角形的直角边, ∴当 BN 为直角三角形的斜边时， 解得x=10,此时BN=10. 当 BN 为直角三角形的直角边时， 解得x=6,此时 BN=6. 综上所述,BN 的长为6 或 10. 学科网（北京）股份有限公司 $