6.4 用图象表示变量之间的关系（第2课时 描述图象所表示的变化过程 ）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“用图象表示变量之间的关系（第2课时）”，核心内容为分段折线图象的描述。通过温故知新回顾识图三要素，结合“骑车上学”等生活情境引入复杂变化，搭建从单一到分段变化的学习支架。 资料特色在于“四步描述法”规范表达，结合汽车速度、容器放水等情境培养几何直观与抽象能力，合作探究整合三种变量方法发展推理意识，分层习题含中考真题提升应用，助力学生用数学眼光观察、语言表达现实世界。

6.4用图象表示变量之间的关系（第2课时 描述图象所表示的变化过程 ） （导学案） 1. 教学目标 （1）熟练掌握分段折线图象的识图规则，能精准区分每一段图象对应的变量变化规律.掌握标准化分段描述图象变化过程的方法，能完整、规范地用数学语言表述变量的变化全过程.能结合生活实际情境，根据图象还原动态变化过程，解决图象与情境匹配、图象信息提取、过程描述等综合问题. (2)经历“整体观察图象—分段拆解分析—精准解读变化—规范语言表述—综合应用解题”的探究流程，深化数形结合思想，掌握复杂图象的分析方法，提升图象信息提取与语言表达能力. (3)在自主分析、合作纠错、规范表达的过程中，感受变量变化的规律性与数学图象的严谨性，提升数学表达的自信心，养成细致观察、有序思考、完整作答的良好学习习惯. 重点：对分段折线型图象进行逐段分析，精准判断每一段自变量、因变量的变化规律.用规范、完整、有条理的数学语言，分段描述图象对应的实际变化过程. 难点：准确理解图象转折点、拐点的实际数学意义，关联前后分段的变化逻辑;区分图象倾斜程度对应的变化快慢差异，在描述过程中精准体现速度、幅度的变化.规避表述漏洞，做到描述不遗漏、不夸大、不偏差、逻辑连贯. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 快速回顾：图象识图三要素——看坐标轴（定变量）、看趋势（定增减）、看陡缓（定快慢）. 情境设问：生活中很多变化不是单一的，例如“骑车上学：先加速、再匀速、最后减速停车”，这样复杂的变化如何用图象表示？又该如何完整描述？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第158-159页的内容 【学法指导】自研课本P158-159页内容 (一)认识分段图象 每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当前的速度。如图，你知道这辆汽车现在的速度是多少吗? 汽车在行驶过程中，速度往往是变化的。如图表示一辆汽车某次行程中24min内的速度情况. 整体观察：图象由几段折线组成？每一段代表什么变化阶段？ 追问1：你能描述这辆汽车在这次行程中24min内速度的变化情况吗? 追问2：这辆汽车在哪些时间段保持匀速行驶?速度分别是多少? 追问3：这辆汽车出发后8min 到10min之间可能发生了什么情况? 追问４：用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况. （二）规范表述模型 总结归纳：提炼图象变化过程标准化四步描述法，统一答题规范： 统一规范句式 尝试思考 在上面的情境中，假设这辆汽车出发后8min 到12min静止不动，然后用6 min加速到90km/h，再用6min减速到静止，你能在图中画图大致反映这辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况吗? 在学生用语言描述图象所表示的变化过程的基础上，再让学生根据语言描述尝试补全图象，增强对 图象的理解. 这辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况如图所示. （三）三种变量方法整合应用 小组讨论：结合本节课图象法，对比三种方法描述变化过程的优势： 1. 表格：数据精准，但无法直观体现连续变化过程； 2. 关系式：可精准计算，但无法直观展示分段变化； 3. 图象：能完整、直观展示分段动态变化过程，适合描述完整变化规律. 【自研自探】 自研课本P158-159页内容 典型例题 例1.某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B．C． D． 例2：如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 第二环节 合作探究 1.讨论分段图象变化阶段. 2.讨论规范表述图象规律. 3.讨论三种变量方法整合应用. 拓展提升：1．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 课堂练习：课本Ｐ159随堂练习 1．（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 2．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 3．（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min 4．（2025.广德校考）甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 5．（2025.揭阳校考）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 知识总结：（1）核心对象：本节课重点学习 型变量图象，适用于 、 变化的生活情境.（2）核心技能：掌握 方法，能识别图象 变化，理解拐点是变化状态的分界点.（3）核心认知：图象可以 地还原变量的全过程动态变化，是描述 的最优方法. 方法总结：（1）识图核心方法：先 、后 、看 、辨 、连 .（2）答题万能步骤：定 →分 →判 → 表述.（3）数学思想：核心运用 合思想，实现图形特征与 的精准转化. 易错提醒：（1）分段易错：不 笼统描述全过程，遗漏 等关键阶段，答题不完整.（2）快慢易错：无法区分图象 ，混淆 变化，表述不准确.（3）拐点易错：忽略 的分界意义， 变化逻辑混乱，过程衔接错误.（4）表述易错：语言口语化、无 范围、语序混乱，缺少 数学用语.（5）情境易错： 图象，曲解 的真实意义. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4用图象表示变量之间的关系（第2课时 描述图象所表示的变化过程 ） （导学案） 1. 教学目标 （1）熟练掌握分段折线图象的识图规则，能精准区分每一段图象对应的变量变化规律.掌握标准化分段描述图象变化过程的方法，能完整、规范地用数学语言表述变量的变化全过程.能结合生活实际情境，根据图象还原动态变化过程，解决图象与情境匹配、图象信息提取、过程描述等综合问题. (2)经历“整体观察图象—分段拆解分析—精准解读变化—规范语言表述—综合应用解题”的探究流程，深化数形结合思想，掌握复杂图象的分析方法，提升图象信息提取与语言表达能力. (3)在自主分析、合作纠错、规范表达的过程中，感受变量变化的规律性与数学图象的严谨性，提升数学表达的自信心，养成细致观察、有序思考、完整作答的良好学习习惯. 重点：对分段折线型图象进行逐段分析，精准判断每一段自变量、因变量的变化规律.用规范、完整、有条理的数学语言，分段描述图象对应的实际变化过程. 难点：准确理解图象转折点、拐点的实际数学意义，关联前后分段的变化逻辑;区分图象倾斜程度对应的变化快慢差异，在描述过程中精准体现速度、幅度的变化.规避表述漏洞，做到描述不遗漏、不夸大、不偏差、逻辑连贯. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 快速回顾：图象识图三要素——看坐标轴（定变量）、看趋势（定增减）、看陡缓（定快慢）. 情境设问：生活中很多变化不是单一的，例如“骑车上学：先加速、再匀速、最后减速停车”，这样复杂的变化如何用图象表示？又该如何完整描述？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第158-159页的内容 【学法指导】自研课本P158-159页内容 (一)认识分段图象 每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当前的速度。如图，你知道这辆汽车现在的速度是多少吗? 汽车在行驶过程中，速度往往是变化的。如图表示一辆汽车某次行程中24min内的速度情况. 整体观察：图象由几段折线组成？每一段代表什么变化阶段？ 第1段：图象平缓上升→时间增加，速度匀速变大； 第2段：图象水平不变→时间增加，速度不变； 第3段：图象陡峭下降→时间增加，速度变小； 第4段：图象水平不变→，时间增加，速度为0不变， 第5段：图象平缓上升→时间增加，速度匀速变大； 第6段：图象水平不变→时间增加，速度不变； 第7段：图象陡峭下降→时间增加，速度快速变小； 追问1：你能描述这辆汽车在这次行程中24min内速度的变化情况吗? 汽车从出发到2min，速度由0km/h增大到30 km/h;2 min到6min，速度保持30km/h;6 min到8min，速度由30km/h减小到0km/h;8min到10min，速度为0 km/h;10 min到18min，速度由0km/h增大到90km/h;18min到22min，速度保持90 km/h; 22 min到24 min，速度由90km/h减小到0 km/h. 追问2：这辆汽车在哪些时间段保持匀速行驶?速度分别是多少? 2min到6min，汽车匀速行驶，速度是30km/h;18 min 到22 min，汽车匀速行驶，速度是90 km/h. 追问3：这辆汽车出发后8min 到10min之间可能发生了什么情况? 8min到10min，汽车保持静止状态，可能停车等人或发生了其他情况，学生的回答只要大致合理就应给予鼓励. 追问４：用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况. 鼓励学生赋予这一图象一定的故事背景，让学生用讲故事的方式描述这辆汽车的行驶情况。学生的描述只要大致合理就应给予鼓励. （二）规范表述模型 总结归纳：提炼图象变化过程标准化四步描述法，统一答题规范： 1. 定轴：明确横轴自变量、纵轴因变量； 2. 分段：按图象拐点划分变化阶段； 3. 定性：说明每一段“增大/减小/不变、快/慢”； 4. 整合：按时间顺序连贯表述完整过程. 统一规范句式：在XX（自变量）范围内，XX（因变量）随XX（自变量）的增大而增大/减小/保持不变，变化较快/较慢. 尝试思考 在上面的情境中，假设这辆汽车出发后8min 到12min静止不动，然后用6 min加速到90km/h，再用6min减速到静止，你能在图中画图大致反映这辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况吗? 在学生用语言描述图象所表示的变化过程的基础上，再让学生根据语言描述尝试补全图象，增强对 图象的理解. 这辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况如图所示. （三）三种变量方法整合应用 小组讨论：结合本节课图象法，对比三种方法描述变化过程的优势： 1. 表格：数据精准，但无法直观体现连续变化过程； 2. 关系式：可精准计算，但无法直观展示分段变化； 3. 图象：能完整、直观展示分段动态变化过程，适合描述完整变化规律. 【自研自探】 自研课本P158-159页内容 典型例题 例1.某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B．C． D． 【分析】因为容器上宽下窄，所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低，根据上面特点判定函数图像. 【详解】解：因为容器上宽下窄，所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低，只有A选项符合题意． 例2：如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 【分析】（1）小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，结合图形即可求解； （2）根据图示，即可求解； （3）运用图形可知文具店到家的距离，时间，由此即可求解． 【详解】（1）解：由图像看出体育场距文具店（千米）． （2）解：由图像看出小强在文具店逗留了（分）． （3）解：文具店到家的距离是千米，小强回家的时间为分钟， ∴小强从文具店回家的平均速度是（千米/分）． 第二环节 合作探究 1.讨论分段图象变化阶段. 2.讨论规范表述图象规律. 3.讨论三种变量方法整合应用. 拓展提升：1．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 【详解】（1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米， 故答案为：1000 （2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟， 故答案为：乌龟，40 （3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程， 乌龟的平均速度为＝（米/分）， 兔子的平均速度为＝100（米/分）， 故答案为：60，10，，100. 课堂练习：课本Ｐ159随堂练习 参考答案：1.图(3)　2.图(3） 1．（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 【解答】解：由图象可得， 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意； 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h，故选项C说法错误，符合题意； 若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【解答】解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大，再减小，当点P运动到点C时，△APD的面积最大，根据函数图象可得此时△APD的面积为4，如图， ∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC， ∴， 可得 AC＝4， 当点P运动到CB的中点时，如图， ∵点D为边AB的中点， ∴， 故选：A． 3．（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min 【解答】解：由图象可知： A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意； B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min），故本选项不符合题意； C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意； D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min），故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025.广德校考）甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 【解答】解：甲的速度为：， 乙的速度为：， 当时，甲、乙两人相距：， 故答案为：． 5．（2025.揭阳校考）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【解答】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 知识总结：（1）核心对象：本节课重点学习分段折线型变量图象，适用于多阶段、动态变化的生活情境.（2）核心技能：掌握分段识图方法，能识别图象上升、下降、水平、陡缓变化，理解拐点是变化状态的分界点.（3）核心认知：图象可以完整、直观地还原变量的全过程动态变化，是描述连续变化规律的最优方法. 方法总结：（1）识图核心方法：先整体、后分段、看拐点、辨快慢、连全程.（2）答题万能步骤：定变量→分阶段→判变化→规范表述.（3）数学思想：核心运用数形结合思想，实现图形特征与实际变化过程的精准转化. 易错提醒：（1）分段易错：不分段笼统描述全过程，遗漏停留、匀速、变速等关键阶段，答题不完整.（2）快慢易错：无法区分图象陡缓，混淆快速变化与缓慢变化，表述不准确.（3）拐点易错：忽略拐点的分界意义，前后变化逻辑混乱，过程衔接错误.（4）表述易错：语言口语化、无自变量范围、语序混乱，缺少规范数学用语.（5）情境易错：脱离实际情境解读图象，曲解变量变化的真实意义. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $