6.1 现实中的变量（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“现实中的变量”，核心内容为常量、变量、自变量、因变量的概念及关系。课堂导入通过气温变化、汽车行驶等四个生活情境引导学生观察变化，提出问题，搭建从现实现象到数学概念的学习支架。 资料特色在于“生活情境→观察变化→抽象概念→辨析应用”的探究流程，能培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。习题结合驾车距离、文创销售等实际问题及图表分析，助力学生用数学语言规范表达变量关系，提升从具象到抽象的转化能力。

6.1 现实中的变量 （导学案） (1)结合具体现实情境，理解常量、变量、自变量、因变量的概念；能准确识别变化过程中的常量与变量，正确区分自变量和因变量；能用规范语言描述两个变量之间的依存关系，说明因变量随自变量的变化规律. (2)经历“生活情境→观察变化→抽象概念→辨析应用”的探究过程，积累变量关系的探究经验；通过举例、辨析、归纳，提升从实际问题中抽象数学概念、分析数量关系的能力； 初步学会用数学语言表达现实中的变化规律，发展符号意识与逻辑推理能力. (3)感受数学与现实生活的紧密联系，体会变量知识的实用性；在合作探究、表达交流中获得数学学习的成就感，激发学习代数知识的兴趣；感悟“变化中有规律、联系中有对应”的数学思想，养成严谨思考、规范表达的学习习惯. 重点：理解常量、变量、自变量、因变量的核心概念；在具体情境中识别变量，准确区分自变量与因变量；描述两个变量之间的依存变化关系. 难点：理解变量之间的依存性（一个变量随另一个变量主动变化而被动变化）； 摆脱具象生活经验，完成从现实变化现象到数学概念的抽象转化；规范、准确地用数学语言表述变量的变化规律. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 展示情境 观察思考： （1）一天之中，时间推移，气温不断变化； （2）汽车匀速行驶，行驶时间越长，行驶路程越远； （3）购买同一款文具，购买数量越多，总花费越多； （4）水库放水，放水时间越长，水位越低. 提出问题：① 这些现象有什么共同特点？② 每个情境中都有哪些量在发生变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第145-146页的内容 【学法指导】自研课本P145-146页内容 (一)探究共性，梳理量的特征 将学生分为4组，每组分析以上４个情境中的1个情境，完成任务单： ① 情境中有哪些量？ ② 哪些量的数值始终不变？ ③ 哪些量的数值不断变化？ 情境展示 汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度;汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离. (1)这个情境中有哪些量? (2)随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗? (3)下表呈现了一辆汽车在某种路而情况下的都分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗? 制动初速度(km/b) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 制动距离m 1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36 （二）归纳定义，形成概念 尝试交流 1.某海域海水的压强p(单位:Pn)与水深h(单位:m)之间的关系满足:p=9.8ph(其中p为海水的密度，通常为1.03x10kg/m). (1)这个悄境中有哪些量? (2)随着水深k的变化，其他量会发生变化吗? 2.如图反映了一个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00栅内温度和棚外温 度的变化情况. (1)这个情境中有哪些量? (2)你能描述这个蔬菜大棚棚内温度隧时间的变化而变化的情况吗?棚外 温度呢? (3)你还有哪些发现?与同伴进行交流. 总结归纳：常量：一个变化过程中，数值始终不变的量；变量：一个变化过程中，数值发生变化的量. 自变量：在变化过程中，主动发生变化的量；因变量：随着自变量变化，被动发生变化的量.因变量随自变量的变化而变化. 【自研自探】 自研课本P145-146页内容 典型例题 例1.下列各情境中，哪些是常量？哪些是变量？ （1）圆的周长公式，半径r变化，周长C变化； （2）电费单价固定，用电量越多，电费越高； （3）矩形周长固定，长变化，宽随之变化. 例2.说出下列情境中的自变量和因变量： （1）烧水时，水温随加热时间增加而升高； （2）步行上学，速度不变，路程随时间变化； （3）商品打折销售，总价随购买数量变化. 第二环节 合作探究 1.讨论情境中有哪些量？哪些量的数值始终不变？哪些量的数值不断变化？梳理量的特征. 2.讨论什么是变量什么是常量？变量中什么是自变量？什么因变量？ 拓展提升：1.太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是________，因变量是________； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米，博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 课堂练习：课本Ｐ146随堂练习 1.（2025.南陵校考）水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式中，常量是（    ） A．S B．3.14 C．r D．r2 2.（2025.安康统考）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 知识总结：（1） 核心概念：常量： 的量；变量： 的量；自变量： 的量；因变量： 的量.（２） 核心关系： 随 的变化而变化.（3） 研究对象：同一变化过程中， 的变量. 方法总结：（1） 找常量、变量： 是否始终不变.（2）区分自、因变量： （自变量），剩余 为因变量.（3）描述变化规律：先 ，再用“ ”规范表述.（4）数学学习思路： → → . 易错提醒：（1）单独一个量不能叫 ，变量 ，且存在 .（2）混淆 、 ，牢记“ 、 是自变量， 、 是因变量”.（3）描述变化规律时， 、 ，要结合具体问题完整表述.（4）把 当成变量，实则为常量. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 现实中的变量 （导学案） (1)结合具体现实情境，理解常量、变量、自变量、因变量的概念；能准确识别变化过程中的常量与变量，正确区分自变量和因变量；能用规范语言描述两个变量之间的依存关系，说明因变量随自变量的变化规律. (2)经历“生活情境→观察变化→抽象概念→辨析应用”的探究过程，积累变量关系的探究经验；通过举例、辨析、归纳，提升从实际问题中抽象数学概念、分析数量关系的能力； 初步学会用数学语言表达现实中的变化规律，发展符号意识与逻辑推理能力. (3)感受数学与现实生活的紧密联系，体会变量知识的实用性；在合作探究、表达交流中获得数学学习的成就感，激发学习代数知识的兴趣；感悟“变化中有规律、联系中有对应”的数学思想，养成严谨思考、规范表达的学习习惯. 重点：理解常量、变量、自变量、因变量的核心概念；在具体情境中识别变量，准确区分自变量与因变量；描述两个变量之间的依存变化关系. 难点：理解变量之间的依存性（一个变量随另一个变量主动变化而被动变化）； 摆脱具象生活经验，完成从现实变化现象到数学概念的抽象转化；规范、准确地用数学语言表述变量的变化规律. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 展示情境 观察思考： （1）一天之中，时间推移，气温不断变化； （2）汽车匀速行驶，行驶时间越长，行驶路程越远； （3）购买同一款文具，购买数量越多，总花费越多； （4）水库放水，放水时间越长，水位越低. 提出问题：① 这些现象有什么共同特点？② 每个情境中都有哪些量在发生变化？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第145-146页的内容 【学法指导】自研课本P145-146页内容 (一)探究共性，梳理量的特征 将学生分为4组，每组分析以上４个情境中的1个情境，完成任务单： ① 情境中有哪些量？ ② 哪些量的数值始终不变？ ③ 哪些量的数值不断变化？ 汽车速度60km/h，行驶时间t(h)，行驶路程s(km). 不变的量：速度60km/h. 变化的量：行驶时间、行驶路程. 情境展示 汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度;汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离. (1)这个情境中有哪些量? (2)随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗? (3)下表呈现了一辆汽车在某种路而情况下的都分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗? 制动初速度(km/b) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 制动距离m 1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36 学生讨论量的特征： (1)这个情境中的量有:制动初速度、制动时间、制动距离，以及与汽车有关的量(如汽车的质量、长度等)、路面的摩擦系数等. (2)将车辆的制动初速度作为自变量，引导学生体会其他量是否与制动初速度有依赖关系。随着车辆制动初速度的变化，制动时间、制动距离会发生变化. (3)让学生借助表格中的数据简单分析变量之间的关系.学生只要描述出大致趋势即可，如制动距离随着制动初速度的增加而增加. （二）归纳定义，形成概念 尝试交流 1.某海域海水的压强p(单位:Pn)与水深h(单位:m)之间的关系满足:p=9.8ph(其中p为海水的密度，通常为1.03x10kg/m). (1)这个悄境中有哪些量? (2)随着水深k的变化，其他量会发生变化吗? 2.如图反映了一个蔬菜大棚某日18:00到次日18:00栅内温度和棚外温 度的变化情况. (1)这个情境中有哪些量? (2)你能描述这个蔬菜大棚棚内温度隧时间的变化而变化的情况吗?棚外 温度呢? (3)你还有哪些发现?与同伴进行交流. 学生交流讨论： 1.(1)这个情境中的量有:海水的压强、水深、海水的密度。教学时，教师可以结合潜水等日常生活中的事例，帮助学生直观理解压强、密度等名词。 (2)随着水深h的增加，海水的压强会越来越大，海水的密度和系数9.8不变. 2.(1)这个情境中的量有:时间、棚内温度、棚外温度. (2)鼓励学生通过观察图象大致描述温度随时间的变化而变化的情况.例如:大约18:00到次日3:00棚内温度缓慢下降，次日3:00到14:00棚内温度快速上升，次日14:00到18:00棚内温度逐渐下降;大约18:00到次日3:00棚外温度缓慢下降，次日3:00到16:00棚外温度逐渐上升，次日16:00到18:00棚外温度逐渐下降. 上面情境中有许多变化的量，如制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚内温度、棚外温度、时间等，它们都是变量。其中，制动距离随制动初速度的变化而变化，海水的压强随水深的变化而变化，棚内 温度、棚外温度随时间的变化而变化，制动初速度、水深、时间称为自变量，制动距高、海水的压强、棚内温度、棚外温度称为因变量. 一定海城内，在海水的压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保持不变。像这种在变化过程中数值始终不变的量称为常量. 总结归纳：常量：一个变化过程中，数值始终不变的量；变量：一个变化过程中，数值发生变化的量. 自变量：在变化过程中，主动发生变化的量；因变量：随着自变量变化，被动发生变化的量.因变量随自变量的变化而变化. 【自研自探】 自研课本P145-146页内容 典型例题 例1.下列各情境中，哪些是常量？哪些是变量？ （1）圆的周长公式，半径r变化，周长C变化； （2）电费单价固定，用电量越多，电费越高； （3）矩形周长固定，长变化，宽随之变化. 【分析】 一个问题中，变量至少有两个，且存在依存关系；常量不一定是具体数字，也可以是固定不变的量. 【解答】（1）常量：，变量：半径r，周长C； （2）常量：电费单价，变量：电量，电费； （3）常量：矩形周长，变量：矩形的长和宽. 例2.说出下列情境中的自变量和因变量： （1）烧水时，水温随加热时间增加而升高； （2）步行上学，速度不变，路程随时间变化； （3）商品打折销售，总价随购买数量变化. 【分析】 一个问题中，自变量是“主动变、先变”，因变量是“跟着变、后变”. 【解答】（1）自变量：加热时间；因变量：水温； （2）自变量：时间；因变量：路程； （3）自变量：购买数量；因变量：总价. 第二环节 合作探究 1.讨论情境中有哪些量？哪些量的数值始终不变？哪些量的数值不断变化？梳理量的特征. 2.讨论什么是变量什么是常量？变量中什么是自变量？什么因变量？ 拓展提升：1.太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是________，因变量是________； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米，博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 【解答】（1）解：上述过程中，自变量是时间，因变量是离开家的距离， 故答案为：时间，离开家的距离； （2）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米）， 故答案为：15，25； （3）解：， 故答案为：； （4）解：（千米/时）． 答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时． 课堂练习：课本Ｐ146随堂练习 参考答案：1.(1)变量:地表以下岩层的温度y，所处深度x.其中，所处深度x是自变量，地表以下岩层的温度y是因变量.(2)变量:年份，全国总人口。其中，年份是自变量，全国总人口是因变量. 1.（2025.南陵校考）水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式中，常量是（    ） A．S B．3.14 C．r D．r2 【解答】解：∵在变化过程中，数值固定不变的量叫做常量，且在等式中，3.14的数值始终不变，S随的变化而变化，与的数值也会改变， ∴常量是3.14． 故选：B． 2.（2025.安康统考）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【解答】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y； 故答案为降价金额x，日销量y； （2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）； 故答案为45； （3）解：由题意得：（盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 知识总结：（1） 核心概念：常量：变化过程中数值不变的量；变量：变化过程中数值变化的量；自变量：主动变化的量；因变量：随自变量被动变化的量.（２） 核心关系：因变量随自变量的变化而变化.（3） 研究对象：同一变化过程中，两个有依存关系的变量. 方法总结：（1） 找常量、变量：看数值是否始终不变.（2）区分自、因变量：找主动变化量（自变量），剩余依存变量为因变量.（3）描述变化规律：先定变量，再用“随……增大/减小而……”规范表述.（4）数学学习思路：生活情境→抽象概念→辨析应用. 易错提醒：（1）单独一个量不能叫变量，变量至少两个，且存在依存关系.（2）混淆自变量、因变量，牢记“先变、主动变是自变量，后变、跟着变是因变量”.（3）描述变化规律时，脱离情境、语言不规范，要结合具体问题完整表述.（4）把固定不变的字母/定值（如π、固定速度）当成变量，实则为常量. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $