精品解析：河北望都中学2025-2026学年高一1+3创新班下学期5月期中数学试题

数 学 试 题 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 6. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知幂函数在上单调递减，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列各结论中正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 是假命题，则实数a的取值范围是或 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 若一次函数满足，则函数的解析式为 B. 若，则函数的定义域为 C. 若，则函数的解析式为 D. 若函数满足关系式，则 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是奇函数，则_______. 13. 函数的单调增区间是_____． 14. 函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）若的单调递减区间是，求a的值． （2）若关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集； （3）若，求关于x的不等式的解集． 18. 某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足： （1）求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量. 19. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 题 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算可得. 【详解】因为集合，，∴. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得答案. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理逐项判断. 【详解】因为在上是连续的增函数， 对于A：时，，，不满足零点存在性定理，A错误； 对于B：，，不满足零点存在性定理，B错误； 对于C：因为，， 根据零点存在性定理，，，C正确； 对于D：，，不满足零点存在性定理，D错误； 故选：C. 4. 已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性并根据不等式分类讨论，进而求解. 【详解】由题意知在上单调递减，且， 由或， 即或， 解得或， 故选：D. 5. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合不等式性质逐项判断各选项即可. 【详解】对于A，∵，∴，A不正确； 对于B，当时，由 ，可得，B不正确； 对于C，若，则， ∴，，， ∴，两边同除以，得，C正确； 对于D，若，则，所以，D不正确. 故选：C. 6. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式先求的范围，进而求解. 【详解】因为（当且仅当，即时，取等号）， 所以，但，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 7. 已知幂函数在上单调递减，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及在第一象限的单调性求解出的值，代入解析式可求结果. 【详解】函数为幂函数，， ，又在上单调递减，， ，， 故选：D． 8. 已知函数在上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意由二次函数的单调性和分段函数在间断点处函数值列不等式组，再解不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以 即 ∴. 故选：A 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列各结论中正确的是（    ） A. “”是“”的充要条件 B. 函数的最小值为2 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 是假命题，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A,,故“”是“”的充要条件，A正确， 对于B, ,当且仅当取等号，但无实数根，故等号取不到，因此2不是的最小值，B错误， 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C错误， 对于D, 由于是假命题，故，则或，故D正确. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 若一次函数满足，则函数的解析式为 B. 若，则函数的定义域为 C. 若，则函数的解析式为 D. 若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 【答案】AC 【解析】 【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确. 【详解】由，得，作出的大致图象，如图所示， 结合函数图象，可得： 当时，方程只有1解； 当或时，方程只有2解； 当时，方程只有3解； 当时，方程只有4解， 所以有四个零点，则，故D错误， 若有四个零点，由图可知： 当时，，，， ，， 当时，，的最小值为，故A正确； 当时，，，，故B错误； ，，故C正确. 故选：AC. 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是奇函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：由在处有定义的奇函数，利用即可求解； 解法二：利用奇函数的定义得，进而求解. 【详解】解法一：∵在处有定义， ∴是为奇函数的必要不充分条件， 由解得（舍去）， 经检验，时，为奇函数. 故答案为：. 解法二：由为奇函数得， 即， 解得（舍去）. 故答案为：. 13. 函数的单调增区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 14. 函数（，且）的图象恒过定点，若点在上，其中，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出，进而得到，根据结合基本不等式即可求出答案. 【详解】函数（，且）的图象恒过定点， 因为点在上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 已知 ， 或 ，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ，  解得，即m的取值范围为； 【小问2详解】 若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ①  ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 16. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）偶函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. 【小问2详解】 函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. 【小问3详解】 依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 17. 已知函数． （1）若的单调递减区间是，求a的值． （2）若关于x的不等式的解集为，求关于x的不等式的解集； （3）若，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）1 （2） （3）答案见详解． 【解析】 【分析】（1）分，讨论，根据二次函数单调性可得； （2）利用韦达定理求出，然后可解； （3）对分类讨论，结合二次不等式的解法求解即可． 【小问1详解】 当时，的单调递减区间为，不满足题意； 当时，由的单调递减区间是， 可得，解得． 综上，的值为1； 【小问2详解】 若关于的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式即为： 即 解得或， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 若，则即为： ， 即， 由于，可得方程的两根为， 当时，，解不等式，得； 当时，，解不等式，得或； 当时，，解不等式，得或； 当时，由得． 综上，当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为； 当时，所求不等式解集为． 18. 某芯片生产企业准备再建一条AI芯片生产线，在现有条件下，每月生产（千片）芯片，每片芯片售价0.3万元且全部销售完.该生产线每月需投入500万元的固定成本，另需投入的成本（万元）与的关系满足： （1）求每月的利润（万元）关于月产量（千片）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量. 【答案】（1） （2）最大利润是800万元，此时月产量为50000片. 【解析】 【分析】（1）根据，分、分别求出函数解析式，即可得解； （2）当时根据二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式求出最大值，即可得解. 【小问1详解】 当月产量为千片时，销售额为（万元）， ∴ ， 又 当时 ， 当时 ， 所以 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当时取等号. 当时，， 当且仅当，即时，取等号， ∵， ∴该企业每月所获取的最大利润是万元，此时月产量为片. 19. 已知定义在上的函数满足，且，． （1）求实数的值； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，进而得，利用对数的运算即可求解； （2）由（1）得，利用复合函数的单调性判断的单调性，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，利用基本不等式即可求解； （3）对任意的，存在，使得，即在上的最小值不小于在上的最小值，利用单调性先求，即在上有解，则在上有解，令，再令，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由，所以， 即， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得在上单调递增，在上单调递增， 由复合函数的单调性得在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立， 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以，故实数的取值范围是； 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. ，则在上有解， 则在上有解， 令，， 令，，则，当且仅当时取等号， ∴，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $