20.2勾股定理的逆定理及其应用 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到迁移应用再到拓展创新，梯次培养勾股定理逆定理的应用能力与推理意识，契合新授课"基础+提升"教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础测·教材变式|勾股数判断、逆定理直接应用、简单几何计算|以教材变式题为主，如购物车距离计算，强化概念理解与几何直观| |能力测·迁移运用|逆定理与垂直平分线、中线综合，动点问题|结合网格、动点情境，如4×4网格中三角形性质探究，提升推理能力与空间观念| |思维测·拓展创新|勾股数规律探究、实际图案设计|通过《九章算术》勾股数表分析，培养模型意识与创新意识，体现数学文化价值|

20.2勾股定理的逆定理及其应用 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国古代数学著作《周髀算经》中有与勾股定理相关的记载.下列各组数中，是勾股数的是( ) A.1,1,2 B.1, ,2 C.0.5,1.2,1.3 D.6,8,10 2.五根木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是( ) 3.已知a,b,c是△ABC 的三边长,且满足 则△ABC 是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.已知一个三角形的两边长分别为3和5，若该三角形为直角三角形，则第三边的长应为( ) A.4 B. C.4或 D.2 5.某超市的儿童玩具购物车的侧面简化示意图如图所示，测得支架AC=24 cm，CB=18 cm,两轮中心的距离AB=30cm,则点 C到AB 的距离为 ( ) A.15 cm B.15.4 cm C.14 cm D.14.4 cm 二、填空题(每小题3分，共12分) 6.在△ABC中,若AB=26,BC=24,AC=10,则△ABC 的面积为 . 7.如图,在△ABC中,BC=10,AC=6,AD=4,已知D是AB的中点,连接CD,则CD的长为 . 8.如图，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，轮船从港口O沿北偏西18°的方向航行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点 N 处.若M，N两点相距100海里，则渔船从港口O 出发的方向为 . 9.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，则∠DAC 的度数为 . 三、解答题(共25分) 10.(8分)如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,D 是 Rt△ABC外一点,连接CD,且CD=12,AD=13.求四边形ABCD 的面积. 11.(8分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1. (1)求△ABC 的周长; (2)求证:∠ABC=90°; (3)若 P 为直线AC 上任意一点，则线段 BP 的最小值为 . 12.(9分)如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，点C到点 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，(点A，H，B在一条直线上)，并修一条路CH.已知测得CB=2km,CH=1.6 km,HB=1.2km. (1)CH 是否为村庄C到河边的最近的路?请通过计算加以说明. (2)求原来的路线 AC 的长. 学科网（北京）股份有限公司 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共9分) 13.在△ABC中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,由下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B. C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D. 14.如图,在△ABC中,AB 的垂直平分线交BC 于点D,AC 的垂直平分线交BC 于点E,M,N 为垂足,BD=3,DE=4,EC=5,则AC的长为 ( ) A. B. C. D. 15.图如图,在△ABC中, AD 是边 BC 上的中线,且AD=2,则 BC 的长为( ) A.12 B.10 C.4 D.6 二、填空题(每小题3分，共6分) 16.如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，A，B，C为格点，D为AC与网格线的交点,则∠ADB-∠ABD= . 17.如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点 P，Q 同时从A，B 两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P 到达点B 时，P，Q 两点同时停止，当移动时间t= s时,△PBQ 是直角三角形. 三、解答题(共33分) 18.(9分)为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地. (1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m ，12m，13m时，一边的小明很快给出了这块试验基地的面积.这块试验基地的面积为多少平方米? (2)八(2)班试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),则该试验基地的面积为多少平方米? 19.(12分)如图,在正方形ABCD 中,AB=4,E是BC 的中点,F 是CD 上一点,且 (1)求证:AE⊥EF; (2)求四边形 AEFD 的面积. 思维测·拓展创新 20.(12分)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组勾股数.下表中的每一组数都是勾股数. 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全表中的勾股数. (2)根据表中数据的规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明. (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m .如果每个三角形的最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花? ，∴1，1，2不是勾股数，不符合题意；B.∵1, ，2不都是正整数， ∴1, ，2不是勾股数，不符合题意； C.∵0.5,1.2,1.3都不是正整数, ∴0.5,1.2,1.3不是勾股数,不符合题意; ∴6,8,10是勾股数，符合题意. 2. E ∴长度分别为7,24,25的三根木棒能摆成直角三角形，长度分别为15，20，25的三根木棒能摆成直角三角形. 3. A 且 ∴a=b,且 是等腰直角三角形. 4. C①当5为斜边长时，根据勾股定理，得第三边的长为4.②当5为直角边长时，根据勾股定理，得第三边的长为 5. D ∵在△ACB 中, ∴△ACB 为直角三角形，边 AB 所对的角是直角.设点 C到 AB 的距离为h cm. ∵AC═24 cm,CB═18 cm,AB═30 cm, 即 24×18=30h,解得 h=14.4. 6.120 ∵在△ABC中,AB═26,BC═24,AC═10, 是直角三角形， ∴△ABC 的面积为 7.2 3 ∵D 是AB 的中点,∴AB=2AD=8. ∴△ABC是直角三角形,且∠A=90°, 8.南偏西72°(或西偏南 18°) 由题意,知 OM=60海里,ON=80海里,MN=100海里. ∴△OMN 是直角三角形,∠MON=90°. 又∵ ∴∠NOF = 180° — ∠EOM — ∠MON = 180° — 18°— ∴渔船从港口 O 出发的方向为南偏西 72°(或西偏南18°). 9.45° 如图,连接CD. 设小正方形的边长为1. 由勾股定理，得 ∴△ADC是等腰直角三角形,且∠ADC=90°, ∴∠DAC=∠ACD=45°. 10.解:∵∠B=90°,AB=3,BC=4, 2 分 ∵CD=12,AD=13, , ⋯⋯⋯ 3分 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 5分 ∴∠ACD=90°, 6分 6+30=36. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 11.解:( 1分 2分 3分 ∴△ABC的周长为 4分 (2)证明: 6 分 (3)如图,过点 B 作 BP⊥AC 于点 P. 易得 即 解得 BP=2. 故答案为2. 8分 12.解：(1)CH 为村庄C到河边的最近的路.理由如下：在△CHB 中, ∴CH 为村庄C 到河边的最近的路. 4分 (2)设AC=x km,则 AH=(x-1.2) km. 在 Rt△ACH 中,由勾股定理可得, 解得 答：原来的路线AC 的长为 km. 9分 13. D A.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°, ∴2∠C=180°,∴∠C=90°, ∴△ABC 是直角三角形，故 A选项不符合题意. ∴△ABC 是直角三角形，故B选项不符合题意. C.∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°, ∴△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意. ∴设 则 ∴△ABC不是直角三角形，故 D选项符合题意. 14. D 如图,连接AD,AE. ∵DE=4,EC=5,∴DC=4+5=9. ∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，AC 的垂直平分线交BC于点E, ∴AD=BD=3,AE=EC=5. ∴△ADE 是直角三角形,∴∠ADE=90°, 15. A 如图,延长 AD 到点E,使得 DE=DA,连接CE. ∵AD 是边BC上的中线,∴BD=CD. 又∵AD=DE,∠ADB=∠CDE, ∴△ADB≌△EDC(SAS),∴CE=AB=4 ∵AE=2AD=4, ∴BC=2CD=12. 16.45° 如图,取格点 E,连接AE,BE,设 AE 与 BD 交于点 F. 由题意，得 ∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴∠BAE=45°. ∵BD∥EC, ∴∠ADB=∠ACE,∠AFD=∠AEC. 易得AE=AC,∴∠AEC=∠ACE, ∴∠AFD=∠ADF. ∵∠AFD 是△ABF 的一个外角, ∴∠AFD-∠ABD=∠BAE=45°, ∴∠ADB-∠ABD=45°. 17.1 或2 根据题意,得AP=t cm,BQ=t cm. 在△ABC中,AB=BC=3 cm,∠B=60°, ∴BP=(3-t) cm. 在△PBQ中,BP=(3-t) cm,BQ=t cm,若△PBQ 是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°. 当∠BQP=90°时, 即 解得t=1. 当∠BPQ=90°时, 即 解得t=2. 综上,当t=1s或t=2s时,△PBQ是直角三角形. 易错警示 在不确定谁是直角的情况下，需要分类讨论. 18.解:( ∴三边长分别为5 m，12 m，13 m的三角形是直角三角形,其中的直角边长是5 m,12 m, ∴这块试验基地的面积为 … 3分 (2)如图,过点 A 作AH⊥BC 于点 H. 设 BH= x m,则CH=(14-x)m. 在 Rt△BHA中, 在 Rt△AHC中, 解得x=9, 7分 答：该试验基地的面积为84 m². 9分 19.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=BC=CD=AD=4,∠B=∠C=∠D=90°. ∵CF= CD,∴CF=1,DF=3. 2分 在 Rt△ADF 中，根据勾股定理可得， ∵E是BC的中点, 3分 同理可得，I 4 分 ∴△AEF 是直角三角形, ∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF. 6分 8分 10 分 =5+6=11. 12 分 20.解：(1)由题表中勾股数的规律可知，令 a=10,c=26,则由勾股数的定义可知， 即 解得 b=24. 故答案为24. 3分 (2)用含字母k,m,n(m>n,k,m,n均为正整数)的代数式分别表示三角形的三边， 证明如下： = + 8分 (3)两个由三角形的最短边都种 21株花可得，最短边长为20 m.由题表可知，此时三角形的三边长可能是20 m,21 m,29 m. 设符合要求的三边长为 20 m,p m,q m,则 20≤p,且20≤q.当p=20或q=20时,不符合勾股数的要求, ∴p,q 至少是 21,不妨设 p<q,则有 即 由q 的解析式可知，p越大，q越大，反之则有 p 越小，q 越小. 又∵当p=21时,恰有q=29,∴20 m,21 m,29 m是符合最少种植要求的三角形三边长.⋯⋯⋯⋯⋯11分 此时一个三角形边上种 20+21+29=70(株), 故四个三角形最少需种4×70=280(株). 12分 $