6.4 用图象表示变量之间的关系（第1课时 体验图象表示变量之间的关系）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“用图象表示变量之间的关系”第1课时，引导学生认识图象的坐标轴意义，掌握图象上升、下降、水平线段对应的变量变化规律。课堂导入通过复习表格法与关系式法的优缺点，结合气温变化情境设问，搭建前后知识联系的学习支架，自然引出图象法的必要性。 这份资料以“生活情境—转化图象—观察图象—解读规律”为主线，通过自主探究、合作讨论及拓展提升，培养学生的几何直观和数据分析能力。典型例题与中考真题结合生活实际，强化数形结合思想，规范描述语言，助力学生形成模型意识，提升应用能力，适合自主与合作学习。

6.4 用图象表示变量之间的关系（第1课时 体验图象表示变量之间的关系） （导学案） 1. 教学目标 （1）了解图象是表示变量之间关系的重要方法，认识变量图象的坐标轴含义，明确横轴表示自变量、纵轴表示因变量.能读懂简单的变量变化图象，准确识别图象中上升、下降、水平线段对应的变量变化状态.能结合生活情境解读图象信息，判断变量的增减、快慢、不变等变化规律，实现图象与实际情境的相互转化. （2）经历“生活情境—转化图象—观察图象—解读规律”的完整探究过程，体验数形结合的数学思想，掌握图象分析的基本方法，提升直观想象和数据分析能力. （3）在自主探究、情境匹配、合作交流中感受图象表示变量关系的直观优势，激发对函数图象学习的兴趣，养成严谨观察、有序分析的数学思维习惯，体会数学的实用性. 重点：认识变量图象的坐标轴意义，掌握图象上升、下降、水平线段对应的变量变化规律.读懂简单实际情境的变量图象，提取图象中的有效信息，描述变量的变化过程. 难点:根据图象变化的倾斜程度判断变量变化的快慢；将抽象的图象变化与真实生活情境精准对应，准确还原完整的变量变化过程. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：提问学生前两节学习的变量表示方法（表格法、关系式法），简单说出两种方法的优缺点. 生活情境：展示某地一天的气温变化数据，表格只能呈现整点温度，关系式难以直观看出全天温度起伏变化. 设问激趣：有没有一种方法可以一眼看出温度的升降、高低变化趋势？引出本节课新知——用图象表示变量之间的关系. 【学法指导】 新知自研：自研课本第155-157页的内容 【学法指导】自研课本P155-157页内容 (一)初识图象，认知结构 问题：气温的变化是人们经常读论的话题。请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情况. 教师展示温度—时间变化图象，引导学生自主观察、小组交流，探究图象基本结构： 追问1. 图像是由哪些部分构成的？ 追问2. 怎样用图像表示变量的？ 追问3.图像上每个点表示什么？ 师生小结：所有变量关系图象，统一遵循横轴自变量、纵轴因变量的规则. （二）认识图象，探究规律 结合气温变化图象，分层探究图象变化特征， 追问1：你能描述该地这一天气温的变化情况吗?在什么时间范围内气温下降，什么时间范围内气温上升? 追问2：该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的?最高气温呢?这一天的温差是多少? 追问3：图中的A点表示什么?B点呢? 追问4：你预测该地这一天次日凌晨1:00的气温是多少?说说你的理由。 师生讨论：图象上升，下降，水平. （三）语言建模，规范描述 尝试思考 如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况.观察图象，回答下列问题: 追问1：你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗? 追问2：这一年日出时间最早大的是什么时候?最晚呢?日落时间呢? 教师示范图象变化过程的规范描述： 组织学生分段描述一天气温的整体变化过程，纠正不规范、不完整的表述. 【自研自探】 自研课本P155-157页内容 典型例题 例1：如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题：    (1)在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内）气温在什么时候达到最高，最高温度是多少摄氏度？ (2)什么时间气温达到最低？ (3)上午10时，下午20时的气温各为多少摄氏度？ (4)如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18℃以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始，共有多长时间适宜登山？ 第二环节 合作探究 1.讨论图象的结构. 2.讨论如何描述图象规律. 3.讨论如何规范描述图象变化过程. 拓展提升：1.如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 课堂练习：课本Ｐ157随堂练习 1．（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于100W•h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．电池能量最多可充400W•h B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 2．（2025•广西）生态学家G．F．Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（　　） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 3．（2025•南陵校考）某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量（单位：）与该摩托车行驶路程（单位：）之间的关系如图所示，则自变量的取值范围是（  ） A． 　　B． 　　C． 　D． 4．（2025•湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　　 （“甲”或“乙”先到终点）． 知识总结：（1）核心方法： 是表示变量关系的第三种重要方法.（2）识图规则：横轴表示 ，纵轴表示 .（3）图象规律：图象上升→ ，图象下降→ ，图象水平→ ；图象 . 方法总结：（1）识图三步法：一看 →二看 →三看 .（2）解题思想： ，将图形特征转化为 ，将生活情境转化为 . 易错提醒：（1）识图易错：颠倒横轴、纵轴对应的 ，导致解读完全错误.（2）判断易错：混淆图象 的意义，无法区分 .（3）表述易错：描述变化过程缺少 ，逻辑不完整.（4）认知易错：认为图象能读出 ，忽略图象只能 ，精准计算需依靠 .（5）情境易错：无法匹配 ，忽略实际情境的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 用图象表示变量之间的关系（第1课时 体验图象表示变量之间的关系） （导学案） 1. 教学目标 （1）了解图象是表示变量之间关系的重要方法，认识变量图象的坐标轴含义，明确横轴表示自变量、纵轴表示因变量.能读懂简单的变量变化图象，准确识别图象中上升、下降、水平线段对应的变量变化状态.能结合生活情境解读图象信息，判断变量的增减、快慢、不变等变化规律，实现图象与实际情境的相互转化. （2）经历“生活情境—转化图象—观察图象—解读规律”的完整探究过程，体验数形结合的数学思想，掌握图象分析的基本方法，提升直观想象和数据分析能力. （3）在自主探究、情境匹配、合作交流中感受图象表示变量关系的直观优势，激发对函数图象学习的兴趣，养成严谨观察、有序分析的数学思维习惯，体会数学的实用性. 重点：认识变量图象的坐标轴意义，掌握图象上升、下降、水平线段对应的变量变化规律.读懂简单实际情境的变量图象，提取图象中的有效信息，描述变量的变化过程. 难点:根据图象变化的倾斜程度判断变量变化的快慢；将抽象的图象变化与真实生活情境精准对应，准确还原完整的变量变化过程. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：提问学生前两节学习的变量表示方法（表格法、关系式法），简单说出两种方法的优缺点. 生活情境：展示某地一天的气温变化数据，表格只能呈现整点温度，关系式难以直观看出全天温度起伏变化. 设问激趣：有没有一种方法可以一眼看出温度的升降、高低变化趋势？引出本节课新知——用图象表示变量之间的关系. 【学法指导】 新知自研：自研课本第155-157页的内容 【学法指导】自研课本P155-157页内容 (一)初识图象，认知结构 问题：气温的变化是人们经常读论的话题。请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情况. 教师展示温度—时间变化图象，引导学生自主观察、小组交流，探究图象基本结构： 追问1. 图像是由哪些部分构成的？ 横轴、纵轴、折线图象. 追问2. 怎样用图像表示变量的？ 横轴（水平轴）表示自变量（时间），纵轴（竖直轴）表示因变量（温度）. 追问3.图像上每个点表示什么？ 图象上的每一个点，都对应一组“自变量—因变量”的数值，代表一个时刻的温度. 师生小结：所有变量关系图象，统一遵循横轴自变量、纵轴因变量的规则. （二）认识图象，探究规律 结合气温变化图象，分层探究图象变化特征， 追问1：你能描述该地这一天气温的变化情况吗?在什么时间范围内气温下降，什么时间范围内气温上升? 从0:00到3:00，气温逐渐下降;从3:00到15:00，气温逐渐上升;从15:00到24:00，气温逐渐下降. 追问2：该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的?最高气温呢?这一天的温差是多少? 最低气温是23℃，在3:00达到;最高气温是37℃，在15:00达到;这一天的温差是14℃. 追问3：图中的A点表示什么?B点呢? A点表示21:00的气温是31℃，B点表示0:00的气温是26℃. 追问4：你预测该地这一天次日凌晨1:00的气温是多少?说说你的理由。 根据图象的变化趋势和这一天的气温情况，可以预测次日凌晨1:00的气温大约是24℃. 师生讨论：图象上升，下降，水平. 图象上升：从左向右图象走高→因变量随自变量增大而增大（时间增加，温度升高）；图象下降：从左向右图象走低→因变量随自变量增大而减小（时间增加，温度降低）； 图象水平：图象保持水平不变→因变量恒定不变（时间增加，温度不变）. （三）语言建模，规范描述 尝试思考 如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况.观察图象，回答下列问题: 追问1：你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗? 从1月到6月中旬，此地日出时间越来越早;从6月中旬到12月，此地日出时间越来越晚.从1月到6月，此地日落时间越来越晚;从7月到12月中旬，此地日落时间越来越早;从12月中旬到12月月底，此地日落时间越来越晚. 追问2：这一年日出时间最早大的是什么时候?最晚呢?日落时间呢? 此地日出时间最早大约是4:50，最晚大约是7:40;日落时间最早大约是16:50，最晚大约是19:30. 教师示范图象变化过程的规范描述： 在……时间段（自变量范围），……（因变量）随……（自变量）的增大而增大/减小/不变，变化较快/较慢. 组织学生分段描述一天气温的整体变化过程，纠正不规范、不完整的表述. 【自研自探】 自研课本P155-157页内容 典型例题 例1：如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题：    (1)在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内）气温在什么时候达到最高，最高温度是多少摄氏度？ (2)什么时间气温达到最低？ (3)上午10时，下午20时的气温各为多少摄氏度？ (4)如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18℃以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始，共有多长时间适宜登山？ 【分析】从函数图象中获取信息，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内），下午14时达到最高，最高温为22℃； （2）深夜24时气温达到最低，最低温度约10℃； （3）上午10时气温20℃，下午20时气温为12℃ （4）从上午8时30分开始18时结束，共有9.5小时适宜登山． 第二环节 合作探究 1.讨论图象的结构. 2.讨论如何描述图象规律. 3.讨论如何规范描述图象变化过程. 拓展提升：1.如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 【详解】（1）解：由图像看出体育场距文具店（千米）． （2）解：由图像看出小强在文具店逗留了（分）． （3）解：文具店到家的距离是千米，小强回家的时间为分钟， ∴小强从文具店回家的平均速度是（千米/分）． 课堂练习：课本Ｐ157随堂练习 参考答案：1.(1)从0:00到3:00，该港口水深逐渐增大;从3:00到9:00，该港口水深逐渐减小;从9:00到12:00，该港口水深又逐渐增大.(2)3:00时该港口的水最深，深度约为7.5m;9:00时该港口的水最浅，深度约为2.4m.(3)A点表示6:00时该港口的水深为5m，B点表示12:00时该港口的水深为4.3m，0:00时水的深度与A点所表示的深度相同.(4)1:00到5:00货轮可以进港. 1．（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于100W•h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．电池能量最多可充400W•h B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警 【解答】解：由图象可得，当x＝0km时，y＝500W•h， ∴电池能量最多可充500W•h，故A错误； 500÷25＝20（W•h），20×10＝200（W•h）， ∴摩托车每行驶10km消耗能量200W•h，故B错误； 由图象可得，当x＝25km时，y＝0W•h， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故C正确； （500﹣100）÷20＝20（km）， ∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故D错误； 故选：C． 2．（2025•广西）生态学家G．F．Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（　　） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【解答】解：A．第5天的种群数量为400个，原说法错误，该选项不符合题意； B．前3天种群数量持续增长，说法正确，该选项符合题意； C．第5天的种群数量达到最大，原说法错误，该选项不符合题意； D．每天增加的种群数量不相同，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025•南陵校考）某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量（单位：）与该摩托车行驶路程（单位：）之间的关系如图所示，则自变量的取值范围是（  ） A． 　　B． 　　C． 　D． 【解答】解：由函数图形可知，自变量的取值范围是． 故选：C． 4．（2025•湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　　 （“甲”或“乙”先到终点）． 【解答】解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点． 故答案为：甲． 知识总结：（1）核心方法：图象法是表示变量关系的第三种重要方法.（2）识图规则：横轴表示自变量，纵轴表示因变量.（3）图象规律：图象上升→因变量增大，图象下降→因变量减小，图象水平→因变量不变；图象越陡变化越快，越平缓变化越慢. 方法总结：（1）识图三步法：一看轴（确定自、因变量）→二看势（判断升降、不变）→三看陡（判断变化快慢）.（2）解题思想：数形结合思想，将图形特征转化为数量变化规律，将生活情境转化为数学图象.易错提醒：（1）识图易错：颠倒横轴、纵轴对应的自变量和因变量，导致解读完全错误.（2）判断易错：混淆图象平缓与陡峭的意义，无法区分变量变化的快慢.（3）表述易错：描述变化过程缺少自变量范围，逻辑不完整.（4）认知易错：认为图象能读出精准数据，忽略图象只能读取近似值，精准计算需依靠关系式、表格.（5）情境易错：无法匹配静态图象与动态生活过程，忽略实际情境的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $