河北衡水中学2026届高三下学期二模数学试题

数学学科 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟. 第I卷（共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分） 1.已知全集U=R,A={0,l,2,3},B={-2,-1,0,},则图中阴影部分表示的集合为() A.{-2,-10,1,2,3} B.{0,1} C.{2,3} D.{-2,-1} 2.抛物线y=7的焦点坐标为( A.令0) B.0) C. D.(0 3.已知向量a=(1,2),b=(m,-),若a∥(a+b),则a.b=(). A c 4.若偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当x∈(0,1)时，f(x)=2-1,则f(log,6)=() A.子 B. c D.1 5.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√2，b=2,asin B+bcosA=c, 则c=() A.√2+1B.2√2 c.6+l 2 D.3+1 6.已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°，则球表面积与圆 台侧面积之比为() A.2:3B.3:4C.7:8D.6:13 第1页共5页 7.有一种走“方格迷宫游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走 过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法.现有如图的方格迷 宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A.6 B.8 C.10 D.12 8如图，双曲线E:二-Y片」的左右焦点分别为，，若存在过的直线1交双曲线2 右支于A,B两点，且△AFF,△BFF的内切圆半径，2满足3r=4r2,则双曲线E的 离心率取值范围为() A.(1,3) B.(L,7) C.(2,45) D.（1,45) 二、多项选择题（每题6分，少选得部分分，错选不得分） 9.已知函数f()=2sim2x-写》， x∈R,下列说法正确的是() A.f(x)的值域为[-2,2] B.f(x)的图象关于点 行0对称 c.f()在区间0 上单调递增 D.f(x)的图象可由曲线y=2sin2x向右平移T个单位得到 6 10.设乙1，z2,z3为复数，3，≠0.下列命题中正确的是() A.若22=2，则z2=±z B.若2122=2123，则z2=33 C.若z=名，则2=3 D.若z22=，则名=2 第2页共5页 11.已知正方体ABCD-ABC,D的棱长为2，P为底面正方形ABCD内（含边界）的一动点， 则下列结论正确的是() A.存在点P,使得C,P⊥平面B,CD B.三棱锥B,-A,D,P的体积为定值 C.当点P在棱CD上时，PA+PB的最小值为2√2+2 D.若点P到直线BB,与到直线AD的距离相等，CD的中点为E, 则点P到直线AE的最短距离是35 10 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分) 12.已知等差数列a,}满足4，名，则sn(4a:+4a,) 13.（x-V) 的展开式中x2y的系数为 14. 已知函数/)=hx+2+)有零点，则。+6的最小值为 四、解答题（共5题，满分77分） 15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c0sA= 7 (sin A+sinC)2=sin2 B+3sin AsinC. (1)求角B及sinC的值； (2)若c=5,求△ABC的面积. 第3页共5页 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD,点E是PC的中 点，AD=2,PD=AB=4, (I)求证：PA//平面EDB; (2)求平面BDE与平面ABP所成角的正弦值. Dg… 17.已知函数f(x)=x2-2x+alnx,(aeR) (I)若a=1,求函数f(x)在点(1，f()处的切线： (2)若对任意的x,x2∈(0，+0)，：≠x2,有(x-x)[xf(x)-x/(x2)]>0恒成立，求实数 a的取值范围」 第4页共5页 18.己知椭圆c:+少 b3三=1(a>b>0)的离心率为Y6,点P0,2)在椭圆C上，过点P的 3 条直线PA,PB分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线PA,PB,AB的斜率满足 kA+kB=4KAB(kB≠O). (1)求椭圆C的方程； (2)证明直线AB过定点； (3)椭圆C的焦点分别为F,F,求凸四边形FAFB面积的取值范围. 19.设无穷数列{an}的前n项和为S,{}为单调递增的无穷正整数数列，记 A=S-,(n=l,2,),定义2={jeNS4-S,20,k=j+lj+2,…}: (1)若an=n,n=n2(n=1,2,),写出A,4的值； 2a,(a=12求a: 1,x>0 (3)设sgn(x)=0,x=0,求证：对任意的无穷数列{a},存在数列{，}，使得{sgn(A,)}为 -l,x<0 常数列. 第5页共5页 衡中二模数学参考答案 D D B C D B B B 9．ACD 10.BC 11.ABD 11【答案】ABD 【详解】对于A选项，如图，连接，，    因为在正方体中，平面，平面， 所以，因为为正方形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，，平面，所以平面， 所以当点P与A重合时，平面，故A正确； 对于B选项，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而P到上底面的距离是定值， 所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C选项，当点P在棱上时，把平面沿旋转， 使得旋转面与平面共面，连接，如图，    此时取得最小值，在中，，， 则，故C错误； 对于D，由点P到直线与到直线的距离相等， 可知P在以为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，P的轨迹是抛物线，其方程为， 因为CD的中点为E，、， 所以AE的方程:，与AE平行的抛物线的切线方程设为， 联立，可得， 则由，解得，可得切线方程为， 则点P到直线AE的最短距离为，故D正确；故选：ABD. 12. 13．6 14.e 14.设的零点为，则，即， 设为直线上的一点， 坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离， 下求的最小值，令，则 在为减函数，在为增函数，即， 15． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）， 即有， 由正弦定理可得， 则.............................................................3分 又，故；............................................................6分 由，则，故， 则 ；............................................................9分 （2）由正弦定理，可得， 则.............................................................13分 16 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接交于，连接， 因为为的中点，四边形为矩形，可得为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面；............................................................5分 （2）由题意，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 则， 可得， 设平面的法向量， 则，即，令，可得， 设平面的法向量， 则，即，令，可得，................................................10分 可得， 所以，................................................14分 设平面与平面所成角为， 所以． 即平面与平面所成角的正弦值为．..............................................15分.. 17．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程， （2）将不等式变形为，构造函数，利用单调性与导数之间的关系，分离参数即可求解，或者利用分类讨论，求解导函数的正负求解. 【详解】（1），当，时，，， 故切线方程为：,即；..............................................4分.. （2）法一：不妨设，则，同除以得， 所以在单调递增，所以. ...............7分.. ①若，恒成立，符合题意. ②若，则恒成立. 令，则，令，则， 所以在单调递增，在单调递减，所以，所以. ③若，同理，恒成立，由②可知，当时，，所以不存在满足条件的.综上所述，. ..............................................15分.. 法二：， 令，则只需在单调递增，即恒成立； ， 令，则恒成立；又， ①当时，，在单调递增成立； ②当时，，在单调递增， 又当时，，故不恒成立，不满足题意； ③当时，由得， 则在单调递减，在单调递增， 因为恒成立，所以， 解得，故； 综上，实数的取值范围是. 18．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题设得，解得，所以的方程为；..............4分 （2）由题意可设，设，， 由，整理得， ． 由韦达定理得，， 由得，即， 整理得， 因为，得，解得或， 时，直线过定点，不合题意，舍去； 时，满足，所以直线过定点．.........................................10分 （3））由（2）得直线，所以，由， 整理得，， 由题意得， 因为点与连线的斜率为，所以，所以，令，， 所以，在上单调递减， 所以的范围是．..............................................17分   19．(1)9，35 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得； 由，得； 可知，；..................................4分 （2）由，得； 当为奇数时，时，， 此时.当为偶数时，， 所以.则...............................................10分 （3）在中， 若为有限集，设其最大元素为，且时，， 则当时，存在满足. 令， 则，所以；................................12分 若为无限集，设，其中，设，则， ①若数列中只有有限项为正数，即，且当中没有正数项时， 取，则.令，则， 所以；..............................................14分 ②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中， 则，令，则， 所以；..............................................16分 综上所述，对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列...............................................17分 ( 数学答案 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $