第二十章 勾股定理 单元知识梳理卷 2025-2026学年 人教版八年级下册数学

第二十章 勾股定理 单元知识梳理卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 2．如图，长为12cm的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升8cm至点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 3．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 4．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（　　）． A． B． C． D． 6．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（　　） A．15 B．9 C．10 D．21 7．给出下列四个说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么5a，5b，5c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边长分别是5，12，那么第三边长必是13；③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2-4，4n，n2+4(n>2)，那么此三角形是直角三角形.其中正确的说法是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C． D． 9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH . 连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则 的值是（　　） A． B． C． D． 10．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．或 B．或 C． D．或 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为　 　cm. 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 坐标是 ，则顶点 的坐标是　 　． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a、b、c的大小关系是　 　． 14．如图，在数轴上，点为原点，点在数2位置上，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，则点表示的数为　 　． 15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为　 　. 16．如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 18．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值． 19．如图，在 中， 是 上的一点，若 ， ， ， ，求 的面积. 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 21．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3） 22．（1）已知，求的值（其中n为正整数）； （2）已知一个直角三角形的三条边长均为正整数，且斜边与其中一条直角边之和为25，求该直角三角形的面积． 23．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，点 E 在直线BC上(不与点B，C重合)，连接DE，过点 D 作DF⊥DE 交直线AC 于点F，连接EF. （1）如图①，当点 F 与点A 重合时，请直接写出线段EF 与BE 的数量关系. （2）如图②，当点 F 不与点A 重合时，请写出线段AF，EF，BE 之间的数量关系，并说明理由. （3）若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF 的长. 第二十章 勾股定理 单元知识梳理卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15 【答案】A 【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，故选项符合题意； B.，能构成直角三角形，故选项不符合题意； C.，能构成直角三角形，故选项不符合题意； D.，能构成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：． 【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案. 2．如图，长为12cm的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升8cm至点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 【答案】A 【解析】【解答】 解：∵橡皮筋原长为12cm，且是在中点M处向上拉伸， ∴OM=AM=6cm， ∵把中点M向上拉伸了8cm， ∴MN⊥OA，MN=8cm， ∴根据勾股定理得：， ∴AN=ON=10cm， 橡皮筋被拉伸后总长为：AN+ON=20cm； 即橡皮筋被拉长了20-12=8cm. 故答案为：A． 【分析】根据勾股定理可求出ON、AN，即可求出橡皮筋被拉伸后的总长度，与原长比较，即可得出答案. 3．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．3或5 【答案】C 【解析】【解答】当一个直角三角形的两直角边分别是6，8时， 由勾股定理得，斜边= =10，则斜边上的中线= ×10=5， 当8是斜边时，斜边上的中线是4， 故答案为：C． 【分析】首先根据勾股定理算出直角三角形的斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案。 4．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， 故A符合题意， 选项、、均无法通过几何角度直接验证， 故选：A． 【分析】本题考查勾股定理的逆定理与垂线段最短性质的结合应用。解题的核心是构造出三边长为1、、2的三角形，先通过勾股定理的逆定理验证，确定该三角形为直角三角形，再利用直角三角形中垂线段最短的性质，找到对应线段和2的位置关系，从而直接验证大小关系。 5．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】S阴影=S△ACD+ S△ABE+ S△BCF= AD2+ AE2+ BF2= （AD2+ AE2+ BC2）= （ AC2+ AB2+ BC2）= （AC2+ AB2+ BC2）= ×（2 AB2）=4.5. 