第二十章-勾股定理 单元复习检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为人教版七年级数学下册勾股定理单元期末复习检测卷，以文化传承（周髀算经）与现实情境（无人机、消防救援）为载体，覆盖定理应用、证明及实际问题解决，适配期末复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|勾股数判断（周髀算经）、无人机最短路径、图形拼接|结合科技热点，考查几何直观与空间观念| |填空题|5/15|奇异三角形新定义、赵爽弦图面积、圆柱蚂蚁爬行路径|创新概念与经典模型结合，发展抽象能力| |解答题|8/75|风筝高度测量、噪声影响计算、斜三角形三边关系探究|项目化学习设计，强化推理能力与模型意识|

2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第二十章------勾股定理 单元复习检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 3．如图，现有两个全等三角形，它们的三边长分别为3、4、5，将它们拼接成一个图形，拼接方式满足：（1）两个三角形间有一条等长边完全重合；（2）两个三角形拼接在等长边的两侧，那么共能拼接成形状不同的四边形的种数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（   ） A． B． C． D．2 6．如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 7．通过动手操作，小明同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图①所示的正方形．并在数轴上表示出无理数，如图②，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 9．小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（    ）cm． A．9 B．10 C．11 D．12 10．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形． 12．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是___________． 13．已知一旗杆AB滑落横置在走廊上，为了防止路过的同学绊倒，小颖将旗杆扶起来斜靠在墙上，旗杆原先的位置和扶起来之后的位置如图所示．已知旗杆滑落后顶部靠墙的点到地面的距离，扶起后旗杆的顶部与地面的距离和走廊的宽AC相等，均为180cm，则小颖为同学们留出的过道宽度是________cm． 14．如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则___________°． 15．如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是________． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程） 16．（8分）已知两个正方形的边长分别是，且满足． (1)如图①，，数轴上点A对应的是m，n中的 ；（填m或n） (2)请在图②的数轴上找到另一个数对应的点． 17．（8分）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． (1)求风筝距离地面的高度的长； (2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 18．（8分）如图：学校A和铁路CM的夹角∠ACM=30°，学校A与车站C的距离AC=320m，火车经过时，周围200m内会受到火车噪声的干扰． (1)经过计算说明学校为什么会受到经过火车噪声的影响 (2)若火车的速度为30m/s，求一列火车经过时学校受到影响的时间（火车车长忽略不计） 19．（8分)洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 20．（8分）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 21．（9分）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线截其对边所成的两条线个角的两邻边对应成比例．例如：如图1，的角平分线，交于点，则． 证明：如图2，过点作于点，过点分别作于点于点． 平分， ．（依据） ， 整理，可得． 任务： (1)材料中的依据是_______． (2)若材料中的，则的长为_______． (3)如图3，在中，，，，平分，交于点，请用材料中的方法，求的长． 22．（13分）项目化学习 【项目主题】 探究斜三角形的三边数量关系； 【项目内容】 学习了勾股定理后，同学们知道了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方．数学兴趣小组在此基础上对钝角三角形和锐角三角形的三边数量关系产生浓厚兴趣，准备展开探究； 【项目任务】 任务一：（1）如图1，是钝角三角形，且是钝角，、、的对边分别是a、b、c，试比较与的大小； 兴趣小组的思路是：如图2，过点C作的垂线并截取，连接，，通过构造得到；从而将问题转化为比较图中线段和的大小，体现转化的数学思想，再从角的大小关系不难得出，最后可得到结论______；（填“=”“<”或“>”） 任务二：（2）如图3，是锐角三角形，且是最大角，、、的对边分别是a、b、c，猜想______（填“=”“<”或“>”），并说明理由； 任务三：（3）①三边长分别为4、5、7的三角形是______；（填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”） ②已知锐角三角形的两边长分别为3和5，则第三条边长m的取值范围是______．（请直接写出结果） 23．（13分）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第二十章------勾股定理 单元复习检测卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 2．“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 3．如图，现有两个全等三角形，它们的三边长分别为3、4、5，将它们拼接成一个图形，拼接方式满足：（1）两个三角形间有一条等长边完全重合；（2）两个三角形拼接在等长边的两侧，那么共能拼接成形状不同的四边形的种数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】两个全等三角形拼接成四边形，需将一条等长边重合且三角形位于两侧，根据重合边的不同（、、）及拼接方式（对称或交叉）分类讨论，排除拼成三角形的情况，统计形状不同的四边形种数； 【详解】解：两个三角形全等，三边长分别为、、，且， 该三角形为直角三角形，直角边为、，斜边为， 分三种情况讨论重合边： ①当长度为的直角边重合时，如图，拼成一个大三角形，不符合题意； 如图，则拼成一个平行四边形，其邻边长分别为、； ②当长度为的直角边重合时，如图，拼成一个大三角形，不符合题意； 如图，则拼成一个平行四边形，其邻边长分别为、； ③当长度为的斜边重合时，如图，则拼成一个筝形，其四边长分别为、、、；如图，则拼成一个矩形，其邻边长分别为、；            综上所述，能拼接成形状不同的四边形共有种． 4．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 5．如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先根据矩形的性质，得出，，，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由第一次折叠得：，， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，， 由第二次折叠可知，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 6．如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线，即可求解． 【详解】解：因为， 所以长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线， 如图， 共有14条线段． 故选：D 7．通过动手操作，小明同学把长为，宽为的长方形进行裁剪，拼成如图①所示的正方形．并在数轴上表示出无理数，如图②，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，根据题意，得到数轴上圆的半径为，再根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，数轴上圆的半径为， ∴点到的距离为， ∴点表示的数为； 故选D． 8．如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 9．小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（    ）cm． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可求得． 【详解】解：如图：连接AC 故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的长度是线段AC的长度 由题意可知：BC=6cm，AB=9cm 在中， 要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要11cm 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，无理数的估算，理解题意，结合图形求得AC的长是解决本题的关键． 10．如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均在格点（网格线的交点）上．下列同学的结论中，正确的有（   ） 甲同学：． 乙同学：直线与直线互相垂直． 丙同学：和互余． A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理在网格中的应用，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据勾股定理和逆定理判断为直角三角形，根据等腰三角形的性质，得出，判断甲正确；连接，证明四边形为平行四边形，得出，根据，证明，判断乙正确；说明，证明不是直角三角形，得出，根据三角形内角和定理得出，即可判断丙错误． 【详解】解：甲：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，故甲正确； 乙：连接，如图所示： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故乙正确； 丙：∵， ∴， ∴不是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不互余，故丙错误； 综上分析可知：正确的是甲、乙； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形． 【答案】是 【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解． 【详解】解，   ∴该三角形是奇异三角形． 故答案是：是． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键． 12．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是___________． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 13．已知一旗杆AB滑落横置在走廊上，为了防止路过的同学绊倒，小颖将旗杆扶起来斜靠在墙上，旗杆原先的位置和扶起来之后的位置如图所示．已知旗杆滑落后顶部靠墙的点到地面的距离，扶起后旗杆的顶部与地面的距离和走廊的宽AC相等，均为180cm，则小颖为同学们留出的过道宽度是________cm． 【答案】147 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设小颖为同学们留出的过道宽度是，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设小颖为同学们留出的过道宽度是，则， 在中，， ， ． 在中，， ， ． 解这个方程 得：． 故答案为：． 14．如图，以的每一条边为边，在边的同侧作三个正三角形、和．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则___________°． 【答案】150 【分析】先根据甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，可得出，再结合等边三角形的面积由勾股定理的逆定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点作， ∵甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和， ∴，则， ∴， ∵、和为等边三角形， ∴，， 则中边上的高为：， ∴， 同理可得：，， ∴． 从而　． 所以，． 故答案为：150． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积及等边三角形的性质，解答此题时要注意把三角形面积之间的关系转化为三边之间的关系，再由直角三角形及等边三角形的性质即可得出结论． 15．如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理的应用．将圆柱体展开，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆柱表面行走问题需将侧面展开再计算， 圆柱侧面展开为矩形， 如图，点为所在边的中点， 根据勾股定理， 蚂蚁走的最近距离． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程） 16．（8分）已知两个正方形的边长分别是，且满足． (1)如图①，，数轴上点A对应的是m，n中的 ；（填m或n） (2)请在图②的数轴上找到另一个数对应的点． 【答案】(1)m (2)见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，勾股定理，实数与数轴，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出m、n的值，再利用勾股定理求出的长，进而得到点A表示的数即可得到答案； （2）由于，利用勾股定理和数轴的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形的边长分别是，且满足， ∴或（舍去），或（舍去）； 由数轴和勾股定理可得， ∵点A在原点右侧， ∴点A表示的数为，即点A对应的是m； （2）解：如图所示，点B即为所求． 17．（8分）如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． (1)求风筝距离地面的高度的长； (2)嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∴风筝距离地面的高度的长为 （2）如图，由题意可知： 在中，由勾股定理得，（m） ∴ ∴嘉嘉需往后退 18．（8分）如图：学校A和铁路CM的夹角∠ACM=30°，学校A与车站C的距离AC=320m，火车经过时，周围200m内会受到火车噪声的干扰． (1)经过计算说明学校为什么会受到经过火车噪声的影响 (2)若火车的速度为30m/s，求一列火车经过时学校受到影响的时间（火车车长忽略不计） 【答案】(1)学校会受到经过火车噪声的影响 (2)火车经过时学校受到影响的时间是8s 【分析】（1）过AB⊥CM于B，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长，进而得到答案； （2）过A作AD=AE=200m，利用勾股定理计算出DB的长，再计算出DE的长即可． 【详解】（1）解：作AB⊥CM于B， ∵∠ACM=30°，AC=320m， ∴AB=160m＜200m， ∴学校会受到经过火车噪声的影响； （2）解：如图，火车行驶到D点时，恰好AD=200m，学校开始受到噪声影响；火车行驶到E点时，恰好AE=200m，学校即将不受噪声影响， ∵AD=200m，AB=160m，∠ABD=90°， ∴BD= =120m， ∴DE=240m， ∵火车的速度为30m/s， ∴学校受影响的时间：240÷30=8s， ∴火车经过时学校受到影响的时间是8s． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握勾股定理和直角三角形的性质． 19．（8分)洛阳市慈善公园，坐落在牡丹桥西，与洛河南岸的牡丹公园仅隔一河一桥，其公园有一部分景区如图四边形所示．已知，． (1)求对角线的长． (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)25m (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， （1）根据勾股定理解答； （2）根据勾股定理逆定理说明，再结合四边形内角和定理得出答案. 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得； （2）解：． 理由：在中，， ， ． 又， ， ． 20．（8分）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 21．（9分）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线截其对边所成的两条线个角的两邻边对应成比例．例如：如图1，的角平分线，交于点，则． 证明：如图2，过点作于点，过点分别作于点于点． 平分， ．（依据） ， 整理，可得． 任务： (1)材料中的依据是_______． (2)若材料中的，则的长为_______． (3)如图3，在中，，，，平分，交于点，请用材料中的方法，求的长． 【答案】(1)角平分线的性质 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理即可得出答案； （3）设，则，利用进行求解即可； （3）过点作于点，再利用勾股定理得出的值，最后利用题中的结论得到，得出答案即可． 【详解】（1）解：由平分，，， 可得．其依据是：角平分线的性质， 故答案为：角平分线的性质； （2）解：设，则， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作于点， 平分，， ，，， ， 由（1）知， ， ． 22．（13分）项目化学习 【项目主题】 探究斜三角形的三边数量关系； 【项目内容】 学习了勾股定理后，同学们知道了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方．数学兴趣小组在此基础上对钝角三角形和锐角三角形的三边数量关系产生浓厚兴趣，准备展开探究； 【项目任务】 任务一：（1）如图1，是钝角三角形，且是钝角，、、的对边分别是a、b、c，试比较与的大小； 兴趣小组的思路是：如图2，过点C作的垂线并截取，连接，，通过构造得到；从而将问题转化为比较图中线段和的大小，体现转化的数学思想，再从角的大小关系不难得出，最后可得到结论______；（填“=”“<”或“>”） 任务二：（2）如图3，是锐角三角形，且是最大角，、、的对边分别是a、b、c，猜想______（填“=”“<”或“>”），并说明理由； 任务三：（3）①三边长分别为4、5、7的三角形是______；（填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”） ②已知锐角三角形的两边长分别为3和5，则第三条边长m的取值范围是______．（请直接写出结果） 【答案】（1）<；（2）>，见解析；（3）①钝角三角形；② 【分析】本题主要考查三角形的三边数量关系，进一步判断三角形的形状， 任务一：根据题干已知即可得到答案； 任务二：过点A作的垂线并截取，连接，在中，，则，结合等腰三角形的性质得，继而得，利用即即可判定； 任务三：根据，则为钝角三角形；当锐角三角形的两短边长分别为3和5，求得第三边；当锐角三角形的短边长为3，长边长为5，求得第三边，即可知第三条边长m的取值范围． 【详解】解：任务一：<； 任务二：>， 理由如下：过点A作的垂线并截取，连接，如图3， 在中，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，即 即； 任务三：∵ ∴为钝角三角形， 当锐角三角形的两短边长分别为3和5，则第三边小于； 当锐角三角形的短边长为3，长边长为5，则第三边大于； 则第三条边长m的取值范围是， 故答案为：． 23．（13分）综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1），，10；（2）．理由见解析；（3）的长度为． 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $