6.2 用表格表示变量之间的关系（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“用表格表示变量之间的关系”，通过复习变量、常量等旧知，结合小车下滑时间、反应时间测试等情境引入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生初识表格法。 资料以真实数据（如GDP、土豆产量）为载体，设计“观察-提取-分析-预测”探究流程，培养数据意识与推理能力，习题注重规范表达与合情预测，助力学生用数学语言表达现实关系，提升自主学习与合作探究素养。

6.2 用表格表示变量之间的关系 （导学案） 1. 教学目标 （1）理解表格法是表示变量之间关系的重要方法； 能准确识别表格中的自变量、因变量，理解表格中数据的对应关系； 能从表格数据中分析变量变化趋势，进行简单计算和合理预测；能用规范语言描述表格中因变量随自变量的变化规律. （2）经历“观察表格—提取信息—分析规律—预测结果”的探究过程，积累数据分析经验；通过对真实数据表格的解读，提升信息获取、归纳概括和逻辑表达能力；体会表格表示变量关系的优势，初步形成“用数学工具表达现实关系”的思维方式. （3） 感受数学与生活、数据与现实的密切联系，体会数学表达的简洁性与实用性；在数据分析、合作交流中获得探究成就感，增强数学学习信心.养成仔细读表、规范表达、有据推理的良好学习习惯. 重点：用表格表示两个变量之间的对应关系；从表格中准确找出自变量、因变量；分析表格数据的变化规律，并进行简单计算与预测. 难点：准确理解表格中自变量与因变量的一一对应关系；完整、规范地描述变量变化趋势；基于数据趋势进行合情预测，做到“预测有依据、表达有逻辑”. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问： （1）什么是变量？什么是常量？ （2）什么是自变量？什么是因变量？ （3）请举例说明“一个量随另一个量的变化而变化”. 情境导入：出示教材典型探究情境：小车在不同支撑物高度下，下滑时间不同；支撑高度改变，下滑时间随之改变. 提出问题：这个过程中有哪些变量？哪个量主动变化？哪个量随之变化？怎样整理这些数据，能更清楚地看出它们的关系？ 学生活动：口答复习问题，观察情境，思考数据整理方式，引出“表格”这一直观工具. 【学法指导】 新知自研：自研课本第149-150页的内容 【学法指导】自研课本P149-150页内容 (一)探究表格，初识表格法 问题情境：你知道自己的反应时间是多少吗?如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上.测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离.不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现了部分反应距离及对应的反应时间: 反应距离/ｃｍ 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 反应时间/ｓ 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.156 0.163 0.169 0.175 提出问题： (1)当反应距离为10cm时，反应时间是多少? (2)反应距离越大的人，其反应时间有什么特点? (3)反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况相同吗? (4)小明和同桌实验测得的反应距离分别为9.5cm，18cm，你能估计他 们的反应时间吗?你是怎样估计的? (5)请你和同桌一起做一做上面的实验，估计自己的反应时间。 （二）观察思考，认识表格法 观察思考 2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元): 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120 (1)如果用x表示年份，y表示我国国内生产总值，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么? (2)2016—2022年我国国内生产总值是怎样变化的？ (3)根据表格，预测2030年我国国内生产总值. 师生归纳：1. 表格可以清晰、有序地呈现两个变量的对应数值；2. 表格通常把自变量放在第一行（或第一列），因变量放在对应行（列）；3. 表格能直观体现：因变量随自变量的变化而变化. 表格法：用表格呈现自变量与因变量的对应关系，直观表示变量之间的关系. 【自研自探】 自研课本P149-150页内容 典型例题 例1：研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（    ） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．氮肥施用量越大，土豆产量越高 C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 例2．变量x，y的一些对应值如表： ... 0 1 2 3 ... 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 第二环节 合作探究 1.讨论表格的构成. 2.讨论用表格表示两个变量间的关系. 拓展提升：1.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 课堂练习：课本Ｐ150随堂练习 1．（2025.济南统考期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 2．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　　 万元． 知识总结：（1） 核心方法：表格法可以 、 地表示 的对应关系.（2） 表格结构：通常 ，对应 因变量.（3） 核心关系：表格呈现 的变化而变化.基本功能：读取 、 、 预测. 方法总结：（1）解读表格四步标准流程：第一步： —— ；第二步： —— ；第三步： —— ；第四步： —— .（2）规范表述句式：随着 . 易错提醒：（1）找错 ，牢记“ ”.（2）把单个数值当成 ，要纵向看 ，不能 .（3）对应关系混淆，必须 数据匹配，不能 对应.（4）预测 ，禁止 ，必须依托 说明理由.（5）表述不完整，不能只说“ ”，要完整说出“ ”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 用表格表示变量之间的关系 （导学案） 1. 教学目标 （1）理解表格法是表示变量之间关系的重要方法； 能准确识别表格中的自变量、因变量，理解表格中数据的对应关系； 能从表格数据中分析变量变化趋势，进行简单计算和合理预测；能用规范语言描述表格中因变量随自变量的变化规律. （2）经历“观察表格—提取信息—分析规律—预测结果”的探究过程，积累数据分析经验；通过对真实数据表格的解读，提升信息获取、归纳概括和逻辑表达能力；体会表格表示变量关系的优势，初步形成“用数学工具表达现实关系”的思维方式. （3） 感受数学与生活、数据与现实的密切联系，体会数学表达的简洁性与实用性；在数据分析、合作交流中获得探究成就感，增强数学学习信心.养成仔细读表、规范表达、有据推理的良好学习习惯. 重点：用表格表示两个变量之间的对应关系；从表格中准确找出自变量、因变量；分析表格数据的变化规律，并进行简单计算与预测. 难点：准确理解表格中自变量与因变量的一一对应关系；完整、规范地描述变量变化趋势；基于数据趋势进行合情预测，做到“预测有依据、表达有逻辑”. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问： （1）什么是变量？什么是常量？ （2）什么是自变量？什么是因变量？ （3）请举例说明“一个量随另一个量的变化而变化”. 情境导入：出示教材典型探究情境：小车在不同支撑物高度下，下滑时间不同；支撑高度改变，下滑时间随之改变. 提出问题：这个过程中有哪些变量？哪个量主动变化？哪个量随之变化？怎样整理这些数据，能更清楚地看出它们的关系？ 学生活动：口答复习问题，观察情境，思考数据整理方式，引出“表格”这一直观工具. 【学法指导】 新知自研：自研课本第149-150页的内容 【学法指导】自研课本P149-150页内容 (一)探究表格，初识表格法 问题情境：你知道自己的反应时间是多少吗?如图，测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上.测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离.不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现了部分反应距离及对应的反应时间: 反应距离/ｃｍ 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 反应时间/ｓ 0.101 0.111 0.120 0.128 0.136 0.143 0.156 0.163 0.169 0.175 提出问题： (1)当反应距离为10cm时，反应时间是多少? (2)反应距离越大的人，其反应时间有什么特点? (3)反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况相同吗? (4)小明和同桌实验测得的反应距离分别为9.5cm，18cm，你能估计他 们的反应时间吗?你是怎样估计的? (5)请你和同桌一起做一做上面的实验，估计自己的反应时间。 学生交流讨论： (1)当反应距离为10cm时，反应时间是0.143s。学生在读表的过程中，将从数值对应的角度体会变量之间的依赖关系. (2)根据表格中的数据和生活经验，学生可以得到:反应距离越大的人，其反应时间越长. (3)根据表格中的数据可以发现，反应距离每增加1cm，反应时间的变化情况并不相同:虽然反应时间一直在增加，但是一开始要比后面增加得快一些(实际上，反应时间一开始增加得快，后面增加得慢。教科书表格中第二行后面的几个数据似乎不符合这一趋势，这是因取近似值所导致的). (4)教科书提供的反应时间表中没有小明和同桌实验测得的反应距离，因此无法直接查到相应的反应时间，但是可以根据表中的已有数据进行估计。当反应距离为9.5cm时，可以根据(3)中的发现进行估计，反应时间可以是0.136s到0.143s之间的某个值，约为0.140s;当反应距离为18cm时，可以根据反应时间的变化趋势进行估计，反应时间可以是大于0.175s的某个数值，约为0.193s。教师应鼓励学生大胆表达自己的思考过程. (5)估测反应时间的实验易于操作，学生也比较感兴趣，建议教师组织学生实际做一做. （二）观察思考，认识表格法 观察思考 2016-2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元): 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 GDP/万亿元 75 83 92 99 101 115 120 (1)如果用x表示年份，y表示我国国内生产总值，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么? (2)2016—2022年我国国内生产总值是怎样变化的？ (3)根据表格，预测2030年我国国内生产总值. 学生观察思考： （1)随着x的增加，y也在逐步增大. (2)鼓励学生通过观察表格中的数据大致描述我国国内生产总值逐年变化的情况. 例如:2016-2019年，我国国内生产总值每年增加7万亿－9万亿元;2019-2020年，我国国内生产总值增加约2万亿元;2020-2021年，我国国内生产总值增加约14万亿元;2021-2022年，我国国内生产总值增加约5万亿元. (3)鼓励学生根据(2)中的分析进行预测。例如，可以预测2022年之后我国国内生产总值每年增加约6万亿元，2030年将达到168万亿元左右。教师应鼓励学生说明自己的预测过程. 师生归纳：1. 表格可以清晰、有序地呈现两个变量的对应数值；2. 表格通常把自变量放在第一行（或第一列），因变量放在对应行（列）；3. 表格能直观体现：因变量随自变量的变化而变化. 表格法：用表格呈现自变量与因变量的对应关系，直观表示变量之间的关系. 【自研自探】 自研课本P149-150页内容 典型例题 例1：研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 根据表格，下列说法错误的是（    ） A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量 B．氮肥施用量越大，土豆产量越高 C．当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨~34.03吨 D．当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加 【分析】根据表中土豆的产量与氮肥的施用量之间的关系进行判断． 【解答】解：A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意； B、氮肥施用量大于336千克/公顷时，土豆产量逐渐减少，原说法错误， 故选项符合题意； C、当氮肥的施用量是110千克/公顷时，土豆产量32.29吨~34.03吨，原说法正确，故选项不符合题意； D、当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随施肥量的增加而增加，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 例2．变量x，y的一些对应值如表： ... 0 1 2 3 ... 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 【分析】根据表中两个变量对应值的变化规律可知：，再求出当时，y的值. 【解答】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知：， ∴当时，， 故答案为：． 第二环节 合作探究 1.讨论表格的构成. 2.讨论用表格表示两个变量间的关系. 拓展提升：1.父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ 【详解】（1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 课堂练习：课本Ｐ150随堂练习 参考答案：1.(1)每公顷土豆产量与每公顷氮肥施用量之间的关系。其中，每公顷氮肥施用量是自变量，每公顷土豆产量是因变量.(2)32.29t，15.18t.(3)学生的答案只要合理即可.例如:每公顷氮肥施用量为336kg 时比较适宜，因为此时每公顷土豆的产量最高;或者每公顷氮肥施用量为259kg时比较适宜，因为此时每公顷土豆的产量与每公顷氮肥施用量为336 kg时差不多，却可以节约氮肥.(4)学生的描述只要大致合理就应给予鼓励.例如:当每公顷氮肥施用量为34~336kg时，每公顷土豆的产量逐渐增加;当每公顷氮肥施用量为336~471kg时，每公顷土豆的产量逐渐减少. 1．（2025.济南统考期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 1．【解答】解：由表格可知，时间每增加，水位的高度增加， ∴当h为时，对应的时间t为， 故答案为：20． 2．（2025•北京）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商　　 分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为　　 万元． 【解答】解：（1）当n＝2时， A经销商的利润为60，比n＝1时增加60﹣40＝20（万元）， B经销商的利润为55，比n＝1时增加55﹣30＝25（万元）， C经销商的利润为40，比n＝1时增加40﹣20＝20（万元）， D经销商的利润为38，比n＝1时增加38﹣14＝24（万元）， ∵25＞24＞20， ∴应向经销商B分配2台设备， 故答案为：B； （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为40+55+20+38＝153（万元）， 当分配给三家时，最大利润为40+55+62＝157（万元）， 当分配给两家时，最大利润为60+90＝150（万元）或40+110＝150（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为157万元． 故答案为：157． 知识总结：（1） 核心方法：表格法可以直观、清晰地表示两个变量之间的对应关系.（2） 表格结构：通常一行/列表示自变量，对应行/列表示因变量.（3） 核心关系：表格呈现因变量随自变量的变化而变化.基本功能：读取对应值、分析变化趋势、进行简单预测. 方法总结：（1）解读表格四步标准流程：第一步：找变量——确定自变量、因变量；第二步：找对应——同一组位置，匹配自变量和因变量数值；第三步：析趋势——顺着自变量变化方向，判断因变量“上升、下降、平稳、匀速变化”；第四步：做预测——依据数据变化规律，合情推理，不盲目猜测.（2）规范表述句式：随着______（自变量）逐渐增大，（因变量）逐渐. 易错提醒：（1）找错自变量、因变量，牢记“主动变化→自变量，被动随之变化→因变量”.（2）把单个数值当成整体规律，要纵向看连续变化，不能只看一个数据.（3）对应关系混淆，必须取同一列/同一组数据匹配，不能跨行乱对应.（4）预测无依据，禁止凭空猜测，必须依托表格已有变化趋势说明理由.（5）表述不完整，不能只说“变大/变小”，要完整说出“谁随谁怎样变化”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $