6.4 用图象表示变量之间的关系（第1课时 体验图象表示变量之间的关系）（教学设计）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学教学设计聚焦“用图象表示变量之间的关系（第1课时）”，承接表格法、关系式法，通过复习两种方法的优缺点，结合气温变化情境引出图象法，搭建从代数表达到几何直观的学习支架。 以生活情境为载体，通过分层探究（初识图象结构、探究变化规律、规范描述语言）培养几何直观与模型意识，如分析气温图象的升降趋势。融入中考真题强化应用，帮助学生建立数形结合思维，教师可依托清晰环节提升课堂效率。

6.4 用图象表示变量之间的关系（第1课时 体验图象表示变量之间的关系） （教学设计） 1.教学内容 本节课为北师大版初中数学七年级下册第六章“变量之间的关系”第四节“用图象表示变量之间的关系”第1课时体验图象表示变量之间的关系.核心教学内容为：体验图象表示变量之间的关系。认识变量图象的平面直角简易模型，理解图象中横轴、纵轴分别代表的自变量、因变量；学会观察图象的上升、下降、水平变化趋势，解读简单实际情境对应的图象信息；能根据图象判断变量的增减变化、变化快慢、恒定不变等状态；区分三种变量表示方法的特点，初步建立“数形结合”解读变量关系的思维，为下一课时复杂图象分析及初中函数图象学习筑牢基础. 2.内容解析 本章是初中函数的启蒙章节，本节课是变量三种表示方法的收官课时，承接前两节表格、关系式的代数表达形式，转向几何图象直观表达，是学生从“数的关系”走向“形的直观”的关键转折点.图象法是后续一次函数、反比例函数、二次函数图象分析的核心基础，本节课培养的读图、析图、识图能力，贯穿整个初中函数学习，在初中数学知识体系中具有承前启后的核心作用.本节课内容贴合七年级学生具象思维特点，以生活情境（温度变化、路程时间变化、水位变化等）为载体，将抽象的变量变化规律转化为直观的折线图象。相较于表格、关系式，图象法直观形象、能清晰展示变量整体变化趋势，弥补了前两种方法的短板，三种方法形成互补完整的变量认知体系.通过图象观察、情境匹配、规律分析的探究过程，培养学生数形结合、直观想象、数学建模的核心素养，让学生感受数学图形的直观美感，体会数学与生活的紧密联系，提升数据分析与逻辑推理能力. 基于以上分析，本节课的教学重点为：认识变量图象的坐标轴意义，掌握图象上升、下降、水平线段对应的变量变化规律.读懂简单实际情境的变量图象，提取图象中的有效信息，描述变量的变化过程. 1. 教学目标 （1）了解图象是表示变量之间关系的重要方法，认识变量图象的坐标轴含义，明确横轴表示自变量、纵轴表示因变量.能读懂简单的变量变化图象，准确识别图象中上升、下降、水平线段对应的变量变化状态.能结合生活情境解读图象信息，判断变量的增减、快慢、不变等变化规律，实现图象与实际情境的相互转化. （2）经历“生活情境—转化图象—观察图象—解读规律”的完整探究过程，体验数形结合的数学思想，掌握图象分析的基本方法，提升直观想象和数据分析能力. （3）在自主探究、情境匹配、合作交流中感受图象表示变量关系的直观优势，激发对函数图象学习的兴趣，养成严谨观察、有序分析的数学思维习惯，体会数学的实用性. 2.目标分析 目标1面向全体学生，掌握图象的基本构成、坐标轴对应的变量类型，能识别图象基础变化趋势，落实本节课基础概念与识图技能，达成课标基础要求。 目标2面向中等学生，能独立解读生活情境类图象信息，精准区分变量变化快慢、恒定不变的图象特征，能简单匹配情境与图象，提升知识应用能力。 目标3面向学有余力的学生，初步建立数形结合思维，理解三种变量表示方法的优劣与适用场景，形成“以形示数”的建模思维，为后续函数深度学习铺垫核心素养. 学生在前几课时已经熟练掌握自变量、因变量的概念，精通表格法、关系式法表示变量关系，具备基本的变量思维；同时七年级学生已认识平面直角坐标轴雏形，具备简单的图形观察能力，为本节课图象学习奠定基础.七年级学生具象思维占主导，对直观的图形、情境兴趣浓厚，相较于抽象的代数计算，更易接受图象直观表达；但逻辑梳理能力较弱，难以将图象的动态变化与实际过程精准对应，对“倾斜程度代表变化快慢”的抽象规律理解困难.混淆横轴、纵轴对应的变量；无法区分匀速不变、快速变化、缓慢变化的图象差异；描述变化过程语言不规范、逻辑不完整；割裂图象与实际情境的联系，只会看图不会解读情境. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是根据图象变化的倾斜程度判断变量变化的快慢；将抽象的图象变化与真实生活情境精准对应，准确还原完整的变量变化过程. 复习回顾：提问学生前两节学习的变量表示方法（表格法、关系式法），简单说出两种方法的优缺点. 生活情境：展示某地一天的气温变化数据，表格只能呈现整点温度，关系式难以直观看出全天温度起伏变化. 设问激趣：有没有一种方法可以一眼看出温度的升降、高低变化趋势？引出本节课新知——用图象表示变量之间的关系. （设计意图：通过旧知回顾构建知识体系，利用生活中气温变化的真实情境，凸显表格、关系式的局限性，凸显图象法直观的优势，自然导入新课，激发学生探究兴趣，实现新旧知识的平稳衔接.） 探究点1：初识图象，认知结构 问题：气温的变化是人们经常读论的话题。请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情况. 教师展示温度—时间变化图象，引导学生自主观察、小组交流，探究图象基本结构： 追问1. 图像是由哪些部分构成的？ 横轴、纵轴、折线图象. 追问2. 怎样用图像表示变量的？ 横轴（水平轴）表示自变量（时间），纵轴（竖直轴）表示因变量（温度）. 追问3.图像上每个点表示什么？ 图象上的每一个点，都对应一组“自变量—因变量”的数值，代表一个时刻的温度. 师生小结：所有变量关系图象，统一遵循横轴自变量、纵轴因变量的规则. （设计意图：依托最简单的气温图象，让学生自主观察认知图象基本结构，掌握识图核心规则，突破基础认知重点，避免后续识图混淆变量，夯实新知基础.） 探究点2：认识图象，探究规律 结合气温变化图象，分层探究图象变化特征， 追问1：你能描述该地这一天气温的变化情况吗?在什么时间范围内气温下降，什么时间范围内气温上升? 从0:00到3:00，气温逐渐下降;从3:00到15:00，气温逐渐上升;从15:00到24:00，气温逐渐下降. 追问2：该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的?最高气温呢?这一天的温差是多少? 最低气温是23℃，在3:00达到;最高气温是37℃，在15:00达到;这一天的温差是14℃. 追问3：图中的A点表示什么?B点呢? A点表示21:00的气温是31℃，B点表示0:00的气温是26℃. 追问4：你预测该地这一天次日凌晨1:00的气温是多少?说说你的理由。 根据图象的变化趋势和这一天的气温情况，可以预测次日凌晨1:00的气温大约是24℃. 师生讨论：图象上升，下降，水平. 图象上升：从左向右图象走高→因变量随自变量增大而增大（时间增加，温度升高）；图象下降：从左向右图象走低→因变量随自变量增大而减小（时间增加，温度降低）； 图象水平：图象保持水平不变→因变量恒定不变（时间增加，温度不变）. （设计意图：从具体的图像出发，分层递进探究图象变化规律，从基础的升降不变，到难点的变化快慢，符合学生认知梯度；通过具象图象直观突破本节课难点，让学生自主归纳识图方法，落实数形结合思想.） 探究点3：语言建模，规范描述 尝试思考 如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况.观察图象，回答下列问题: 追问1：你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗? 从1月到6月中旬，此地日出时间越来越早;从6月中旬到12月，此地日出时间越来越晚.从1月到6月，此地日落时间越来越晚;从7月到12月中旬，此地日落时间越来越早;从12月中旬到12月月底，此地日落时间越来越晚. 追问2：这一年日出时间最早大的是什么时候?最晚呢?日落时间呢? 此地日出时间最早大约是4:50，最晚大约是7:40;日落时间最早大约是16:50，最晚大约是19:30. 教师示范图象变化过程的规范描述： 在……时间段（自变量范围），……（因变量）随……（自变量）的增大而增大/减小/不变，变化较快/较慢. 组织学生分段描述一天气温的整体变化过程，纠正不规范、不完整的表述. （设计意图：针对学生描述不规范的易错点，建立标准化语言模型，培养学生严谨的数学表达能力，落实识图、析图、述图的完整技能.） 典型例题 例1：如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题：    (1)在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内）气温在什么时候达到最高，最高温度是多少摄氏度？ (2)什么时间气温达到最低？ (3)上午10时，下午20时的气温各为多少摄氏度？ (4)如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18℃以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始，共有多长时间适宜登山？ 【分析】从函数图象中获取信息，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内），下午14时达到最高，最高温为22℃； （2）深夜24时气温达到最低，最低温度约10℃； （3）上午10时气温20℃，下午20时气温为12℃ （4）从上午8时30分开始18时结束，共有9.5小时适宜登山． （设计意图：学完新知识后通过典型例题，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解） 课堂练习：课本Ｐ157随堂练习 参考答案：1.(1)从0:00到3:00，该港口水深逐渐增大;从3:00到9:00，该港口水深逐渐减小;从9:00到12:00，该港口水深又逐渐增大.(2)3:00时该港口的水最深，深度约为7.5m;9:00时该港口的水最浅，深度约为2.4m.(3)A点表示6:00时该港口的水深为5m，B点表示12:00时该港口的水深为4.3m，0:00时水的深度与A点所表示的深度相同.(4)1:00到5:00货轮可以进港. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 【详解】（1）解：由图像看出体育场距文具店（千米）． （2）解：由图像看出小强在文具店逗留了（分）． （3）解：文具店到家的距离是千米，小强回家的时间为分钟， ∴小强从文具店回家的平均速度是（千米/分）． （设计意图：强化对所学概念的拓展与延伸） 1．（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于100W•h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．电池能量最多可充400W•h B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 【解答】解：由图象可得，当x＝0km时，y＝500W•h， ∴电池能量最多可充500W•h，故A错误； 500÷25＝20（W•h），20×10＝200（W•h）， ∴摩托车每行驶10km消耗能量200W•h，故B错误； 由图象可得，当x＝25km时，y＝0W•h， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故C正确； （500﹣100）÷20＝20（km）， ∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故D错误； 故选：C． 2．（2025•广西）生态学家G．F．Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（　　） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【解答】解：A．第5天的种群数量为400个，原说法错误，该选项不符合题意； B．前3天种群数量持续增长，说法正确，该选项符合题意； C．第5天的种群数量达到最大，原说法错误，该选项不符合题意； D．每天增加的种群数量不相同，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025•南陵校考）某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量（单位：）与该摩托车行驶路程（单位：）之间的关系如图所示，则自变量的取值范围是（  ） A． 　　B． 　　C． 　D． 【解答】解：由函数图形可知，自变量的取值范围是． 故选：C． 4．（2025•湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　　 （“甲”或“乙”先到终点）． 【解答】解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点． 故答案为：甲． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：（1）核心方法：图象法是表示变量关系的第三种重要方法.（2）识图规则：横轴表示自变量，纵轴表示因变量.（3）图象规律：图象上升→因变量增大，图象下降→因变量减小，图象水平→因变量不变；图象越陡变化越快，越平缓变化越慢. 方法总结：（1）识图三步法：一看轴（确定自、因变量）→二看势（判断升降、不变）→三看陡（判断变化快慢）.（2）解题思想：数形结合思想，将图形特征转化为数量变化规律，将生活情境转化为数学图象.易错提醒：（1）识图易错：颠倒横轴、纵轴对应的自变量和因变量，导致解读完全错误.（2）判断易错：混淆图象平缓与陡峭的意义，无法区分变量变化的快慢.（3）表述易错：语言不规范、缺少自变量范围，逻辑不完整.（4）认知易错：认为图象能读出精准数据，忽略图象只能读取近似值，精准计算需依靠关系式、表格.（5）情境易错：无法匹配静态图象与动态生活过程，忽略实际情境的合理性. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题6.4第1、2题. 探究性作业：教材Ｐ160阅读欣赏. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 6.4 用图象表示变量之间的关系（第1课时) 探究点1：初识图象，认知结构 探究点2：认识图象，探究规律 探究点3：语言建模，规范描述 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $