专题01 导数的概念及运算，切线方程，单调性极值最值15个题型归纳（期末复习专项训练）高二数学下学期北师大版

**基本信息** 以导数概念为起点，通过15类题型构建从基础运算到综合应用的完整训练体系，突出知识逻辑的递进性与解题思维的严谨性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数概念与运算|5题|聚焦定义理解与求导法则，含多选辨析|概念生成：从导数定义到运算法则，奠定基础| |切线方程|20题|覆盖在点/过点切线、参数求解、公切线问题|应用拓展：由导数几何意义延伸，连接函数与直线| |单调性与极值最值|35题|含参数讨论、大小比较、不等式求解等重难点|逻辑深化：通过导函数符号分析函数性质，构建判定体系| |三次函数性质|5题|结合图像对称性、零点分布等综合应用|综合提升：以三次函数为载体，整合导数工具解决复杂问题|

专题01 导数的概念及运算，切线方程，单调性极值最值 题型1 导数的概念及其运算 题型9 含参数函数的单调性极值讨论（重难点） 题型2 求在某点处的切线方程（常考点） 题型10 由函数的单调性比较大小（重难点） 题型3 求过某点的切线方程（常考点） 题型11 由函数的单调性解不等式 题型4 由切线方程求参数（常考点） 题型12 由函数的极值极值点求参数（重难点） 题型5 公切线及切线条数问题（重难点） 题型13 由函数的最值求参数 题型6 导函数与原函数的关系 题型14 函数的单调性极值最值综合（重难点） 题型7 求不含参数的函数的单调性极值最值（常考点） 题型15 三次函数的图像与性质（重难点） 题型8 由函数的单调性求参数范围（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数的概念及其运算 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求得答案. 【详解】函数，求导得， 所以. 2．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以. 3．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）（多选）下列求导运算正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由求导法则可判断各选项正误. 【详解】对于A，，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项正确； 对于D，，D选项错误. 4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知函数，则___________． 【答案】 【分析】由导数的定义求解． 【详解】因为，所以， 所以 ． 5．（23-24高二下·湖北·阶段检测）（多选）（多选）下列命题正确的有（     ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】CD 【分析】本题考查了导数的定义、基本求导公式和法则，掌握导数的定义及常见函数的求导方法是解题的关键． 根据导数的定义、求导公式和法则，逐一计算并判断各选项的正确性． 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，若，则，即，故C正确； 对于D，，故，故，故D正确． 故选：CD． 题型二 求在某点处的切线方程 6．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 7．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 8．（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 9．（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 10．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数，则在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】计算，按照直线方程的点斜式求解. 【详解】由题可知：，所以. 则切线方程为：. 故答案为： 题型三 求过某点的切线方程 11．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 12．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 13．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 14．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解； （2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解. 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 15．（22-23高二下·山东菏泽·阶段检测）已知，则函数的图像过点的切线方程为___________. 【答案】或 【分析】根据题意，设切点为，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由可得，， 由导数的几何意义可得，切线的斜率， 因为，所以切线方程为， 将点代入，得， 即，得， 解得或， 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即， 所以切线方程为或. 故答案为：或 题型四 由切线方程求参数 16．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 【答案】 【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值. 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 17．（22-23高三上·山东临沂·期中）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数_________． 【答案】 【分析】利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得. 【详解】令，解得，所以切点为， 将代入切线得. 故答案为： 18．（25-26高二下·西藏昌都·期中）已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 【答案】 【详解】，，， 由，可知，所以， 而，因此. 19．（25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则___________． 【答案】1 【分析】利用切线过点求，求导，利用导数的几何意义求，进而合并求解． 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 20．（25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 【答案】 【分析】根据两直线垂直的关系得到切线斜率，再利用点在的图象上求出，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： 题型五 公切线及切线条数问题 21．（25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 22．（25-26高三上·湖南长沙·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在点的切线方程，再设曲线的切点，利用公切线斜率相等求出，得到切点代入即可求解. 【详解】对求导得：，当时， ， 在点处的切线方程为：, 设曲线的切点为， ，又切点在切线上， ，代入曲线方程得. 故答案为：. 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 24．（24-25高二下·江西·阶段检测）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 25．（24-25高三上·重庆·阶段检测）（多选）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 【答案】BCD 【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论. 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，    显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，    因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上，    若，则两切点都在上，    对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，    由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题关键在于灵活运用数形结合的方法并得出普适性结论. 题型六 导函数与原函数的关系 26．（24-25高二下·山东临沂·期中）（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 【答案】AC 【分析】根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 27．（24-25高二下·新疆和田·阶段检测）（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】根据导数的图象判断区间导数值的符号，进而依次判断各项对应区间中的单调性. 【详解】由图知，在区间上，在区间上， 所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增. 故选：BC 28．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）（多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 【答案】BD 【分析】由导数正负与函数单调性关系明确两曲线所代表的函数图象即可判断AB；利用导数工具结合图象即可分析求解函数的单调性即可判断CD. 【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减， 所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象， 故A错误，B正确； 对于CD，由图可知当时，时， 因为，所以当时，时， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故C错误，D正确. 故选：BD 29．（25-26高二上·河南商丘·期末）（多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 30．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性与导函数间的关系判断即可. 【详解】由图象可得，在上单调递减，故在恒成立，在上是先增后减再增， 故其导函数在上的函数值是先正后负再正，只有D选项符合题意. 题型七 求不含参数的函数的单调性极值最值 31．（2026·陕西商洛·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及最大值． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为；最大值为． 【分析】（1）根据导数的几何意义求斜率，再求切线方程； （2）利用导数求函数的单调区间，再求最值. 【详解】（1）． 因为， ， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为， 令，得，所以的单调递增区间为． 令，得，所以的单调递减区间为． 故的最大值为． 32．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程． (2)求的单调区间． (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)切线方程为； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）先确定函数定义域并求导，利用导数几何意义求切线方程； （2）通过分析导函数符号确定单调区间； （3）比较区间内极值点和端点的函数值得到最值. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. （2）将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点， 计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 33．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程： (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，求出直线的斜率，再由点斜式，即可求解； （2）利用导数与函数单调性的关系，求出在区间上的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为函数，则， 所以，又，所以切线方程为，即. （2）令，即，解得，令，即，解得或， 则在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 又，所以的最小值为， 故函数在上的最大值和最小值分别为5和1. 34．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， ； （2）将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. 35．（25-26高二下·广东肇庆·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图象如下： 由图象可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 题型八 由函数的单调性求参数范围 36．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为 (2) 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 37．（25-26高二下·宁夏·期中）（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】转化为在内有解，然后参变分离即可求解. 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意. 38．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 39．（24-25高二下·四川资阳·阶段检测）（多选）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 40．（2025·陕西汉中·三模）（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 【答案】ABD 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断A选项；取，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；取，结合函数的单调性可判断C选项；利用函数单调性与导数的关系求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，为增函数， 当时，，则函数、均为增函数， 故函数也为增函数， 综上所述，当时，函数单调递增，A对； 对于B选项，取，则，此时， 所以，此时， 函数的定义域为，，即函数为偶函数， 因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且， 此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错； 对于D选项，因为，则， 由题意可知时，函数为增函数， 当时，由题意可知，对任意的，恒成立， 只需，即， 因为，则， 因为，则，所以，即， 所以，可得，解得或， 因为，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对. 故选：ABD. 题型九 含参数函数的单调性极值讨论 41．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【分析】（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程； （2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性． 【详解】（1）当时，，求导得， ，， 在点处的切线方程为，化简得． （2）由，得 ， 的定义域为， 当时：，在区间单调递增； 当时： 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上，当时，在区间单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 42．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）对函数求导，再根据函数奇偶性的定义，即可求解； （2）对函数求导，对的取值进行分类讨论，判断的正负区间，进而可得函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为，由已知得， 因为函数的导函数是奇函数， 所以，即， 解得； （2）由（1）得，. ①当时，可得恒成立，所以当时，函数在上单调递减， ②当时，由得，即， 所以，解得，所以函数在上单调递增， 由可得，即，解得， 所以函数在上单调递减， 所以时，函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 43．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 44．（25-26高二下·北京平谷·期中）设函数． (1)当时，求证：直线是曲线的切线． (2)求的单调区间； 【答案】(1)详见解析； (2)当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为， 的单调递增区间为； 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义求解； （2），注意到，从而可判断导函数的符号只和有关，对的符号分类讨论求解. 【详解】（1）当时，函数 ， 则， 设切点为，令， 即，解得或（舍去）， 又，则切线方程为，即； （2）， 由题知，，则， 所以的符号完全由x确定， 时，定义域为， 故时，，单调递增，当，，单调递减； 时，定义域为， 故时，，单调递增，当，，单调递减； 综上：当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为； 45．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性. 【详解】（1）由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. （2）由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 题型十 由函数的单调性比较大小 46．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 【答案】（1）证明见下详解；（2） 【分析】（1）分别构造两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可对两个不等式作出证明； （2）利用（1）的结论，估计三角函数值并比较大小即可. 【详解】（1）解：设，，则， 又，所以单调递增，即， 所以在单调递增，因此，所以； 再设，，则， ，由，则， 所以， 则单调递减，所以，因此在单调递减， 则，所以，即， 因此，当时，； （2）由（1）知当时，， 取，则， ， 又，所以， 因此. 47．（25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合的大小关系，即可比较的大小. 【详解】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. 48．（2026·甘肃·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别构造函数和，利用导数讨论其单调性可得. 【详解】将用变量x替代，则，，，其中， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，， 所以，使得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，则，则在上单调递增， 则，即，所以， 记，，则，在上单调递增， 又，所以，所以. 综上，. 49．（25-26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小. 【详解】因为，，， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而, 显然，, 所以. 50．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 题型十一 由函数的单调性解不等式 51．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 52．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数导数与函数单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 又因为时， 所以不等式等价于， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为：. 53．（25-26高二下·山东淄博·期中）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造辅助函数，将抽象不等式转化为函数单调性问题，需注意定义域的限制条件. 【详解】构造辅助函数 ，. ∵ ，且已知 ，， ∴ ，即 在 上单调递减. 原不等式成立需先满足函数定义域：，解得 . 由不等式 两边同时除以 ，可得 ， 即 . ∵ 在上单调递减， ∴ ，解得 . 即不等式的解集为 . 【点睛】方法点睛：对于给出 与 大小关系的抽象不等式问题，可根据不等号方向构造对应辅助函数（如本题构造 ），将不等式转化为函数值大小关系，结合函数单调性求解. 54．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的定义域为，其导函数是．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数，，求导可得 所以函数在上单调递增， 易知时，，不等式等价于，即， 在上单调递增，可得， 因为，因此不等式的解集为． 55．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 题型十二 由函数的极值极值点求参数 56．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 57．（25-26高二下·吉林·期中）设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导得，函数有极值只需导函数有变号零点，时导函数为一次函数存在变号零点、有极值，时导函数为二次函数，令判别式解得且，合并得取值范围是. 【详解】函数有极值，首先求导得. 函数有极值的充要条件：导函数有至少一个变号零点. 当时，，是一次函数，有一个变号零点，函数有极值. 当时，是二次函数，需满足判别式，即，化简得，解得. 综上，的取值范围是. 58．（25-26高二下·甘肃金昌·期中）若函数无极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 则没有变号零点，即没有变号零点， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 当时，， 当时，， 当时，的增长速率远远比的要大，所以， 作出的图象，如图所示， 所以． 59．（25-26高二下·四川成都·期中）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得有唯一变号零点，即有唯一解，先讨论时，不满足题意，从而可得，令，进而得直线与函数的图象只有一个交点，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，， 所以，有唯一变号零点， 当时，，不满足题意； 所以， 令，得， 令， 则直线与函数的图象只有一个交点， 又因为， 令，得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 又当时，，当时，， 所以函数在处取极小值，为0；在处取极大值，为， 作出函数、直线的图象，如图所示： 由此可得当时，满足题意； 当时，直线与函数的图象有两个交点， 一个点的横坐标为（此点为直线与函数的切点）， 且在此处不变号； 另一个点的横坐标，在此处变号，满足题意. 综上，. 60．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数 ，若函数在时取得极大值，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极大值的定义，运用二次求导法分类讨论进行求解即可. 【详解】，显然成立. 设， 因为， 所以函数是正实数集上的减函数， 当时，即， 所以当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递减， 因为， 所以存在，使得当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递增， 所以函数在时取得极大值，符合题意； 若当时，即， 当时，，所以在单调递增， 存在，使得当时，，所以在单调递增， 于是有，所以在单调递增， 此时函数在时没有极大值，不符合题意； 当时，，显然成立. 设， 显然函数是正实数集上的减函数，且， 所以当时，，所以在单调递增， 于是有，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递减， 于是有，所以在单调递减， 所以函数在时不是极值点，不符合题意， 综上所述：的取值范围是. 题型十三 由函数的最值求参数 61．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 62．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 63．（25-26高二下·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 64．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知函数在处取得最小值1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“极值点处导数为0和函数值为1”联立方程组，求解参数后通过单调性验证极值类型，最后代入参数值即可求解. 【详解】因为函数在处取得最小值1， 所以在处取得极值，故. 又，所以， 解得. 将代入导数得， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此是的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以. 65．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导讨论参数范围确定存在最小值的条件，利用导数零点关系将双变量的最小值转化为关于零点的单变量函数，求导判断单调性后得到最小值的取值范围. 【详解】对 ，求导得： ， 当时，则，在上单调递增，函数无最小值，舍去； 当时，令，则，所以即在上单调递增， 又，故，在上单调递增，函数无最小值，舍去； 当时，，时，， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故存在唯一极小值点，满足，此时最小值. 由得， 所以， 设，求导化简得 ， 故在单调递减， 且当时，；当时，， 因此，即. 【点睛】本题考查导数研究函数的最值与值域，运用转化化归思想，将双变量问题转化为单变量函数求值域，核心是利用导数分析函数的单调性与极值最值. 题型十四 函数的单调性极值最值综合 66．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数，下列关于的四个命题：①函数在上是增函数；②函数的最小值为0；③如果时，则的最小值为2；④函数有1个零点．其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先对函数求导，根据导数的正负确定函数的单调区间与极值点，再结合函数的单调性、值域、零点判定规则逐一验证四个命题的正确性，即可得解. 【详解】∵ 函数，定义域为，∴ . 分析命题①：当时，，，， 故，等号仅在处取得， ∴ 在上单调递增，命题①正确. 分析命题②：当时， ； 当时，，，故， ∴ 的最小值为，命题②正确. 分析命题③：令，得；令，得或， ∴ 在、上单调递减，在上单调递增， ∴ 的极大值为， 若时，则，即的最小值为，命题③正确. 分析命题④：令，恒成立，，解得， ∴ 仅有个零点，命题④正确. 综上，4个命题均正确，故选D. 67．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合中心对称的坐标性质，将平行四边形存在性问题转化为方程根的个数问题，再通过构造函数利用导数分析单调性与值域，求解参数的取值范围. 【详解】∵ 平行四边形以原点为对称中心， ∴ 若点在的图像上，则其关于原点的对称点也在的图像上，设四个顶点分别为，其中. 当时，，对应对称点为，该点位于的图像上，故满足， 即问题等价于方程在上有两个不同的正实根. 将方程变形得，设，当时，，故在上单调递增. 当时，，，故，，方程无解. 当时，，，结合的单调性，等价于，即. 设，求导得. ∵ 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减. ∴ 的最大值为. 又当时，；当时，， 故要使有两个不同的解，需，即. 【点睛】方法归纳：处理函数图像上存在中心对称点构成几何图形的问题时，优先利用中心对称的坐标性质，将几何问题转化为方程根的个数问题，再通过构造函数结合导数分析单调性、最值求解参数范围. 68．（2026·陕西咸阳·三模）（多选）已知函数，则（   ） A．当时， B．当时，是的极大值点 C．当时，的最小值大于 D．当时， 【答案】CD 【分析】通过换元将原指数函数转化为关于的二次函数，再结合二次函数性质、复合函数单调性、导数法逐一验证每个选项. 【详解】令，则转化为二次函数，逐个分析选项： 对于A：当时，，代入得，A错误； 对于B：当时，开口向上，对称轴， 因此在单调递减，在单调递增， 由于是增函数，复合后在处取极小值，不是极大值，B错误； 对于C：当时，的最小值为， 因为 ，所以最小值大于，C正确； 对于D：当时，要证， 即，整理得，即证， 令，， 当，时，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，故恒成立， 原不等式成立，D正确. 69．（2026·河南·模拟预测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，当时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程；B选项，求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断；C选项，由极值点得，借助分析单调性判断在处取得极大值，从而求出极大值；D选项，讨论在上的符号，当时，单调递增，最小值为，当时，不满足条件，即可进行判断. 【详解】对于A：当时，，所以， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故A正确； 对于B：因为， 令，得或. 当时，不在定义域内，此时只有一个极值点，故B错误； 对于C：因为在处取得极值，所以，即， 所以，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在时取到极大值，极大值为，故C正确； 对于D：，因为，所以只需讨论. 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以最小值为，成立； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以最小值为， 令，即，因为，所以需， 设，则，所以，无解； 当时，，所以，所以在上单调递减， 所以最小值为，令， 则，验证可知不成立，综上，故D正确. 70．（25-26高二下·河北保定·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．，存在极值 C．存在，使得恒成立 D．若在上存在单调递减区间，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A，取的特殊值，结合参数分析的符号，判断是否恒满足，对B，先求的导数，再分析导数的单调性与最值，判断导数是否存在变号零点；对C，将代入表达式化简不等式，转化为判断是否存在实数使得不等式对任意恒成立，分析因式符号判断；对D，将在上存在单调递减区间，转化为在上有解，分离参数后构造新函数求值域，确定的范围. 【详解】由，得 ， 对于A ：对任意实数，指数函数恒成立，因此恒成立， 则 恒成立，A正确； 对于B ：，令，则，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以在处取最小值： ， 若，则，即恒成立， 因此恒成立，单调递增，不存在极值，B错误； 对于C ：由得， 整理得， 取，不等式变为， 时，，则，所以，成立； 时，，则，所以，成立； 即 不等式对所有恒成立，故存在，使得，C正确； 对于D： 在存在单调递减区间，等价于存在使得， 整理得， 令，则，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以最小值为， 因此要存在满足，只需，解得， 即，D正确. 题型十五 三次函数的图像与性质 71．（25-26高二下·福建泉州·期中）（多选）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．函数一定有极值点 B．函数必有对称中心 C．存在唯一一条函数的切线与函数的图象只有一个公共点 D．若函数有3个零点，设，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用三次函数的性质，结合导数及方程思想，即可作出判断. 【详解】已知 ，先求导得 ， 选项A；当 时，恒成立，则是单调递增函数，所以没有极值点，故A错误； 选项B；三次函数必存在对称中心，对称中心为二阶导数为0的点： ， 即对应对称中心为 ，对任意 都存在，因此B正确； 选项C；设切点为 ，则切线方程为：， 整理得：， 由切线与联立方程组可得，， 因式分解整理可得：， 由切线与 只有一个公共点，等价于三个根重合，即 ，解得 ， 仅有唯一解，因此存在唯一一条满足条件的切线，故C正确； 选项D；若 有3个零点，需极大值与极小值异号：由 ，则另一个极值 ，解得 ， 由韦达定理，结合等式， 可得：，，， 则 ， 由 得 ，即，故D正确. 72．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）（多选）定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（    ） A． B．方程有三个根 C．存在，，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 D．若函数在区间上有最大值，则 【答案】ABD 【分析】求出令，结合的对称中心、求出可判断A；令，求出可判断B； 设，转化为使得不等式成立，令，根据在为单调递减函数求出可判断C；利用导数求出极值，再结合图象求出可判断D. 【详解】对于A，，，令， 可得，解得，所以， 再由，解得，故A正确； 对于B，由A知，由， 即 可得，或，解得，或，， 所以方程有三个根，故B正确； 对于C， 设，则， 要使得不等式成立，即成立， 令， 可得在为单调递减函数，即， 可得，令， 由在单调递增， 可得，则实数的取值范围为，故C错误； 对于D， 令，解得，或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得在处有极大值，为， 在处有极小值，为， 且由解得，或， 若函数在区间上有最大值，则， 解得，故D正确. 73．（2026·广西桂林·二模）（多选）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极大值点 C．当时， D．若过点可以作三条直线与的图象相切，则m的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A选项，求导然后判断函数的极值和0的关系即可；B选项，求导，分析函数的单调性，即可区分极大值极小值；C选项，求导，分析函数在时的单调性，即可确定取值范围；D选项，将题目转换成直线和曲线的交点，即求曲线的单调性，分析极大值极小值，让直线介于极大值和极小值之间即可. 【详解】A选项，由，得， 令，解得：或， 所以在上单调递增，单调递减，上单调递增； 因为，，，， 所以有三个零点，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可得：是极小值点，所以B选项错误； C选项，当时，，且函数在区间上单调递减， 且，，故 ，所以C选项正确； D选项，设切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 即. 因为切线经过点，所以， 整理得. 令 ， 则， 令，得或，令，得， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为 ，极大值为， 所以当时，直线与的图象有3个交点， 即当时，过可以作三条直线与图象相切，所以D选项正确. 74．（25-26高二下·云南昭通·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有两个不同零点 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据导数求函数极小值点判断A，分解因式求函数零点判断B，根据单调性判断C，换元后利用单调性求值域判断D． 【详解】因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 因为，所以函数只有0，两个零点，故B正确； 因为当时，，单调递减，且，所以，故C错误； 当时，令，，由A选项知在上递减，在上递增， 所以，又，， 所以，所以，故D正确． 75．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于点成中心对称 B．当时，零点个数是3 C．当时， D．若函数在有最大值，则 【答案】ABD 【分析】对A，验证，利用奇函数定义判断其图象关于原点中心对称；对 B，对因式分解，直接求解方程的实根个数判断；对 C，取特殊值，通过比较与的大小，反证原不等式不成立；对 D：根据三次函数的单调性与极值，结合区间内存在最大值的条件，列出 “极大值点在区间内” 和 “区间内无大于的函数值” 两个不等式求解的范围. 【详解】易知，令得或， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故极大值 ，极小值 . 对于A：当 时，，对任意有，是奇函数，图象关于原点 中心对称，A正确； 对于B：当时，， 由，得或，B正确； 对于C：取，，显然不满足不等式，C错误； 对于D：仅在处取得极大值，且 时 ， 因此区间存在最大值，最大值必为，需满足两个条件： 极大值点 在区间内，即，解得； 区间内不存在函数值大于，解方程，得， 解得或，因此区间右端点满足 ，即 ， 综上，，D正确. $专题01 导数的概念及运算，切线方程，单调性极值最值 题型1 导数的概念及其运算 题型9 含参数函数的单调性极值讨论（重难点） 题型2 求在某点处的切线方程（常考点） 题型10 由函数的单调性比较大小（重难点） 题型3 求过某点的切线方程（常考点） 题型11 由函数的单调性解不等式 题型4 由切线方程求参数（常考点） 题型12 由函数的极值极值点求参数（重难点） 题型5 公切线及切线条数问题（重难点） 题型13 由函数的最值求参数 题型6 导函数与原函数的关系 题型14 函数的单调性极值最值综合（重难点） 题型7 求不含参数的函数的单调性极值最值（常考点） 题型15 三次函数的图像与性质（重难点） 题型8 由函数的单调性求参数范围（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数的概念及其运算 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（25-26高二下·四川眉山·阶段检测）（多选）下列求导运算正确的有（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知函数，则___________． 5．（23-24高二下·湖北·阶段检测）（多选）（多选）下列命题正确的有（     ） A．已知函数在上可导，若，则 B． C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 题型二 求在某点处的切线方程 6．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 7．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 9．（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数，则在点处的切线方程为______． 题型三 求过某点的切线方程 11．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 12．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 15．（22-23高二下·山东菏泽·阶段检测）已知，则函数的图像过点的切线方程为___________. 题型四 由切线方程求参数 16．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 17．（22-23高三上·山东临沂·期中）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数_________． 18．（25-26高二下·西藏昌都·期中）已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 19．（25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则___________． 20．（25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为___________． 题型五 公切线及切线条数问题 21．（25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 22．（25-26高三上·湖南长沙·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______. 24．（24-25高二下·江西·阶段检测）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高三上·重庆·阶段检测）（多选）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 题型六 导函数与原函数的关系 26．（24-25高二下·山东临沂·期中）（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 27．（24-25高二下·新疆和田·阶段检测）（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 28．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）（多选）已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（   ） A．曲线为函数的图象 B．曲线为函数的图象 C．函数在区间上是增函数 D．函数在区间上是减函数 29．（25-26高二上·河南商丘·期末）（多选）设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   30．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型七 求不含参数的函数的单调性极值最值 31．（2026·陕西商洛·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及最大值． 32．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程． (2)求的单调区间． (3)求在区间上的最值． 33．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程： (2)求函数在上的最大值和最小值. 34．（25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 35．（25-26高二下·广东肇庆·期中）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 题型八 由函数的单调性求参数范围 36．（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 37．（25-26高二下·宁夏·期中）（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·四川资阳·阶段检测）（多选）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 40．（2025·陕西汉中·三模）（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 题型九 含参数函数的单调性极值讨论 41．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 42．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 43．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 44．（25-26高二下·北京平谷·期中）设函数． (1)当时，求证：直线是曲线的切线． (2)求的单调区间； 45．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 题型十 由函数的单调性比较大小 46．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）（1）求证：当时，； （2）利用（1）的结论，比较，，的大小. 47．（25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 48．（2026·甘肃·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十一 由函数的单调性解不等式 51．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二下·山东淄博·期中）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知函数的定义域为，其导函数是．若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十二 由函数的极值极值点求参数 56．（2026·陕西渭南·三模）已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 57．（25-26高二下·吉林·期中）设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 58．（25-26高二下·甘肃金昌·期中）若函数无极值点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高二下·四川成都·期中）若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数 ，若函数在时取得极大值，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 题型十三 由函数的最值求参数 61．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 63．（25-26高二下·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 64．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知函数在处取得最小值1，则（    ） A． B． C． D． 65．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知函数，若有最小值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十四 函数的单调性极值最值综合 66．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数，下列关于的四个命题：①函数在上是增函数；②函数的最小值为0；③如果时，则的最小值为2；④函数有1个零点．其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 67．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点为对称中心的平行四边形，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 68．（2026·陕西咸阳·三模）（多选）已知函数，则（   ） A．当时， B．当时，是的极大值点 C．当时，的最小值大于 D．当时， 69．（2026·河南·模拟预测）（多选）已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 70．（25-26高二下·河北保定·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．，存在极值 C．存在，使得恒成立 D．若在上存在单调递减区间，则的取值范围是 题型十五 三次函数的图像与性质 71．（25-26高二下·福建泉州·期中）（多选）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．函数一定有极值点 B．函数必有对称中心 C．存在唯一一条函数的切线与函数的图象只有一个公共点 D．若函数有3个零点，设，则的取值范围为 72．（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）（多选）定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（    ） A． B．方程有三个根 C．存在，，，使得不等式成立，则实数的取值范围为 D．若函数在区间上有最大值，则 73．（2026·广西桂林·二模）（多选）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极大值点 C．当时， D．若过点可以作三条直线与的图象相切，则m的取值范围为 74．（25-26高二下·云南昭通·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有两个不同零点 C．当时， D．当时， 75．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于点成中心对称 B．当时，零点个数是3 C．当时， D．若函数在有最大值，则 $