6.3用关系式表示变量之间的关系（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“用关系式表示变量之间的关系”，通过复习自变量、因变量及表格法，创设三角形面积变化情境，引导学生从已有知识自然过渡到新方法，搭建有效的学习支架。 以“观察—找变量—析规律—列关系式—代入求值”完整探究为主线，结合几何、低碳生活等情境培养抽象能力与模型意识，合作讨论强化推理意识，典型例题与拓展题联系实际提升应用能力，助力学生发展数学核心素养。

6.3用关系式表示变量之间的关系 （导学案） 1. 教学目标 （1）理解关系式的概念，能准确识别关系式中的自变量和因变量；能结合几何、生活实际情境，正确列出两个变量之间的关系式；熟练掌握根据关系式代入求值的方法，已知自变量求因变量、已知因变量求自变量. （2）经历“观察情境—找出变量—分析变化规律—列出关系式—代入求值”的完整探究过程，提升抽象概括能力和数学建模能力，体会数形结合、转化的数学思想. （3）在自主探究与合作交流中感受变量之间的依存关系，体会关系式表示变量关系的优越性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维和学以致用的意识. 重点：在具体情境中找准自变量、因变量，列出变量之间的关系式；根据关系式进行双向代入求值（自变量求因变量、因变量求自变量）. 难点：分析复杂情境中的数量变化规律，准确提炼等量关系并转化为代数关系式；理解关系式中变量的对应关系，感知自变量的取值范围对关系式的约束作用. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：在变化的过程中，什么是自变量？什么是因变量？我们之前用什么方法表示变量之间的关系？ 情境创设：如图，△ABC底边BC上的高是6cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化？ 提出问题：这个变化过程中有几个变量？谁是自变量？谁是因变量？用表格只能列举有限个高对应的面积，能不能用一个通用的式子表示所有情况下的面积与底边的关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第153-154页的内容 【学法指导】自研课本P153-154页内容 (一)自主探究，定义新知 学生讨论：在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? 得出结论：自变量是△ABC的底边BC的长，因变量是△ABC的面积。如果学生回答∠ACB是自变量，教师也应予以肯定.当底边长减小时，三角形的面积也随之减小. 追问1：如果三角形的庸边长为x(单位:)，那么三角形的面积y(单位:)如何表示? y=3x. 追问2：在这个变化过程中，取定一个底边r的值，面积y的值能确定吗?与同伴进行交流. 取定一个底边x的值，面积y的值随之确定.可以让学生取一些底边x的具体值，计算相应的面积y的值，感受自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系. 追问3：如何理解y=3x中三角形底边长和面积y之间的关系？ 引导学生借助下图理解： y=3x表示了下图中三角形底边长和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式.关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法.如图，利用关系式(如y=3x)，我们可以根据任何一个自变置的信求出相应的因变量的值. 强调：从图中可以直观形象地体现了自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系，即“输人”一个x的值就可以“输出”一个y的值，渗透函数的对应思想. （二）合作探究，深化建模 观察・思考 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 追问1：在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? 自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积.当底面半径增大时，圆锥的体积也随之增大. 追问2：如果圆锥的底面半径为r(单位;cm)，那么固锥的休积V(单位:cm)如何表示? 追问3：在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗? 取定一个底面半径r的值，体积V的值随之确定. 尝试·交流 你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式. 一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表: 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:㎡)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m)×0.91 追问1：你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? 学生自己选用字母进行表示.例如，若用x(单位:kW·h)表示用电量，用y(单位:kg)表示家居用电的二氧化碳排放量，则y=0.785x. 追问2：随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流。 随着用电量的增加，二氧化碳排放量也随之增加;用电量每增加1kW・h，二氧化碳排放量增加0.785kg. 追问3：当用电量为100kW.h时，二氧化碳排放量是多少? 78.5kg. 追问4：小明家本月大约用电 110kW·h、耗油 75L、用天然气20㎡°、用自来水5㎡，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和. 小明家本月家居用电的二氧化碳排放量为86.35kg，开私家车的二氧化碳排放量为202.5kg，家用天然气的二氧化碳排放量为3.8kg，家用自来水的二氧化碳排放量为4.55kg，这几项的二氧化碳排放量总和为297.2kg. （三）总结步骤，对比方法 小组讨论总结：列变量关系式的基本步骤 归纳列式步骤：①找变化过程中的两个变量；②确定自变量和因变量；③找出两个变量之间的固定等量关系；④用含自变量的代数式表示因变量. 方法对比总结 小组讨论：表格法和关系式法表示变量关系各有什么优缺点？ 总结：1. 表格法：直观、能直接读取数据，但只能呈现有限组数据，无法反映整体变化规律； 2. 关系式法：简洁、通用，能表示所有变量的变化关系，方便计算任意对应值，但不够直观，无法直接看出数据变化趋势。 【自研自探】 自研课本P153-154页内容 典型例题 例1：一个长方形的长为8cm，宽为xcm（x<8），长方形的周长为Ccm，面积为Scm²。 （1）分别写出C、S与x的关系式； （2）当x=5时，求周长和面积； （3）若面积S=40，求长方形的宽x。 【分析】区分周长、面积两个不同等量关系，规范列式；实际情境中自变量x的取值范围为正数. 【解答】解：（１）　　　 （2）当时，　　　　 （3）当时，　，　. 例2：某超市笔记本单价为3元，购买数量为x本，总费用为y元. （1）写出y与x的关系式； （2）自变量x可以取任意实数吗？为什么？ （3）购买12本需要多少钱？带30元最多可以买几本？ 【分析】（1）根据买数量、单价、总费用之间关系列出关系式；（2）实际情境中数量x的取值范围为自然数；（3）根据关系式求值． 【详解】解：（1）； （2） 自变量x是笔记本的数量，不能取任意实数，只能取自然数； （3） 当时，； 当时，　　　， 所以购买12本需要36元，带30元最多可以买10本笔记本. 第二环节 合作探究 1.讨论情境中自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系. 2.讨论怎样列变量关系式及其基本步骤. 拓展提升：1．学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 课堂练习：课本Ｐ154随堂练习 参考答案：1.见下表.学生可以使用计算器，并保留两位小数. 海拔d/m 0 200 400 600 800 1000 气温T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33 2.随着自来水使用量的增加，二氧化碳排放量也随之增加;自来水使用量每增加1m，二氧化碳排放量增加0.91kg. 1.（2025·深圳校考）．深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______． 【详解】8． 解：当时，， 故答案为：， 2．（2025.阜阳校考）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 【详解】解：∵弹簧挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，且挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上的物体后，弹簧伸长， ∵弹簧不挂重物时长， ∴弹簧总长． 3.(2025.济南统考）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【详解】（1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 知识总结:（1）核心概念：关系式是用含自变量的代数式表示因变量的式子，是变量关系的重要表示方法.（2）核心技能：能识别自变量、因变量；能根据情境列变量关系式；能利用关系式双向代入求值.（3）两种变量表示方法：表格法、关系式法，掌握二者的优缺点. 方法总结:（1）列式四步法：找变量→定自因→找等量→列式子.（2）求值方法：已知自变量，直接代入代数式计算因变量；已知因变量，列方程求解自变量.（3）解题思想：建模思想、数形结合思想、转化思想. 易错提醒:（1）概念易错：混淆自变量和因变量，列式时颠倒两个变量的关系.（2）列式易错：找错等量关系，代数式书写不规范（遗漏系数、符号错误）.（3）求值易错：代入数值计算时整式运算、解方程出错.（4）实际易错：忽略实际情境中自变量的取值限制（边长、数量、时间等不能为负数、小数、零）.（5）认知易错：认为关系式适用于所有数值，脱离实际意义盲目计算. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3用关系式表示变量之间的关系 （导学案） 1. 教学目标 （1）理解关系式的概念，能准确识别关系式中的自变量和因变量；能结合几何、生活实际情境，正确列出两个变量之间的关系式；熟练掌握根据关系式代入求值的方法，已知自变量求因变量、已知因变量求自变量. （2）经历“观察情境—找出变量—分析变化规律—列出关系式—代入求值”的完整探究过程，提升抽象概括能力和数学建模能力，体会数形结合、转化的数学思想. （3）在自主探究与合作交流中感受变量之间的依存关系，体会关系式表示变量关系的优越性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维和学以致用的意识. 重点：在具体情境中找准自变量、因变量，列出变量之间的关系式；根据关系式进行双向代入求值（自变量求因变量、因变量求自变量）. 难点：分析复杂情境中的数量变化规律，准确提炼等量关系并转化为代数关系式；理解关系式中变量的对应关系，感知自变量的取值范围对关系式的约束作用. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：在变化的过程中，什么是自变量？什么是因变量？我们之前用什么方法表示变量之间的关系？ 情境创设：如图，△ABC底边BC上的高是6cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化？ 提出问题：这个变化过程中有几个变量？谁是自变量？谁是因变量？用表格只能列举有限个高对应的面积，能不能用一个通用的式子表示所有情况下的面积与底边的关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第153-154页的内容 【学法指导】自研课本P153-154页内容 (一)自主探究，定义新知 学生讨论：在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? 得出结论：自变量是△ABC的底边BC的长，因变量是△ABC的面积。如果学生回答∠ACB是自变量，教师也应予以肯定.当底边长减小时，三角形的面积也随之减小. 追问1：如果三角形的庸边长为x(单位:)，那么三角形的面积y(单位:)如何表示? y=3x. 追问2：在这个变化过程中，取定一个底边r的值，面积y的值能确定吗?与同伴进行交流. 取定一个底边x的值，面积y的值随之确定.可以让学生取一些底边x的具体值，计算相应的面积y的值，感受自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系. 追问3：如何理解y=3x中三角形底边长和面积y之间的关系？ 引导学生借助下图理解： y=3x表示了下图中三角形底边长和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式.关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法.如图，利用关系式(如y=3x)，我们可以根据任何一个自变置的信求出相应的因变量的值. 强调：从图中可以直观形象地体现了自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系，即“输人”一个x的值就可以“输出”一个y的值，渗透函数的对应思想. （二）合作探究，深化建模 观察・思考 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 追问1：在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? 自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积.当底面半径增大时，圆锥的体积也随之增大. 追问2：如果圆锥的底面半径为r(单位;cm)，那么固锥的休积V(单位:cm)如何表示? 追问3：在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗? 取定一个底面半径r的值，体积V的值随之确定. 尝试·交流 你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式. 一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表: 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:㎡)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m)×0.91 追问1：你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? 学生自己选用字母进行表示.例如，若用x(单位:kW·h)表示用电量，用y(单位:kg)表示家居用电的二氧化碳排放量，则y=0.785x. 追问2：随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流。 随着用电量的增加，二氧化碳排放量也随之增加;用电量每增加1kW・h，二氧化碳排放量增加0.785kg. 追问3：当用电量为100kW.h时，二氧化碳排放量是多少? 78.5kg. 追问4：小明家本月大约用电 110kW·h、耗油 75L、用天然气20㎡°、用自来水5㎡，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和. 小明家本月家居用电的二氧化碳排放量为86.35kg，开私家车的二氧化碳排放量为202.5kg，家用天然气的二氧化碳排放量为3.8kg，家用自来水的二氧化碳排放量为4.55kg，这几项的二氧化碳排放量总和为297.2kg. （三）总结步骤，对比方法 小组讨论总结：列变量关系式的基本步骤 归纳列式步骤：①找变化过程中的两个变量；②确定自变量和因变量；③找出两个变量之间的固定等量关系；④用含自变量的代数式表示因变量. 方法对比总结 小组讨论：表格法和关系式法表示变量关系各有什么优缺点？ 总结：1. 表格法：直观、能直接读取数据，但只能呈现有限组数据，无法反映整体变化规律； 2. 关系式法：简洁、通用，能表示所有变量的变化关系，方便计算任意对应值，但不够直观，无法直接看出数据变化趋势。 【自研自探】 自研课本P153-154页内容 典型例题 例1：一个长方形的长为8cm，宽为xcm（x<8），长方形的周长为Ccm，面积为Scm²。 （1）分别写出C、S与x的关系式； （2）当x=5时，求周长和面积； （3）若面积S=40，求长方形的宽x。 【分析】区分周长、面积两个不同等量关系，规范列式；实际情境中自变量x的取值范围为正数. 【解答】解：（１）　　　 （2）当时，　　　　 （3）当时，　，　. 例2：某超市笔记本单价为3元，购买数量为x本，总费用为y元. （1）写出y与x的关系式； （2）自变量x可以取任意实数吗？为什么？ （3）购买12本需要多少钱？带30元最多可以买几本？ 【分析】（1）根据买数量、单价、总费用之间关系列出关系式；（2）实际情境中数量x的取值范围为自然数；（3）根据关系式求值． 【详解】解：（1）； （2） 自变量x是笔记本的数量，不能取任意实数，只能取自然数； （3） 当时，； 当时，　　　， 所以购买12本需要36元，带30元最多可以买10本笔记本. 第二环节 合作探究 1.讨论情境中自变量取值的变化与因变量值的变化之间的对应关系. 2.讨论怎样列变量关系式及其基本步骤. 拓展提升：1．学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 课堂练习：课本Ｐ154随堂练习 参考答案：1.见下表.学生可以使用计算器，并保留两位小数. 海拔d/m 0 200 400 600 800 1000 气温T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33 2.随着自来水使用量的增加，二氧化碳排放量也随之增加;自来水使用量每增加1m，二氧化碳排放量增加0.91kg. 1.（2025·深圳校考）．深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______． 【详解】8． 解：当时，， 故答案为：， 2．（2025.阜阳校考）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 【详解】解：∵弹簧挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，且挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上的物体后，弹簧伸长， ∵弹簧不挂重物时长， ∴弹簧总长． 3.(2025.济南统考）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【详解】（1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 知识总结:（1）核心概念：关系式是用含自变量的代数式表示因变量的式子，是变量关系的重要表示方法.（2）核心技能：能识别自变量、因变量；能根据情境列变量关系式；能利用关系式双向代入求值.（3）两种变量表示方法：表格法、关系式法，掌握二者的优缺点. 方法总结:（1）列式四步法：找变量→定自因→找等量→列式子.（2）求值方法：已知自变量，直接代入代数式计算因变量；已知因变量，列方程求解自变量.（3）解题思想：建模思想、数形结合思想、转化思想. 易错提醒:（1）概念易错：混淆自变量和因变量，列式时颠倒两个变量的关系.（2）列式易错：找错等量关系，代数式书写不规范（遗漏系数、符号错误）.（3）求值易错：代入数值计算时整式运算、解方程出错.（4）实际易错：忽略实际情境中自变量的取值限制（边长、数量、时间等不能为负数、小数、零）.（5）认知易错：认为关系式适用于所有数值，脱离实际意义盲目计算. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $