第六章 变量之间的关系（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学单元复习讲义通过分层题型框架系统梳理了“变量之间的关系”知识体系，将11个核心题型按“基础巩固-能力提升-思维拓展”递进组织，用表格对比常量与变量、例题与变式题结合呈现知识脉络，涵盖概念辨析、图像分析、几何建模等重难点。 讲义亮点在于“情境化问题链”设计，如题型5分析气温变化图像培养几何直观，题型9几何动点建模发展模型意识，基础题夯实概念理解，拓展题提升推理能力，助力不同层次学生进阶，为教师分层教学和学生自主复习提供精准支持。

第六章 变量之间的关系（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 判断常量与变量】 1 【题型2 区分自变量与因变量】 3 【题型3 根据表格填数据】 4 【题型4 列简单关系式】 7 【能力提升】 9 【题型5 分析图像变化趋势】 9 【题型6 根据实际情境求值】 12 【题型7 求关系式中未知数】 15 【题型8 分段图像分析】 17 【思维拓展】 20 【题型9 几何动点建模】 20 【题型10 多过程图像分析】 23 【题型11 变量关系综合应用】 27 【基础巩固】 【题型1 判断常量与变量】 【例1】（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【答案】B 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 【变式1-1】如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积 【答案】B 【分析】根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：由题可知，当旋转时，的长度不变，则为常量． 【变式1-2】购买单价为3元的笔记本，总金额（元）与笔记本数（本）的关系为，其中_____是常量，_____是变量． 【答案】 3 x，y 【分析】根据常量与变量的定义，在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．结合题目中各量的变化情况判断即可． 【详解】解：本题中，笔记本的单价始终为3不变，总金额y随购买笔记本的数量x的变化而变化，因此是常量，和是变量． 【变式1-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【答案】 和 3和1 【分析】此题主要考查了常量与变量，规律型：数字变化类，正确得出棋子个数变化规律是解题关键． 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加 （或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：第一个图需棋子 ； 第二个图需棋子； 第三个图需棋子； 第个图需棋子枚． 其中变量是，常量是 1 和3． 故答案为：． 【题型2 区分自变量与因变量】 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是______．（填“自变量”“因变量”或“常量”） 【答案】自变量 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据常量与变量的意义，即可解答． 【详解】解：我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是自变量， 故答案为：自变量． 【变式2-1】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（   ） A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量 【答案】B 【详解】解：一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中r是自变量，V是因变量， 故选：B． 【变式2-2】某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量 【答案】C 【详解】解：A、x是自变量，0.55是常量，故错误； B、0.55是常量，x是自变量，故错误； C、x是自变量，y是因变量，正确； D、x是自变量，y是因变量，故错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了自变量和因变量、常量的定义，解题的关键在于能够熟练掌握三者的定义. 【变式2-3】近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数（人）与时间（年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人 50 80 100 150 200 270 350 则下列说法不正确的是（    ） A．上表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系 B．（人）随时间（年）的推移逐渐增大 C．自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人） D．自变量是留守儿童的人数（人），因变量是时间（年） 【答案】D 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格提供的数据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．根据表格可知：表格反映了留守儿童的人数与时间之间的关系，故A正确，不符合题意； B．根据表格可知：（人）随时间（年）的推移逐渐增大，故B正确，不符合题意； CD．根据表格可知：自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人），故C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 【题型3 根据表格填数据】 【例3】（24-25八年级下·陕西延安·月考）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如下表： 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 42 … 解答下面的问题： (1)将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，蓄水池中的水量随放水时间的增长怎样变化？ (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是多少立方米？ 【答案】(1)见解析 (2)蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少 (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键． （1）由表格可知，放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小，据此求解即可； （2）根据表格可得，蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少； （3）根据放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小，计算求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小， ∴放水时，蓄水池中的水量为， 补全表格如下； 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 44 42 … （2）解：由表格中的数据可得，蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少； （3）解：， 当放水时间为时，蓄水池中的水量是． 【变式3-1】某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位数按下列规律设置： 排数 1 2 3 4 5 6 … 座位数 60 64 68 72 76 ______ … (1)请将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，请说明座位数是随排数的增长而怎样变化的？ (3)当排数是7时，该排的座位数是多少？ 【答案】(1)80 (2)座位数随排数的增长而增长 (3)84 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，找到数据的变化规律是解题的关键． （1）由表格可知，当排数每增加1排时，座位数就会增加4，据此作答即可； （2）根据表格中的数据，可得出座位数是随排数的增长的变化情况； （3）根据表格中的规律，计算出当排数是7时，该排的座位数． 【详解】（1）由表格可知，当排数每增加1排时，座位数就会增加4， 当排数为6排时，座位数为80． 故答案为：80； （2）根据表格中的数据，可得出座位数随排数的增长而增长． （3）， 答：当排数是7时，该排的座位数是84． 【变式3-2】某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 ____ 4000 5000 6000 … (1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将表格补充完整； (3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用） 【答案】(1)反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量； (2)见解析 (3)每月乘坐该路公交车要达到7000人次． 【分析】此题考查的是变量与常量的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据表格即可得出结论； （2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐，每月的收入就增加2元，然后求出总收入即可求出结论． 【详解】（1）解：反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量； （2）解：由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元， 表格补充如下： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 3000 4000 5000 6000 … （3）解：（元） （人次）． 答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次． 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）综合实践小组探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．下面的表格是他们实验过程中的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题： 燃烧时间 0 5 10 15 剩余长度 20 16 12 8 (1)根据表中信息可知，自变量是______，因变量是_______； (2)当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是多少厘米？ 【答案】(1)燃烧时间；剩余长度 (2)4cm 【分析】本题考查用表格法表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律得到自变量和因变量变化关系是解题的关键． （1）随着燃烧时间的变化，剩余长度在变化，以此得到自变量和因变量． （2）根据表格中的数据计算得出时间每增加 ，长度减少，从而可以求出20分钟时，香剩余的长度． 【详解】（1）自变量是燃烧时间，因变量是剩余长度． （2）根据表格每增加 ，长度减少 当时间为20分钟时，香剩余的长度为 答：当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是4cm厘米． 【题型4 列简单关系式】 【例4】（25-26七年级下·全国·周测）某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 绿化面积占用地总面积的，因此是的，由此即可得到与的关系式. 【详解】解：∵ 绿化面积用地总面积， ∴ . 故选：D. 【变式4-1】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉．某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，茶叶总盒数固定，根据每天售出盒数与售完天数的乘积等于总盒数，建立关系式即可． 【详解】解：∵每天售出16盒，25天售完， ∴总盒数为 盒． 又∵每天售出x盒，y天售完， ∴， ∴． 故选A． 【变式4-2】（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为____________． 【答案】 【详解】解：总油量为，每行驶耗油， 行驶消耗油量为，因此剩余油量， 故答案为： ． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“6.18”购物节期间，某商场做优惠活动，对于标价超过600元的服饰先按标价减80元再打七折，小辰的妈妈在该商场购买了标价x元的服饰，则应付款y（元）与标价x（元）之间的关系式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，解题的关键是理解题意．根据优惠规则，对于标价超过600元的服饰，先减80元，再打七折，即可得到应付款y与标价x的关系式． 【详解】解：标价x元，先减80元，得元，再打七折，即乘以，故应付款． 故答案为：． 【能力提升】 【题型5 分析图像变化趋势】 【例5】如图所示的是某市6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题． (1)这天的最高气温是 ℃； (2)这天共有 个小时的气温在31℃以上； (3)这天在 （时间）范围内温度在上升； (4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？ 【答案】(1)37； (2)9； (3)3点-15点； (4)25． 【详解】（1）由图可知这天的最高气温1是37度； （2）气温在31度以上的是从12时到21时，21-12=9个小时； （3）由图可知这天在3点-15点范围内温度在上升； （4）次日凌晨1点的气温大约是25℃． 【变式5-1】如图是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）护士每隔 小时给病人量一次体温； （3）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度； （4）他在4月8日12时的体温是 摄氏度； （5）图中的横虚线表示的含义． 【答案】（1）时间，体温；（2）6；（3）39.5，36.8；（4）37.5；（5）人的正常体温 【分析】（1）根据折线统计图的特点解答即可； （2）根据横轴的特点即可求解； （3）根据折线统计图的特点即可求解； （4）根据折线统计图的特点即可求解； （5）根据折线统计图的特点即可求解． 【详解】解：（1）自变量是时间，因变量是体温； （2）护士每隔6小时给病人量一次体温； （3）这位病人的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度； （4）他在4月8日12时的体温是37.5摄氏度； （5）图中的横虚线表示人的正常体温； 故答案为：时间；体温；6；39.5；36.8；37.5． 【点睛】此题主要考查了常量和变量以及折线统计图，关键是正确从统计图中获取信息． 【变式5-2】人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【答案】(1)时间，记忆保持量 (2)① (3)记忆9小时后记忆保持量约为 (4)见解析 【分析】本题主要考查了图象表示变量之间的关系． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）结合图象可知，内曲线下降的最快，即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； （2）由图象可知，在学习后内遗忘的速度最快． 故答案为：①． （3）结合图象可知，图中点表示的意义是：记忆9小时后记忆保持量约为； 故答案为：记忆9小时后记忆保持量约为； （4）如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习． 【变式5-3】如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的关系图，据图回答下列问题： (1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ (2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？ (3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？ (4)A点表示的是什么？ 【答案】(1)35℃~40℃；12小时 (2)3℃ (3)4时到16时体温上升；0时到4时，16时到24时体温下降 (4)12时，骆驼的体温为39℃ 【分析】观察0时到24时，骆驼的体温变化，进行解答即可． 【详解】（1）解：由图可知，最低体温为，最高体温为， ∴骆驼体温的变化范围为； ∵， ∴从最低体温上升到最高体温需要12小时． （2）解：由图可知16时体温为，24时体温为 ∵ ∴骆驼体温下降了． （3）解：由图可知，在4时到16时，骆驼体温上升；在0时到4时，16时到24时，骆驼体温下降． （4）解：点表示，在12时，骆驼的体温为． 【点睛】本题考查了图象表示变量间的关系．解题的关键在于从图中获取正确的信息． 【题型6 根据实际情境求值】 【例6】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上．根据表格已提供的数据信息，解答下列问题： 数量（个） 1 2 3 4 … 高度 6.2 8.6 … (1)求出表格中、的值； (2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； (3)若这摞碗的高度为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了利用表格表示变量之间的关系，正确求出每增加一个碗，碗总高度增加是解此题的关键． （1）先求出每增加一个碗，碗总高度增加多少，即可得出、的值； （2）由（1）可得每增加一个碗，碗总高度增加，即可得出答案； （3）当时，，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：每增加一个碗，碗总高度增加：， ∴，． （2）解：由（1）可得每增加一个碗，碗总高度增加， ∴整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式为； （3）解：当时，． 解得：． 【变式6-1】俗话说：“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才．”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，若小明在前n天的日平均背单词量最高，则n的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查通过图象获取信息，分析出每天的日平均单词量都在增长即可得解，看懂图象是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，每天背诵的单词都在增长，第9天所背单词总量最多， 所以小明每天的日平均背单词量都在增长，因此n的值为9． 故答案为：9． 【变式6-2】（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）王老师打一篇演讲稿，每分钟打字的个数与所需时间之间的关系如下表： 每分钟打字的个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 (1)这篇演讲稿共有多少字？ (2)所需时间是怎样随着每分钟打字的个数的变化而变化？ (3)用表示所需时间，用表示每分钟打字的个数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？当时，求的值． 【答案】(1)3000个字 (2)所需时间随着每分钟打字的个数的减小而增大 (3)， 【分析】本题考查了变量之间的关系，熟知字数=每分钟打字的个数×时间是解答本题的关键． （1）根据字数=每分钟打字的个数×时间求解即可； （2）根据表格中的数据分析即可； （3）根据时间=字数÷打字速度求出解析式，然后把代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：个； （2）解：由表格可知，所需时间随着每分钟打字的个数的减小而增大； （3）解：由题意得，， 当时，． 【变式6-3】如图所示，圆柱的高为，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化． (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量 (2)请你求出圆柱的体积与圆柱的底面半径之间的关系式 (3)的值能为负值吗为什么 (4)当圆柱的底面半径从变化到时，圆柱的体积变化了多少最后结果保留 【答案】(1)圆柱的底面半径，圆柱的体积 (2) (3)不能为负值，理由见解析 (4)圆柱体积增加了 【详解】（1）解：在这个变化过程中，圆柱的底面半径是自变量，圆柱的体积是因变量； 故答案为：圆柱的底面半径；圆柱的体积； （2）解：因为圆柱的体积底面积高， 所以； （3）解：因为为圆柱的底面半径，所以，因此不能为负值； （4）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， ， 所以圆柱体积增加了． 【题型7 求关系式中未知数】 【例7】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知气温（℃）与海拔高度的关系式为． （1）变量是__________，常量是___________； （2）当为时，对应的自变量的值为________． 【答案】 和 和 【详解】解：（1）在中，随的变化而变化，、是常数，不发生变化， ∴变量是和，常量是和， 故答案为：和，和 （2）当时，， 解得：， 故答案为： 【变式7-1】如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为______． 【答案】30 【分析】本题考查了求代数式的值，正确理解程序计算的流程是解题的关键．先将代入，求得的值为6，小于20，根据程序流程，将再次代入，求得的值为30，大于20，即可输出结果． 【详解】当时，， 当时，， 所以． 故答案为：30． 【变式7-2】某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：A、时间是自变量，水位高度是因变量，则正确，故不符合题意； B、y是变量，它的值与x有关，则正确，故不符合题意； C、当时，即， 解得：，则错误，故符合题意； D、当时，即，则正确，故不符合题意； 故选C． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】(1) (2)38 (3)500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【题型8 分段图像分析】 【例8】（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意． 故选：． 【变式8-1】清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是 故选：C． 【变式8-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 【变式8-3】（2025·吉林长春·二模）如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始下降的更慢，后来下降的更快， 故选：． 【思维拓展】 【题型9 几何动点建模】 【例9】如图，在中，，，，点在上运动，点不与点，重合，设，若用表示的面积，则与之间的关系可以写为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 自变量的取值范围是：． 故选：C． 【变式9-1】如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 【变式9-2】如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积S（）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．    (1)指出的长度，并求m的值； (2)当点P在线段上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系． 【答案】(1) (2)（） 【分析】（1）根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒，进而求出，再根据求解即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒， ∵点P以每秒1cm的速度从B点出发的， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）当点P在线段上运动时，即当时，． 【点睛】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键． 【变式9-3】如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则边上的高长为_________． 【答案】4 【分析】根据题意，当点P从B运动到A的过程中，由0开始增大，到C时最大为5；当点P从C运动到A的过程中，的长度先减小，当时达到最小，最小值为4，然后又增大，进而可求解． 【详解】解：根据题意，结合图1和图2， 当点P从B运动到A的过程中，由0开始增大，到C时，最大为5；当点P从C运动到A的过程中，的长度先减小，当时达到最小，最小值为4，然后又开始增大，则边上的高长为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查图象的理解和应用，把图形和图象结合理解得到线段长度的变化是解答的关键． 【题型10 多过程图像分析】 【例10】一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示两车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．      (1)货车的速度为①____________；轿车从甲地到乙地的速度为②____________；轿车到达乙地后原路返回甲地的速度为③____________； (2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离为④____________千米．（不必写出解答过程） 【答案】(1)①45千米/时；②60千米/时；③90千米/时 (2)75 【分析】（1）根据图象中的两车离甲地的距离与所用时间求解即可； （2）设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时，根据题意列出关于a的方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为（千米/时）， 轿车从甲地到乙地的速度为（千米/时）， 轿车到达乙地后原路返回甲地的速度为（千米/时）， 故答案为：①45千米/时；②60千米/时；③90千米/时； （2）解：设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为a小时， 根据题意，得， 解得：， ∴相遇处离甲地的距离为（千米）， 故答案为：75． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取所需信息并正确运用是解答的关键． 【变式10-1】某日笑笑乘车去书店买书，在书店选好图书返回时由于堵车绕远路返回家中，如图是笑笑出发到返回家过程中与家的距离s（千米）和出发时间t（分）的关系．请根据图中信息回答下列问题： (1)笑笑从家出发到书店用时______分钟，在书店选书用时______分钟； (2)书店与笑笑家的距离是______千米，返回过程中由于堵车笑笑绕远了______千米； (3)笑笑从书店返回家中共用时______分钟． 【答案】(1)20，40 (2)3；2 (3)60 【详解】（1）解：由图象可知，笑笑从家出发到书店用时20分钟，在书店选书用时分钟； 故答案为：20，40； （2）由图象可知：书店与笑笑家的距离是3千米，返回过程中由于堵车笑笑绕远了千米； 故答案为：3；2； （3）由图象可知：笑笑从书店返回家中共用时分钟； 故答案为：60． 【变式10-2】周末早晨，小明父子两人同时从家出发跑步锻炼身体．小明跑步速度快，跑了一段时间后立即以一定的速度按原路返回，与爸爸相遇后，父子两人按小明返回时的速度返回家中．下面的图象反映的是父子两人离家的距离和离家的时间的关系，观察图象回答问题： (1)小明去广场时的速度是______米/分； 爸爸去广场时的速度是______米/分； 父子两返回时的速度是______米/分； (2)a表示的数字是______； (3)直接写出运动过程中父子两人何时相距200米． 【答案】(1)200；150；100 (2)45 (3)当出发4分钟或17.2分钟时，父子两人何时相距200米． 【分析】（1）根据“速度=路程÷时间”解答即可； （2）根据（1）的结论求出a的值； （3）分小明到达广场前与到达广场后两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意可得，小明去广场时的速度是：3000÷15=200（米/分）； 爸爸去广场时的速度是：2700÷18=150（米/分）； 父子两返回时的速度是：（3000-2700）÷（18-15）=100（米/分）； 故答案为：200；150；100； （2）解：由题意可得，a=18+2700÷100=45， 故答案为：45； （3）解：由题意得，200x-150x=200或150x+100（x-15）=3000-200， 解得x=4或x=17.2， 答：当出发4分钟或17.2分钟时，父子两人何时相距200米． 【变式10-3】2012年成华区与丹巴县结成了帮扶的“对子”，在对口援建过程中，也结下了“亲戚般”的深厚情谊．2022年7月，为支援成华区抗击疫情，丹巴县紧急调运吨蔬菜运往成华区．甲、乙两辆满载蔬菜的运输车同时从丹巴县出发前往成华区，乙车行驶至映秀时发生故障原地维修．甲车到达成华区卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往成华区．乙车维修完毕后立即原路返回，甲车休整后隔日返回．图中两条折线分别表示两车离丹巴县的距离（）与所用时间（）的关系．    (1)甲车从出发到映秀的速度是，从映秀到成华区的速度是，乙车从出发到映秀的速度是； (2)请用含（）的代数式表示乙车返回过程中乙车离丹巴县的距离（）； (3)乙车出发多少小时时，两车之间的距离为？请直接写出答案． 【答案】(1)，， (2) (3)，，或 【详解】（1）解：甲车从出发到映秀的速度是，从映秀到成华区的速度是，乙车从出发到映秀的速度是； 故答案为：，，． （2）乙车返回时的速度为 ∴ ∴ （3）在到达映秀之前，两车的距离为， ∴，解得： 甲车返回接应乙车之前，两车的距离为， ∴， 解得：， 甲车把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往成华区时，两车的距离为， ∴ 解得： 综上所述，乙车出发，，或两车之间的距离为． 【题型11 变量关系综合应用】 【例11】为表彰在“纪念·五四运动”主题活动中表现优秀的同学，南昌市某中学七年级需要购买30个书包和若干个文具盒（不少于30个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的九折收费．已知每个书包定价为40元，每个文具盒定价为5元．设需要购买x个文具盒，选择①方案购买所需费用为元，选择②方案购买所需费用为元． (1)分别写出选择两种方案购买所需费用与文具盒个数之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 【答案】(1) (2)当购买60个文具盒时，两种方案所需费用相同 【分析】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键． （1）根据①方案购买所需费用等于30个书包的费用与个文具盒的费用之和；第②方案购买所需费用等于30个书包的费用与x个文具盒的费用之和的9折，由此即可得； （2）求出时，x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ，即； （2）解：当时， 即， 解得， 故当购买60个文具盒时，两种方案所需费用相同． 【变式11-1】某中学要添置某种教学仪器，有两种方案可供选择：方案一，到商店购买，每件需要8元；方案二，学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元．设添置仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出， 与 之间的关系式； (2)当添置多少件仪器时，两种方案所需的费用相同？ (3)若学校添置50件仪器，选择哪种方案比较合算？ 【答案】(1)， (2)30件 (3)方案二 【分析】（1）方案一：总费用=仪器的单价×仪器的数量；方案二：总费用=每件制作的成本×仪器的数量+工具的租用费，据此可得出方案一和方案二的关系式； （2）本题只需令(1)中得出的两个关系式相等，求出x的值，即可求得两种方案所需的费用相同时，仪器的件数； （3）可将50件分别代入(1)中的两个关系式中，得出值，然后比较哪种方案更便宜即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，； （2）解：根据题意，令， 得， 解得， 故当添置30件仪器时，两种方案所需的费用相同； （3）解：把x=50分别代入，中， 得(元)，(元)， ， 当学校添置50件仪器，选择方案二比较合算． 【变式11-2】（2024·云南昭通·二模）古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案： 方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售； 方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元． (1)分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的关系式； (2)请为该学校写出较为省钱的购买方案． 【答案】(1)， (2)当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱 【详解】（1）由题知， ． （2）由(1)可得， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 综上所述，当学校购买该品牌图书少于30本时，按方案一购买较为省钱；当购买该品牌图书正好30本时，两种方案费用一样；当购买该品牌图书多于30本时，按方案二购买较为省钱． 【变式11-3】（2025·陕西榆林·二模）年月日，年度全国十大考古新发现结果揭晓，陕西周原遗址（如图）项目入选．欣欣一家准备前往周原博物馆进行参观，有如下两种出行方案： 方案 出行方式 所需费用 方案一 乘坐公共交通出行 来回所需的总出行费用为元 方案二 自驾出行 每公里汽车耗油费用为元，来回所需的高速过路费共元，不计其他费用 设欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，按照方案二来回所需的总出行费用为元． (1)求与之间的关系式； (2)已知欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，请你帮助欣欣选择一种比较省钱的出行方案，并说明理由． 【答案】(1)； (2)按照方案一，乘坐公共交通出行比较省钱，见解析． 【详解】（1）解：根据题意可得，与之间的关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴按照方案一，乘坐公共交通出行比较省钱． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 变量之间的关系（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 判断常量与变量】 1 【题型2 区分自变量与因变量】 2 【题型3 根据表格填数据】 2 【题型4 列简单关系式】 4 【能力提升】 4 【题型5 分析图像变化趋势】 4 【题型6 根据实际情境求值】 6 【题型7 求关系式中未知数】 7 【题型8 分段图像分析】 8 【思维拓展】 10 【题型9 几何动点建模】 10 【题型10 多过程图像分析】 11 【题型11 变量关系综合应用】 13 【基础巩固】 【题型1 判断常量与变量】 【例1】（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【变式1-1】如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（   ） A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积 【变式1-2】购买单价为3元的笔记本，总金额（元）与笔记本数（本）的关系为，其中_____是常量，_____是变量． 【变式1-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【题型2 区分自变量与因变量】 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是______．（填“自变量”“因变量”或“常量”） 【变式2-1】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）一个圆柱的高为，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也发生了变化，在这个变化过程中（   ） A．是因变量，是自变量 B．是自变量，是因变量 C．是自变量，是因变量 D．是自变量，是因变量 【变式2-2】某居民小区电费标准为0.55元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，0.55是因变量 B．0.55是自变量，x是因变量 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量 【变式2-3】近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数（人）与时间（年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人 50 80 100 150 200 270 350 则下列说法不正确的是（    ） A．上表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系 B．（人）随时间（年）的推移逐渐增大 C．自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人） D．自变量是留守儿童的人数（人），因变量是时间（年） 【题型3 根据表格填数据】 【例3】（24-25八年级下·陕西延安·月考）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如下表： 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 42 … 解答下面的问题： (1)将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，蓄水池中的水量随放水时间的增长怎样变化？ (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是多少立方米？ 【变式3-1】某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位数按下列规律设置： 排数 1 2 3 4 5 6 … 座位数 60 64 68 72 76 ______ … (1)请将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，请说明座位数是随排数的增长而怎样变化的？ (3)当排数是7时，该排的座位数是多少？ 【变式3-2】某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 ____ 4000 5000 6000 … (1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将表格补充完整； (3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用） 【变式3-3】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）综合实践小组探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．下面的表格是他们实验过程中的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题： 燃烧时间 0 5 10 15 剩余长度 20 16 12 8 (1)根据表中信息可知，自变量是______，因变量是_______； (2)当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是多少厘米？ 【题型4 列简单关系式】 【例4】（25-26七年级下·全国·周测）某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉．某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为____________． 【变式4-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“6.18”购物节期间，某商场做优惠活动，对于标价超过600元的服饰先按标价减80元再打七折，小辰的妈妈在该商场购买了标价x元的服饰，则应付款y（元）与标价x（元）之间的关系式为________． 【能力提升】 【题型5 分析图像变化趋势】 【例5】如图所示的是某市6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题． (1)这天的最高气温是 ℃； (2)这天共有 个小时的气温在31℃以上； (3)这天在 （时间）范围内温度在上升； (4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？ 【变式5-1】如图是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）护士每隔 小时给病人量一次体温； （3）这位病人的最高体温是 摄氏度，最低体温是 摄氏度； （4）他在4月8日12时的体温是 摄氏度； （5）图中的横虚线表示的含义． 【变式5-2】人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： (1)其中自变量是__________，因变量是__________； (2)在以下哪个时间段内遗忘的速度最快？填序号__________ ①    ②    ③    ④ (3)图中B点表示的意义是__________； (4)老师要求我们“堂堂清”、“日日清”，请结合艾宾浩斯遗忘曲线谈谈你的看法？ 【变式5-3】如图，是骆驼的体温随时间变化而变化的关系图，据图回答下列问题： (1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ (2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？ (3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？ (4)A点表示的是什么？ 【题型6 根据实际情境求值】 【例6】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上．根据表格已提供的数据信息，解答下列问题： 数量（个） 1 2 3 4 … 高度 6.2 8.6 … (1)求出表格中、的值； (2)写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； (3)若这摞碗的高度为，求的值． 【变式6-1】俗话说：“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才．”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，若小明在前n天的日平均背单词量最高，则n的值为_____． 【变式6-2】（24-25七年级上·甘肃张掖·月考）王老师打一篇演讲稿，每分钟打字的个数与所需时间之间的关系如下表： 每分钟打字的个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 (1)这篇演讲稿共有多少字？ (2)所需时间是怎样随着每分钟打字的个数的变化而变化？ (3)用表示所需时间，用表示每分钟打字的个数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？当时，求的值． 【变式6-3】如图所示，圆柱的高为，当圆柱的底面半径变化时，圆柱的体积也发生变化． (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量 (2)请你求出圆柱的体积与圆柱的底面半径之间的关系式 (3)的值能为负值吗为什么 (4)当圆柱的底面半径从变化到时，圆柱的体积变化了多少最后结果保留 【题型7 求关系式中未知数】 【例7】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知气温（℃）与海拔高度的关系式为． （1）变量是__________，常量是___________； （2）当为时，对应的自变量的值为________． 【变式7-1】如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为______． 【变式7-2】某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（    ） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当时， D．当时， 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【题型8 分段图像分析】 【例8】（2025·山东淄博·一模）如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·吉林长春·二模）如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【思维拓展】 【题型9 几何动点建模】 【例9】如图，在中，，，，点在上运动，点不与点，重合，设，若用表示的面积，则与之间的关系可以写为（   ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积S（）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．    (1)指出的长度，并求m的值； (2)当点P在线段上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系． 【变式9-3】如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则边上的高长为_________． 【题型10 多过程图像分析】 【例10】一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示两车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系．      (1)货车的速度为①____________；轿车从甲地到乙地的速度为②____________；轿车到达乙地后原路返回甲地的速度为③____________； (2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离为④____________千米．（不必写出解答过程） 【变式10-1】某日笑笑乘车去书店买书，在书店选好图书返回时由于堵车绕远路返回家中，如图是笑笑出发到返回家过程中与家的距离s（千米）和出发时间t（分）的关系．请根据图中信息回答下列问题： (1)笑笑从家出发到书店用时______分钟，在书店选书用时______分钟； (2)书店与笑笑家的距离是______千米，返回过程中由于堵车笑笑绕远了______千米； (3)笑笑从书店返回家中共用时______分钟． 【变式10-2】周末早晨，小明父子两人同时从家出发跑步锻炼身体．小明跑步速度快，跑了一段时间后立即以一定的速度按原路返回，与爸爸相遇后，父子两人按小明返回时的速度返回家中．下面的图象反映的是父子两人离家的距离和离家的时间的关系，观察图象回答问题： (1)小明去广场时的速度是______米/分； 爸爸去广场时的速度是______米/分； 父子两返回时的速度是______米/分； (2)a表示的数字是______； (3)直接写出运动过程中父子两人何时相距200米． 【变式10-3】2012年成华区与丹巴县结成了帮扶的“对子”，在对口援建过程中，也结下了“亲戚般”的深厚情谊．2022年7月，为支援成华区抗击疫情，丹巴县紧急调运吨蔬菜运往成华区．甲、乙两辆满载蔬菜的运输车同时从丹巴县出发前往成华区，乙车行驶至映秀时发生故障原地维修．甲车到达成华区卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往成华区．乙车维修完毕后立即原路返回，甲车休整后隔日返回．图中两条折线分别表示两车离丹巴县的距离（）与所用时间（）的关系．    (1)甲车从出发到映秀的速度是，从映秀到成华区的速度是，乙车从出发到映秀的速度是； (2)请用含（）的代数式表示乙车返回过程中乙车离丹巴县的距离（）； (3)乙车出发多少小时时，两车之间的距离为？请直接写出答案． 【题型11 变量关系综合应用】 【例11】为表彰在“纪念·五四运动”主题活动中表现优秀的同学，南昌市某中学七年级需要购买30个书包和若干个文具盒（不少于30个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的九折收费．已知每个书包定价为40元，每个文具盒定价为5元．设需要购买x个文具盒，选择①方案购买所需费用为元，选择②方案购买所需费用为元． (1)分别写出选择两种方案购买所需费用与文具盒个数之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 【变式11-1】某中学要添置某种教学仪器，有两种方案可供选择：方案一，到商店购买，每件需要8元；方案二，学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元．设添置仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为元． (1)分别求出， 与 之间的关系式； (2)当添置多少件仪器时，两种方案所需的费用相同？ (3)若学校添置50件仪器，选择哪种方案比较合算？ 【变式11-2】（2024·云南昭通·二模）古人言：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”．某校计划购进x本某品牌图书，已知该品牌图书的售价为每本20元，经过协商，该品牌图书销售商给出两种优惠方案： 方案一：所有该品牌图书都按原价的八折销售； 方案二：充值30元办理一张该品牌图书的专购优享卡，购买该品牌图书时，每本将在原价八折的基础上再降1元． (1)分别求方案一的实际付款金额（元）和方案二的实际付款金额（元）与（本）之间的关系式； (2)请为该学校写出较为省钱的购买方案． 【变式11-3】（2025·陕西榆林·二模）年月日，年度全国十大考古新发现结果揭晓，陕西周原遗址（如图）项目入选．欣欣一家准备前往周原博物馆进行参观，有如下两种出行方案： 方案 出行方式 所需费用 方案一 乘坐公共交通出行 来回所需的总出行费用为元 方案二 自驾出行 每公里汽车耗油费用为元，来回所需的高速过路费共元，不计其他费用 设欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，按照方案二来回所需的总出行费用为元． (1)求与之间的关系式； (2)已知欣欣家到周原博物馆来回总路程为公里，请你帮助欣欣选择一种比较省钱的出行方案，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $