6.3 用关系式表示变量之间的关系（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“用关系式表示变量之间的关系”，通过复习导入中“确定三角形面积的量”的问题，承接已学图形面积知识，为探究变量关系搭建学习支架，引导学生从具体情境中抽象自变量与因变量。 以合作探究（三角形面积、圆锥体积、低碳生活等情境）为主线，对比表格与关系式的优缺点，培养学生的符号意识和模型思想，典例与当堂反馈结合生活实例，助力学生用数学语言表达现实世界的变量关系，提升应用意识与解决问题能力。

第六章 变量之间的关系 6.3　用关系式表示变量之间的关系 【素养目标】 1．经历探索某些图形中变量之间关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号意识． 2．能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想． 3．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系． 重点：能够在具体情境中列出表示变量关系的关系式． 难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系． 【复习导入】 问题：确定一个三角形面积的量有哪些？ 【合作探究】 探究：用关系式表示变量间的关系 △ABC的面积y(单位：cm2)与底边长x(单位：cm)之间的关系 (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么? 当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? (2) 如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y (单位：cm2) 如何表示? (3) 在这个变化过程中，取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定吗?与同伴进行交流. (4)你能用表格完成三角形ABC面积变化的过程吗？ x/cm 10 9 8 7 6 y/cm2 [要点归纳] y = 3x 表示了三角形底边长 x 和三角形面积 y 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式. 注意：关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法，利用关系式 (如 y = 3x)， 我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 要点归纳：利用表格可以写出关系式，利用关系式可以列表格，两者各有优缺点 优点 缺点 表格 关系式 [想一想]你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ 其中的字母表示什么？ [观察·思考]如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的高不变，底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. (1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? (2) 如果圆锥底面半径为 r (单位：cm)，那么圆锥的体积 V (单位：cm3) 如何表示？ (3) 在这个变化过程中，取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定吗? [尝试·交流]你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式. 一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示： 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 (1) 你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗? 其中的字母表示什么? (2) 随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的? 与同伴进行交流. (3) 当用电量为 100 kW·h 时，二氧化碳排放量是多少? (4) 小明家本月大约用电 110 kW·h、开车耗油 75 L、用天然气 20 m3、用自来水 5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和. [归纳总结] 根据表格中所列的数据，列出两个变量间的关系式，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值 [典例精析] 例 如图所示，梯形ABCD的上底长AD＝x cm，下底长BC＝25 cm，高DE＝10 cm，梯形面积是y cm2，上底长为x cm. (1)y与x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示当x从1变到6时(每次增加1)，y的相应值； x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm2 (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由. (4)当x＝0时，y等于什么？此时y表示的是什么？ 当堂反馈 1.一支铅笔是2元，小敏用10元钱买了x支铅笔，则剩余的钱y与x之间的关系式为(　　) A.y＝2x B.y＝2x＋10 C.y＝10－2x D.y＝10x－2 2.变量y与x之间的关系式是y＝x2＋1，当自变量x＝2时，因变量y的值是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.3 3.某自来水公司计划新建一个容积为4×104m3的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S(m2)与其深度h(m)之间的关系式为　 　. 4.运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里(Cal)＝0.0024×体重(kg)×跳绳次数.一名体重50kg的学生跳绳x次，他所消耗的卡路里y(单位：Cal)与x(单位：次)之间的关系式为　 　. 5.一个正方形的边长为15cm，它的各边长都减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm. (1)求y与x之间的关系式； (2)若这个正方形的各边长都减少了4cm，求得到的新正方形的周长. 参考答案 【合作探究】 探究：用关系式表示变量间的关系 解：(1)三角形的底边长是自变量，三角形的面积是因变量. 当底边长减小时，三角形的面积减小. (2) y＝×x×6＝3x (3) 当 x＝9 时，y＝27. 所以取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定. x/cm 10 9 8 7 6 y/cm2 30 27 24 21 18 要点归纳： 优点 缺点 表格 直观反映两个变量的对应关系及变化趋势 变量的取值个数有限，估计时会有误差 关系式 准确反映两个变量间的关系，已知一个变量的值，可以求出另一个变量的值 变量间的对应关系不太直观 [想一想]V 表示圆锥体积； r 表示圆锥底面半径； h 表示圆锥的高. [观察·思考] (1) 圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量. 底面半径增大时，圆锥的体积随之增大. (2) (3) 取定一个底面半径 r 的值，体积 V 的值能确定， 例如：当 r＝1 时，V＝ π. [尝试·交流] 解：(1) y = 0.785x；其中 y(kg)表示家居用电的二氧化碳排放量、x ( kW·h)表示用电量 (2) 随着用电量的增加，二氧化碳排放量增加. (3) 78.5 kg (4)家居用电的二氧化碳排放量： 110×0.785 = 86.35（kg）； 开私家车的二氧化碳排放量：75×2.7 = 202.5（kg）. 天然气的二氧化碳排放量：20×0.19 = 3.8（kg）； 自来水的二氧化碳排放量：5×0.91 = 4.55（kg）； 二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55=297.2(kg) [典例精析] 例 解：(1)y＝×10(x＋25)＝5x＋125. x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm2 130 135 140 145 150 155 (3)当x每增加1时，y随着增加5. (4)当x＝0时，y＝125，此时y表示的是△ABC的面积． 当堂反馈 1.　C　 2.　D　 3.　S＝　. 4.　y＝0.12x　. 5.解：(1)根据题意，得y＝4(15－x)＝－4x＋60， 所以y与x之间的关系式为y＝－4x＋60. (2)当x＝4时，y＝－4×4＋60＝44. 答：得到的新正方形的周长为44cm. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $