专题02 分离参数法，同构法，端点效应，隐零点解决导数不等式恒成立问题8个题型归纳（期末复习专项训练）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦导数不等式恒成立问题，系统整合分离参数、同构法等8类核心方法，构建“方法-题型-典例”递进式训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分离参数|5题|参数分离转化为最值问题|基础方法，适用于参数易分离情境| |指对同构|5题|构造同构式利用单调性|重难点，解决指对混合不等式| |端点效应|5题|端点代入验证缩小参数范围|重难点，简化含参恒成立讨论| |隐零点|5题|设而不求代换零点表达式|重难点，处理导数零点不可求问题| |构造函数|5题|构造新函数证不等式|常考点，强化函数思想应用| |整数解|5题|结合单调性分析整数解个数|综合应用，提升解题精准度| |存在与任意|5题|转化为函数最值关系|逻辑推理，区分量词差异| |含参讨论|5题|分类讨论参数取值范围|重点，培养分类整合能力|

专题02 分离参数法，同构法，端点效应，隐零点解决导数不等式恒成立问题 题型1 分离参数解决不等式恒成立问题（常考点） 题型5 构造函数证明不等式恒成立（常考点） 题型2 指对同构法解决不等式恒成立问题（重难点） 题型6 恒成立问题中的整数解问题 题型3 端点效应解决不等式恒成立问题（重难点） 题型7 存在与任意问题 题型4 隐零点解决不等式恒成立问题（重难点） 题型8 含参讨论解决不等式恒成立问题（重点） 题型一 分离参数解决不等式恒成立问题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，所以实数的最小值为. 故答案为： 2．（24-25高二下·天津河西·阶段检测）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，结合导数判断函数单调性及最值情况，进而可得参数范围. 【详解】由已知， 不等式恒成立， 即在上恒成立， 设，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 即函数在处取得最大值为， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值即可得解. 【详解】函数，求导得，当时，， 因此函数在上单调递增，， 由不等式在上恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（22-23高三下·全国·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题意将不等式变形为，利用导数研究函数的单调性求出即可求解. 【详解】因为，不等式可变形为． 设，则． 当时，，所以函数在上单调递增． 则，所以．故正实数的取值范围是． 故答案为： 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，求导得到单调性和最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 题型二 指对同构法解决不等式恒成立问题 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，都有，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将不等式化为，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有，进而问题化为在上恒成立，最后应用导数求最大值，即可得． 【详解】由题设，都有，即， 因为，所以，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，即不合题设； 故，所以，而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 所以，故． 则a的取值范围为． 7．（25-26高二下·河北唐山·期中）若不等式，对恒成立，则正实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据同构构造函数，利用函数单调性计算即可. 【详解】由题可知，对恒成立， 令， 则，， 即求，对恒成立时，正实数a的取值范围 因为， 则当时， 在上单调递增， 又因为当时，， 所以对恒成立， 则， 令，， 令，解得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以. 8．（重庆市部分中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】 【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答. 【详解】不等式 ， 令，则， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在上单调递增， 则， 令，则， 当时，；当时，， 于是得函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，即得， 所以实数的最小值为. 9．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，构造函数，可知函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数在其定义域上的最大值，即可求得实数的取值范围． 【详解】由题意得，由，可得， 即， 设，则， 因为，所以是单调递增函数， 所以，整理得， 令，， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，只需要，解得． 10．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先将不等式整理为，构造同构函数，由是上的单调递增函数，将问题转化为恒成立；再求的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】原不等式整理得：. 构造函数，原不等式等价于对任意恒成立. 对求导得：恒成立，因此是上的单调递增函数， 不等式等价于：. 将不等式变形为对任意恒成立，令，求导得， 令，得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为，故，即. 综上，的取值范围是. 题型三 端点效应解决不等式恒成立问题 11．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性即可求解； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用二阶导数求的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分，，三种情况进行讨论； （3）利用（2）的结论可得，进而利用放缩可得，然后利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令，利用导数证明当时，，再利用放缩可得，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分. 【详解】（1）当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. （3）由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，. 12．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，函数，． (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值. (2) (3)由（2）的结论，对 ，令​​，则.​ 求和得​. 由（1）的结论，对任意，，令，则 . 求和得. 因此. 【分析】（1）首先求出函数的导数，根据导函数的符号判断函数的单调性以及最值即可. （2）求出函数导数，分类讨论的取值范围，判断函数单调性，结合题意，即可求得答案； 【详解】（1）函数 的定义域为，. 当时，，则单调递增. 当时，，则单调递减. 当时，. 因此在处取得最大值，最大值，无最小值. （2）函数 ，，. 令，则. 当时，对任意， ，故在单调递增， ，因此在单调递增，，满足条件. 当时，，因为在上单调递增，所以. 因此在单调递减，则，则在上单调递减，，舍去. 当时，， 根据余弦函数的性质，故存在唯一使得 . 则在上单调递减，，则在上单调递减，，舍去. 综上，的取值范围是 . 13．（2026·云南保山·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）对求导，得出单调区间． （2）构造函数，求导，再讨论参数范围．这是一个端点效应的题，端点处为，可以令端点处导数大于等于零，得到参数范围，再据此讨论． 【详解】（1）当时，， 则． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 单调递减区间为，单调递增区间为． （2）． 设， 则在恒成立等价于在恒成立． ， 又，，，当且仅当时等号成立， 当时，． ①当，即时，， 在上单调递增，又， ，满足在上恒成立． ②当，即时， 令，则． ，，， 则，在上单调递增. 又，当时，， 存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立． 综上，a的取值范围为． 14．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在正实数使得函数在上有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，当时，可得不等式恒成立；当时，利用转化思想及导数求解即可； （3）变形为证明，结合（1）即证明，只需证，恒等变换后，只需证，令，利用转化思想及导数证明即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，所以，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． （2）在上恒成立， 即在上恒成立， ①当时，由，得，， 因此，满足题意； ②当时，令， 则， 令， 则． 由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则， 则在上单调递增，所以，满足题意； 若，则，， 因此在上存在唯一的零点，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不满足题意． 综上，实数的取值范围为； （3）证明：当时，， 即， 则，， 取对数有，， 则题干变形为证明． 不妨设， 由（1）可知， 要证明， 即， 因为， 且在上单调递增，所以只需证， 又因为， 所以只需要证， 即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证， 即证， 令， 则， 令（）， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故， 即， 所以． 即成立． 15．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 题型四 隐零点解决不等式恒成立问题 16．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 17．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）当时，求得函数的导数，结合导函数的符号，求得函数的单调区间，进而计算求得最大值； （2）求得函数的导数，令，则在上单调递增，求得函数的最大值，转化为求得，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. （2）由题意，函数，可得， 因为任意的，恒成立， 又由，所以，则， 令，则在上单调递增， 因为当时，，所以， 因为，所以，使得， 且当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 由，可得， 因为恒成立，可得，即， 结合，得，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故实数的最小值为. 18．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令 ， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 19．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围； (3)设是函数在上的一个零点，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）求导计算的极值； （2）由可得，令，求导得到，分和进行讨论可得结果； （3）利用放缩法证明，再结合导数计算单调性得到，从而得到. 【详解】（1）当时，，， 令，可得或， 当时，或，当时，， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 综上，的极大值为，极小值为0. （2）当时，，即， 令，求导得， 当时，，则，又，则，满足题意； 当时，令，设， 令，可得，令，可得，所以在上单调递减，上单调递增， 故，不满足题意. 综上，的取值范围是. （3）， 由是函数在上的一个零点，则，即，， 令，则，所以在上单调递减， 则，即，， 则，代入，可得，即，则， 再令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，上单调递增，则， 即，，所以，即. 20．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)两个零点 (3)3 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理判断； （3）不等式分离参数化为，引入函数，，利用导数求得其最小值并判断最小值所在范围后可得结论． 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数的最大值为． 题型五 构造函数证明不等式恒成立问题 21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 22．（2026·贵州黔东南·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 23．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 24．（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为，使得成立，设，利用导数求出其最大值即可； （3）由题意可得恒成立，即恒成立，其中，设，利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）当时，， ，， ， 在处的切线方程为； （2）当时，. 在上的解集非空， 等价于，使得成立， 设， 则 ， 单调递减，， . （3）恒成立，恒成立， 令，则，恒成立， 设， 则，显然，单调递减， ，∴在上，单调递增， 在上，单调递减， ， ，即的最小值为. 25．（2026·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； (2) 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性; （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【详解】（1）由题知： 若，，在上单调递增     若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 题型六 恒成立问题中的整数解问题 26．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对不等式进行变形，构造函数，通过分析函数的单调性，结合不等式有且仅有3个整数解可得实数的取值范围. 【详解】由已知有意义，所以， 将不等式化简，，即，整理得， 若时，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，当，， 此时不等式有无穷多个整数解 ，不符合题意； 当，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递增， 因为，，，， 且不等式有且仅有3个整数解， 结合单调性可知这三个整数解为1,2,3，所以， 所以实数的取值范围为. 27．（2025·黑龙江·一模）若函数的图象恒在图象的上方，则的最大整数值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，建立不等式并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】依题意，恒成立，令， 求导得，函数在上单调递增， ，则存在，使得，即， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 由，得，因此， 则，所以的最大整数值为0. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立不等式分离参数，再构造函数是求解问题的关键. 28．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，若仅存在唯一整数解，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】由题意知，原题等价于函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，进而研究函数的图象与性质，数形结合即可求出结果. 【详解】根据题意，令，， 仅存在唯一整数解的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点， 当与相切时，设切点， 由于，故切线斜率， 切线方程为：， 代入得，解得，此时，切点为， 又当时，，， 所以符合要求的条件为，解得． 即的取值范围为. 故答案为： 29．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意知，关于x的不等式恰有3个不同的正整数解．设函数，，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k取值范围． 【详解】当时，不等式有无数个正整数解，不满足题意； 当时，当时，不等式恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意； 当时，不等式等价于， 令，所以， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 又，结合单调性可知，当时，恒成立， 而表示经过点的直线， 由图像可知，关于的不等式恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件： 解得．则实数的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类： （1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化； （2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观； （3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决. 30．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】转化有且仅有1个整数解为有1个整数解，数形结合列出不等关系即可求得答案． 【详解】由题有且仅有2个整数解即恰有1个整数解， 也即有1个整数解， 令，， （1）当时，，则，此时有无数个整数解，不成立； （2）当时，如图所示，有无数个整数解，也不成立；   （3）当时，要符合题意，如图， 由于，均经过点，要使有1个整数解，   则，即，解得， 故答案为： 题型七 存在与任意问题 31．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】只需要满足在上恒小于等于在上的最大值，导根据导函数得出，再分离参数得出，令，求导判断单调性即可. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，总存在， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. ，令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在单调递减，， ，化简得，即 对任意的恒成立， 令，即，令，解得或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故的最大值为， . 32．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】若，使得成立，等价于大于在上的值域的下界；通过求导求出最小值，再通过构造函数求解实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，， 得到在上单调递增，则， 若，，使得成立 即，使得成立， 得到在上有解， 化简得在上有解， 令，则， 令，则， 所以上单调递减，，得到， 所以上单调递减，， 故，得到取值范围为. 33．（25-26高三下·山东·阶段检测）函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【答案】 【分析】通过，对于结合基本不等式求得最小值，对于通过求导确定最小值，即可求解. 【详解】对任意，存在使得， 等价于 ， ， 令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因此最小值为： ， ， ， ， 当且仅当等号成立， ，故 因为，所以，即， ， 因此正数的最小值为. 34．（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）设，函数，，若对任意的，存在使得成立，则实数的最小值是__________． 【答案】 【分析】依题意判断两函数最值的关系，分别求其最值，列关系计算参数范围即可得到最小值. 【详解】依题意，对任意的，存在都有成立，则需. 对于函数，，则. 令，则， 故，，单调递减；，，单调递增； 故. 对于函数，，则， 因为，，所以， 故在单调递增，故. 因此. 又，所以. 故实数的最小值为. 35．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 题型八 含参讨论解决不等式恒成立问题 36．（山东日照市2026届高三下学期5月模拟考试数学试卷）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标，再结合几何性质求出最小值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出函数的最小值，由此最小值不小于0得，进而得的关系式，再构造函数并求出最大值即可. 【详解】（1）依题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近， 设切线方程为，切线与曲线的切点为，而， 则，即，解得，，点到直线的距离， 因此，当且仅当点坐标为，且垂直于直线时取等号， 所以的最小值为. （2）对于任意，不等式恒成立，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，即，由，得， 解得，则，令函数， 求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，因此，所以的最大值为． 37．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数，若存在，，使得在上恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】通过不断地建立新函数、求导来判断其函数及导数的正负性来求得最小值. 【详解】若，那么. 设，. 若，，则单调递增，且趋近于，趋近于，不满足恒成立. 时，令，解得，且，. 所以最大值为. 要使恒成立，满足即可，解得. 那么最小值为. ，令，解得. 那么时，，单调递减，时， ，单调递增. 所以最小值为. 38．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】先利用导数分析函数单调性，由不等式恒成立条件推导出参数的约束关系，再通过指数与对数的互化，将目标表达式转化为单变量二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】设 ，，原不等式恒成立，等价于 ， 则， 若 ，则 ， 在 上单调递减， 当 时，，不满足 ，舍去； 若 ，令 ，得 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增， 因此， 在 处取得最小值： ， 所以 ，即 ，则， 当时，，; 当 时，两边同乘 ，可得，此时 ，无最小值； 当 时，两边同乘 ，可得， 设 ，，则， 当 时，，， 综上可得， 的最小值为. 39．（2026·湖北·二模）已知函数，且对恒成立，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】求得，令，求得，得到的单调性和最小值，分和，两种情况讨论，得到存在唯一的使得和，代入得，令，利用导数求得的单调性与最大值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值， 若，可得恒成立，所以在上单调递增， 当时，，可得， 不满足恒成立，不符合题意； 当时，因为在上单调递减，在单调递增， 且当时，；当时，，如图所示， 所以存在唯一的使得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以时，函数取得最小值， 将代入可得，整理得， 再将和代入， 可得， 令，可得， 令，即，解得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且， 所以的最大值为. 40．（25-26高二下·上海闵行·期中）对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过因式分解得到的根与的根重合，得到，进而得到，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】原不等式移项整理： ， 因式分解得： 该式对恒成立， 若，则恒成立，要求对任意恒成立，显然不可能，故， 因为是增函数， 因此： 时， 时， 要乘积恒小于等于0，要求在时非负，在时非正， 故，且的根与的根重合， 即： 将代入得： ， 设，则 ， 当时， ，单调递增； 当 时， ，单调递减； 故在处取最大值： . 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分离参数法，同构法，端点效应，隐零点解决导数不等式恒成立问题 题型1 分离参数解决不等式恒成立问题（常考点） 题型5 构造函数证明不等式恒成立（常考点） 题型2 指对同构法解决不等式恒成立问题（重难点） 题型6 恒成立问题中的整数解问题 题型3 端点效应解决不等式恒成立问题（重难点） 题型7 存在与任意问题 题型4 隐零点解决不等式恒成立问题（重难点） 题型8 含参讨论解决不等式恒成立问题（重点） 题型一 分离参数解决不等式恒成立问题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 2．（24-25高二下·天津河西·阶段检测）对任意的， 不等式恒成立， 则实数的取值范围为_________________. 3．（23-24高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 4．（22-23高三下·全国·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________． 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 题型二 指对同构法解决不等式恒成立问题 6．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若，都有，则a的取值范围为______． 7．（25-26高二下·河北唐山·期中）若不等式，对恒成立，则正实数a的取值范围是________． 8．（重庆市部分中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 9．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 10．（25-26高二下·安徽合肥·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 题型三 端点效应解决不等式恒成立问题 11．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 12．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，函数，． (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围； 13．（2026·云南保山·二模）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 14．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在正实数使得函数在上有两个不同的零点，，证明：． 15．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 题型四 隐零点解决不等式恒成立问题 16．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 17．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 18．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 19．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围； (3)设是函数在上的一个零点，判断与的大小关系，并说明理由． 20．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值． 题型五 构造函数证明不等式恒成立问题 21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 22．（2026·贵州黔东南·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 23．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 24．（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 25．（2026·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 题型六 恒成立问题中的整数解问题 26．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·黑龙江·一模）若函数的图象恒在图象的上方，则的最大整数值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 28．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，若仅存在唯一整数解，则的取值范围为_______． 29．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是__________． 30．（23-24高三上·河南·阶段检测）已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______． 题型七 存在与任意问题 31．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数m的取值范围是______． 32．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，，，若，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 33．（25-26高三下·山东·阶段检测）函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 34．（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）设，函数，，若对任意的，存在使得成立，则实数的最小值是__________． 35．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 题型八 含参讨论解决不等式恒成立问题 36．（山东日照市2026届高三下学期5月模拟考试数学试卷）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 37．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数，若存在，，使得在上恒成立，则的最小值为__________． 38．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 39．（2026·湖北·二模）已知函数，且对恒成立，则的最大值为__________. 40．（25-26高二下·上海闵行·期中）对于，不等式恒成立，则的最大值为______. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $