广西百色市平果市铝城中学2025-2026学年高一下学期段考测试数学试卷

**基本信息** 2025级高一下学期数学段考卷聚焦复数、向量、立体几何及解三角形核心内容，通过直观图周长计算（4题）、圆锥线面证明（17题）、解三角形综合应用（18题）等设计，考查空间观念、推理能力与运算能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|复数坐标、向量夹角、直观图还原|几何直观与空间观念结合| |多选题|3题15分|圆台表面积、线面位置关系|多维度辨析空间几何性质| |填空题|3题15分|解三角形边长、圆柱异面直线夹角|运算能力与空间想象并重| |解答题|5题77分|解三角形面积与周长、向量投影、四棱锥线面平行证明|综合考查推理能力与模型意识|

2025级高一下学期数学段考测试卷 编者：林大泽 平果市铝城中学 姓名：___________班级：___________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单选题（每题5分共40分） 1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．与向量同方向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（    ） 第5题 A． B． C． D． 5．如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（    ）   A．2 B．4 C．8 D．12 6．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 8．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 二、多选题（每题5分共18分） 9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 10．已知直线，平面，则（　　） A． B． C． D． 11．在中，角的对边分别是，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 三、填空题（每题5分共15分） 12．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 13．在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 14．如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 四、解答题（本小题共5题合计77分） 15．（13分）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的值. 16．（15分）设向量，，. (1)若与平行，求的值；(2)若与垂直，求的值； (3)求的余弦值；(4)求在上的投影数量. 17．（15分）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 18．（17分）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小；(2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面；(2)设点在上，且，证明：平面； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025级高一下学期数学段考测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A A A A C ABD BC 题号 11 答案 AB 1．A【详解】∵ 复数的分子分母同乘进行化简，. ∴ 该复数对应的点的坐标为. 2．B【详解】因为， 与同方向的单位向量的坐标为． 3．C【详解】由题意，得，而，则. 4．A【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A．        5．A【详解】取的中点，连接，则， 所以. 6．A【详解】由正弦定理，， 不妨设，，，则由余弦定理，，因为，所以． 7．A【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 8．C【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 9．ABD【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积，所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 10．BC【详解】对于选项A：反例：若，，则，此时符合条件但不符合结论，故A选项错误； 对于选项B：已知，则设所在的平面与的交线为，由线面平行性质可得， 因为，所以有，因为是内的一条直线，故，故B选项正确； 对于选项C：若，且，则，若，则，故C选项正确； 对于选项D：反例：若两两垂直，则有它们的交线，此时符合条件但不符合结论，故D选项错误；故选：BC. 11．AB【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式，故B正确； 对于C，根据正弦定理，可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确. 12．/【详解】由，，则， 由正弦定理，知. 13．【详解】因为，代入得，化简得. 由余弦定理，结合， 得. 因为为边长，故. 14．/0.7【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，，所以四边形是平行四边形， 所以，，则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. 15．【详解】（1）由正弦定理得，， 又，所以， 则， 化简得，，在中，，所以， 又因为，所以. （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以. 16．【详解】（1）因为， 所以， 因为与平行，所以，所以 （2）因为，， 所以， 又因为与垂直，故，所以 （3）因为，， 所以， 所以 所以的余弦值为 （4）因为，，所以 所以 则在上的投影数量为. 17．【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 18．【详解】（1）∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. ∴ ，.代入得. ∵ ，∴ ，两边同时约去，得，即. 又∵ ，∴ . （2）∵ ，，，由余弦定理得， 代入得，即，整理得. 解得或（边长为正，舍去）. ∴ 的面积. （3）由余弦定理得，即. 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， ∴ ， ∴ ，即，当且仅当时等号成立. 又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ， ∴ ， ∴ 的周长. 19．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $