20.2 第1课时 勾股定理的逆定理-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 知识储备 (1)a=√3，b=22,c=√5； 1.勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a, b,c满足 ,那么这个三角形是 2.满足a2十=c2的三个正整数，称为 (2)a:b:c=5:12:13. 01基础练 @停必备知识梳理·一 知识点一 勾股定理的逆定理 1.下列各组数据中，能构成直角三角形的是 A.8,15,17 B.6,7,8 C.2,3,4 D.√3,4,5 知识点二勾股数 2.在△ABC中，若AC-BC=BA2,那么（ 7.下列各组数中，是勾股数的是 A.∠A=90° B.∠B=90 A.9,16,25 B.1,1,√2 C.∠C=90° D.不能确定 C.1w3,2 D.7,24,25 3.已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(b 8.下列各组数中，不是勾股数的是 十c)2=a2+2bc,则这个三角形是 ( A.3,4,5 B.0.3,0.4,0.5 A.等边三角形 B.钝角三角形 C.40,41,9 D.18,24,30 C.直角三角形 D.锐角三角形 9.将勾股数3,4,5扩大2倍、3倍、4倍、…，可 4.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 以得到勾股数6,8,10；9,12,15；12,16， 对边长.若(a-1)2十|b-√5|+√c-2=0, 20;…,则我们把类似3,4,5这样的勾股数称 则这个三角形一定是 为基本勾股数，请写出两组基本勾股数 5.【教材P36练习T2变式】如图， 分别以△ABC的三边为直径向 02综合练 拿关健能力提升一 外作3个半圆，它们的面积分别 10.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 为4π，5π，9元，则△ABC 直角三角形， a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三 (填“是”或“不是”) 角形的是 () 6.【教材P35例1变式】在△ABC中，∠A, A.a:b:c=1:1:√2 ∠B,∠C的对边分别是a,b,c,试判断 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 △ABC是否是直角三角形，若是，请指出哪 C.∠A=∠B+∠C 个角是直角. D.a2=b2-c2 27 八年级数学·下册 11.如图是由单位长度均为 请你续写小欣的证明过程， 1的小正方形组成的网 格，A,B,C,D都是网格 线的交点，由其中任意 三个点连接而成的三角形是直角三角形的 个数为 ( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 12.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25， 现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的 是 () 25 03素养练 学科素养培育·口 24 20 16.张老师在一次“探究性学习”中设计了下表： 15 25 n 2 … B D 22-1 32-1 42-1 52-1 … 13.如图，在正方形ABCD中，AB=4,AE=2, 6 4 6 10 DF=1,则图中共有直角三角形 () c 22+1 32+142+1 52+1… A.1个 (1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系， B.2个 并用含n(n>1,且是自然数)的式子表 C.3个 示a,b,c,则a= ,b= D.4个 c= 14.【教材P44复习题T8变式】古希腊哲学家 (2)猜想以a,b,c为边长的三角形是否是直 柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的 角三角形，并证明你的猜想， 一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；…，若此 类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)， 则其弦是 .(用含m的式子表示) 15.【新课标·补充解题过程】小欣在学习完本 节课后，对勾股定理的逆定理的证明提出了 新的方法，以下是他作业本上的证明过程： 已知：如图，在△ABC中，AC2+BC2=AB, 求证：△ABC是直角三角形. 可解题沙招 证明：如图，作CM⊥AC,垂足为C,在CM上截 判断一组数是不是勾股数的步骤： 取CD=CB,连接AD,… ①看：看是不是三个正整数；②找：找出最大 数；③算：计算最大数的平方与两个较小数的平方 和；④判：若两者相等，则三个数是一组勾股数，否 D 则就不是一组勾股数.如T7,T8. 助学助教优质高数282.C 3.AB 解：如图所示，线段AB,CD,EF即为所求 5.(-3,3√3)6.23一27.C8.<9.√210.解：(1)(2)图略11.解：(1) (Wm)2+1=n+1,S.=.0An=V0.(2)S+S+S+…+S。=()+ ()+()++()-1+2+3++9+10-5 4 20,2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 知识储备 1.a2十b2=c2直角三角形2.勾股数 基础练综合练素养练 1.A2.B3.C4.直角三角形5.是6.(1)解：a2+c2=(3)2+(W5)2=8,b =(2√2)2=8，.a2十c2=b..△ABC是直角三角形，∠B=90°；(2)解：设a=5x, 则b=12x,c=13x.:a2+6=(5x)2+(12x)2=169x2,c2=(13x)2=169x2,∴.a2+b =c2..△ABC是直角三角形，∠C=90°.7.D8.B9.5,12,138,15,17(答案 不唯一)10.B11.B12.C13.D14.m2+115.解：续写过程如下：∠ACD =90°，∴.AC2+CD2=AD.AC2+BC=AB2,CD=CB,..AD2=AB2..AD= AB.又：AC=AC,BC=DC,∴△ABC≌△ADC..∠ACB=∠ACD=90°.∴.△ABC 是直角三角形.16.解：(1)n2一12nn2+1(2)是直角三角形.证明如下：.a n2-1,b=2m,c=n2+1,.a2+b=(n2-1)2+(2m)2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2.∴a2+ b=c2.∴.以a,b,c为边长的三角形是直角三角形. 第2课时勾股定理的逆定理的应用 知识储备 直角 基础练综合练素养练 1.正北2.不垂直3.解：B舰艇的航行方向是北偏东40°，理由如下：由题意，得OA =12×5=60(海里)，OB=16×5=80(海里).又.AB=100海里，602+802=1002，即 OB十OA2=AB.∴∠AOB=90°.：∠DOA=50°，∴.∠BOD=40°.答：B舰艇的航行 方向是北偏东40°.4.455.解：符合设计要求，理由如下：：∠DBC=90°，BC= 32cm,CD=40cm,∴.BD=√/CD-BC=√/402-32=24(cm).在△ABD中，AB =26 cm,AD=10 cm,BD=24 cm,.'AD2+BD2=102+242=262=AB2..'.AABD 是直角三角形，即∠ADB=90°.∴，∠ADB=∠DBC.∴AD∥BC..该尾翼模型符合 设计要求.6.C7.B8.解：连接AC.在Rt△ABC中，∠B=90°，∴.AC /AB2+BC=5.在△ACD中，AC+CD=(W5)2+12=6,AD=(√6)2=6，.AC 十CD=AD.∠ACD=90.5am=S8+5m=号X2X1+2×1X,5 =2+5 .9.解：(1)由勾股定理，得CD=√BC-BD=√/252-15= 2 20(m),.CE=CD+DE=20+1.6=21.6(m):(2)如图，由勾股定理 得BF=/DF2+BD=/(20-12)2+152=17(m),25-17=8(m),答 他应该往回收线8m.10.(1)证明：，'AC=300km,BC=400km,AB =500km,.AC+BC=AB2.∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB= 90°；(2)解：海港C受台风影响.理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于 点D.SAe=2AC·BC-号AB·CD.∴CD=ACBC_300X40 AB 500 =240(km). 240<250,∴.海港C受台风影响；(3)解：如图，当E℃=250 km,FC=250km时，正好影响海港C.CD⊥EF,.EF=2DE.在 Rt△CED中，由勾股定理，得ED=√EC-CD=√250-240 =70(km)..EF=140km.,.140÷20=7(h).答：台风影响该海港A ED E 持续的时间为7h. 回归教材专题（一）利用勾股定理探索两点间的距离 【例811√8+11下√185(1)5(2)y-为lx-x2l√(-)+(y-2y(3) 1-y3-y50,52-x4-x55,00,55,0 1.22./58 3.解：△ABC是等腰三角形，理由如下：.AB √(-1+3)2+(4-1)2=√13，BC=√(-3-1)+(1-1)2=4，AC= √(-1-1)+(4-1)F=√I3,∴AB=AC且AB2十AC≠BC..△ABC为等腰三 角形. 模型构建专题（二）利用勾股定理解决几何体中最短路径问题 【例】解：(1)①把前面和上面展开在一个平面上，如图①.MN=√(50+30)2+40= 40√5≈89.44cm;②把左面和上面展开在一个平面上，如图②.MN= /(50+40)2+302=30√10≈94.87cm;③把前面和右面展开在一个平面上，如图③.