故答案为：C. 【分析】根据直角三角形的面积等于两直角边积的一半，又等腰直角三角形两腰相等即可得出S△ACD= AD2，S△ABE= AE2，S△BCF= BF2，再根据S阴影=S△ACD+ S△ABE+ S△BCF根据乘法分配律的逆用，勾股定理整体代入即可算出答案。 6．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（　　） A．15 B．9 C．10 D．21 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，得，而正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，所以，解得 故答案为：B. 【分析】利用勾股定理，先写出A、B、C、D的面积的关系，再求解. 7．给出下列四个说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么5a，5b，5c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边长分别是5，12，那么第三边长必是13；③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2-4，4n，n2+4(n>2)，那么此三角形是直角三角形.其中正确的说法是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【解析】【解答】解：①若 a，b，c为一组勾股数，则， ∴， ∴ 5a，5b，5c仍是勾股数 .即①正确； ②若斜边为12，则由勾股定理知第三边为；若直角为5、12，则由勾股定理知第三边为，因此 第三边长 是13或，即②错误； ③∵， ∴122+212=585≠625=252， ∴ 三角形不是直角三角形，即③错误； ④∵ ∴ ∴ 三角形是直角三角形 ，即④正确. 综上所述，①④正确. 故选：C. 【分析】根据勾股数的定义及勾股定理及其逆定理验证每个说法，确定正确选项即可. 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（　　） A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE C． D． 【答案】D 【解析】【解答】 A：∠CAD＝∠BAD，根据作图过程知AP平分∠BAC，结论正确，不符合题意 B：CD＝DE，根据作图过程知AP平分∠BAC，角平分线上的点到角的两边距离相等，结论正确，不符合题意 C：，由勾股定理得BC=4，根据得出CD=，进而算出BD=，结论正确，不符合题意 D：，根据勾股定理，结论不正确，符合题意 故选：D 【分析】根据题中描述的作图过程，得知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线定理和勾股定理逐一进行判定。 9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH . 连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH=45°，∠FGH=90°， ∵OG=GP， ∴∠GOP=∠OPG=67.5°， ∴∠PBG=22.5°， 又∵∠DBC=45°， ∴∠GBC=22.5°， ∴∠PBG=∠GBC， ∵∠BGP=∠BGC=90°， BG= BG， ∴△BPG≌△BCG ( ASA )， ∴PG=CG . 设OG=PG=CG=x， ∵O为EG， BD的交点， ∴EG=2x， FG= x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF=CG=x， ∴BG=x+ x， ∴BC2=BG2+CG2=x2( +1)2+x2= (4+2 )x2， ∴， 故答案为：B. 【分析】先证明△BPG≌△BCG ( ASA) ，得出PG=CG .设设OG=PG=CG=x，则EG=2x， FG= x，再由勾股定理得出BC2= (4+2 )x2，即可得出答案. 10．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】【解答】解：解方程，得或， 当第三边长为或时，都可以构成三角形， ①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形， 过点作于点， 设，， ， 在中，， ， ； ②当第三边长为时，， 此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和， 该三角形的面积为； 综上所述，该三角形的面积为或． 故答案为：D． 【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为　 　cm. 【答案】100 【解析】【解答】解：如图， 作点A关于BC的对称点A'，连接A'G 交 BC 于点 Q，则AQ+QG=A'Q+QG=A'G，所以蚂蚁沿着A→Q→G 的路线爬行时路程最短，最短路程等于A'G的长.在Rt△A'EG 中，A'E=80cm，EG=60cm，所以 所以A'G=100cm，所以最短路线长为 100 cm.故答案为 100. 【分析】作出A关于BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A'G为直角 的斜边，根据勾股定理求解即可. 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 坐标是 ，则顶点 的坐标是　 　． 【答案】 【解析】【解答】过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵菱形 的顶点 坐标是（3，4）， ∴AB=OC= =5，BD=4， ∴AD= =3， ∴OD=OA+AD=5+3=8， ∴顶点 的坐标是（8，4）． 故答案为：（8，4）． 【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为D，利用勾股定理求出AB和AD的长，再利用线段的计算求出OD的长，即可得到点B的坐标。 13．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a、b、c的大小关系是　 　． 【答案】c＜a＜b 【解析】【解答】解：根据题意可得：a= ，b= =5，c=4， ∴c＜a＜b． 【分析】根据勾股定理分别求出a、b、c的长度，从而得出线段的大小． 14．如图，在数轴上，点为原点，点在数2位置上，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，则点表示的数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵ ， ∴， ∵点在数2位置上 ， ∴OA=2， ∵， ∴在中，. ∵以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴的右侧于点P， ∴. ∴点P表示的数为. 故答案为：. 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，再根据同圆的半径相等即可求出OP的长度，从而根据数轴上的点所表示的数的特点，可得出点P所表示的数. 15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线， ∴∠EDB=90°，BD=DC=BC， ∵∠B=30°，BE=2， ∴DE=1， ∵∠A=90°， ∴AC=BC， ∴AC=BD， 在Rt△BDE中，BD=， ∴AC=BD=， 故答案为：. 【分析】根据垂直平分线的性质求出∠EDB=90°，BD=DC=BC，再结合含30°的直角三角形的性质推出AC=BD，最后利用勾股定理求出BD，则知AC长. 16．如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵在，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理可以求出正方形的边长为， 正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 【分析】先求出正方形的边长为，正方形的边长为，可得规律正方形的边长为，再将n=2024代入计算即可. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.62米； （2）解：如图， 由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）由题意可得CM，再根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案. 18．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值． 【答案】解：由题意得，，，，， ，， ， ， 【解析】【分析】先得到，，再利用完全平方公式得到、的值，然后利用分式的乘除法法则化简，再整体代入计算解题． 19．如图，在 中， 是 上的一点，若 ， ， ， ，求 的面积. 【答案】解： ， 是直角三角形， ， 在 中， ， ， . 因此 的面积为84. 【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形，再利用勾股定理求出 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案. 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）解：在Rt△ABC中，即解得：AB=10(dm)， ∴绳子长度=AB+AC=10+8=18(dm) （2）解：如图 由1可知BE=16-10=6(dm) 若物体C升高7dm，则此时 AC=8-7=1(dm)， AB=18-1=17(dm)， ∴在Rt△ABD中， ∴BE=BD-ED=15-6=9(dm) 答：滑块B向左滑动的距离为9dm 【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求出AB，而绳子长度=AB+AC； （2）C升高7dm，由1知AB=17dm，BE=6dm， 利用勾股定理运算求出BD．移动距离等于BD-BE即可求解。 （1）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； （2）解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3） 【答案】解：如图所示， ∵圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm， ∴AC=2π×1.5≈9cm， ∴AB= = =15（cm）． 答：蚂蚁所走过的最短路径是15cm． 【解析】【分析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理求解即可． 22．（1）已知，求的值（其中n为正整数）； （2）已知一个直角三角形的三条边长均为正整数，且斜边与其中一条直角边之和为25，求该直角三角形的面积． 【答案】（1）解：∵， ∴ 当时，|c－1|=c－1，代入得： ， ∴， ∴，， 解得，，， ∴， ∵，n(n+1)是偶数，故n(n+1)+2也是偶数， ∴； 当时，|c－1|=1－c，代入得： ， ∴， ∴，， 解得，，， ∴， ∴， 综上，； （2）设这个直角三角形的两直角边与斜边长分别为a、b、c，且均为正整数， 根据题意，设a+c=25，且， ∴，即， ∴，且是完全平方数， ∵a和c正整数， ∴、的奇偶性相同， ∴c－a=1，9， ∵c+a=25， ∴或， ∴该直角三角形的面积为或． 【解析】【分析】（1）分和两种情况化简绝对值并进行移项，利用完全平方公式和平方式的非负性求得a、b、c的值，再判断的奇偶性，即可求解； （2）设个直角三角形的两直角边与斜边长分别为a、b、c，且均为正整数，根据题意可得a+c=25，且，利用平方差公式和完全平方数的性质，判断得，且是完全平方数，、的奇偶性相同，可确定c－a的值，即可取得a，b，c可取得的值，进而可计算直角三角形的面积. 23．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，点 E 在直线BC上(不与点B，C重合)，连接DE，过点 D 作DF⊥DE 交直线AC 于点F，连接EF. （1）如图①，当点 F 与点A 重合时，请直接写出线段EF 与BE 的数量关系. （2）如图②，当点 F 不与点A 重合时，请写出线段AF，EF，BE 之间的数量关系，并说明理由. （3）若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF 的长. 【答案】（1）解：EF=BE. （2）解：过点 A 作AG⊥AC 交ED 延长线于点G，连接FG， ∴AG∥BC， ∴∠AGD=∠BED， 在△AGD和△BED中：∵∠AGD=∠BED，∠ADG=∠BDE，AD=BD， ∴△AGD≌△BED， ∴AG=BE， ∵FD垂直平分GE， ∴ ∵GF2=AG2+AF2， ∴EF2=BE2+AF2； （3）解：如图，当点E 在线段 BC上时， 设AF=x，则CF=5-x，BE=2，由 得 如图，当点E在BC 延长线上时， 设AF=x，则CF=5-x，BE=4，同理由 得x=1. 综上所述，AF 的长为 或1. 【解析】【解答】解：（1）∵ D 为AB 的中点， DE⊥DF， ∴DE垂直平分AB， ∴EF=BE. 【分析】（1）由题意知：DE垂直平分AB，从而得出EF=BE； （2）过点 A 作AG⊥AC 交ED 延长线于点G，连接FG，首先可证△AGD≌△BED，从而得出AG=BE，再根据中垂线的性质可得出然后根据勾股定理得出GF2=AG2+AF2，等量代换为EF2=BE2+AF2； （3）可分成两种情况：当点E 在线段 BC上时，设AF=x，根据可得方程解方程即可得出 AF =；当点E在BC 延长线上时，设AF=x，根据可得方程解方程即可得出 AF =1. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $