【中考满分冲刺】2026年内蒙古自治区中考数学巩固提升限时训练（第1-2套）

**基本信息** 聚焦函数与几何综合，通过考点分析提炼解题关键，构建“性质应用-辅助线构造-模型转化”逻辑体系，渗透抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|4题|函数增减性比较、二次函数图象性质|函数性质与图象关系推导| |几何综合|6题|辅助线构造、折叠性质应用|几何图形性质与全等/勾股结合| |实践应用|2题|数学建模|实际问题抽象为函数模型|

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科培优提升限时训练（一） (时间：60分钟 满分：37分) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知点(x1y)x,y)x3y)在反比例函数y=k>0)的图象上，x1>x3>x3,则下列结 论正确的是( ) A.若x1x2<0,则y2>y3 B.若x2x3<0,则y1y3<0 C.若x1x3>0,则y2>y3 D.若x2>0,则y3>0 【考点分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解 题的关键 2.已知抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)过点A(2-m,y1),B(m-6,y2),C(-1,y),若点A 在对称轴右侧，则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y2<y1<y3 B.y2<y3<y1 C.y3<y2<y1D.y3<y1<y3 【考点分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是 解题的关键。 第1页，共8页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在边长为6的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE,AE=DE=5.若F为 BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长为 【考点分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三 角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键。 B 4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanB-,D是AB边上的中点，DE1AB交 BC于点E,O是ED的中点，连接AO并延长交BC于点F若AD=4,则OF的长 为 【考点分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形， 第2页，共8页 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3.(本小题12分)综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》， 生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行 装饰，营造出别样的节日美景. 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B之间的距离为6 米，桥拱最高点C到水面的距离为米 数学建模：如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线的函数表达式： 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5米. ①若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰F(大小忽略不计)，求灯饰F与其水中倒影F'之 间的距离： ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙 型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面DE的距离均为米，请直接写出3盏 灯笼分别与桥拱最高点C的水平距离， y个 C(M) D A 、0 第3页，共8页 4.(本小题13分)问题情境：如图1，在△ABC中(AB>BC),点D在边AB上(AD>BD). 沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，折痕与边BC交于点 E,得到△DB'E,然后展平. (I)猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由： (②)拓展探究：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线 DB'上，折痕与边AC交于点F,展平后连接A'E交边AC于点G,连接A'F. ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由； ②若∠C=90°，AB=I0,BC=6,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接 写出A'F的长. A F D D B D B G 小 C B B C 图1 图2 备用图 第4页，共8页 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科培优提升限时训练（二) (时间：60分钟 满分：37分) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上不与端点 重合的一动点，连接CD,将△ACD沿CD所在直线翻折得对应.FCD,DF交BC于点 E.已知AB=2,当DF1BC时，BE的长为( A月 B.V2-1 c D.V3-V2 2.在矩形ABCD中，已知两条邻边AB与BC的长分别为2和3，若M是边CD的 中点，连接AM,过点B作BH1AM,垂足为H,则BH的长为( ) A.30 B.3y0 C vio 5 5 D.35 5 第5页，共8页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CD边上的一个动点，连接EF,BF 若AB=2,则EF+BF的最小值为· D E B 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,点E在CD边上，将四边形ABCE 沿直线AE翻折，得到四边形AFGE,点B,C的对应点分别为点F,G.当点D恰 好在线段FG上时，线段CE的长为 B 第6页，共8页 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5.(本小题12分) 如图是呼和浩特初三年级某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A,O,N三个 点，且AO=2,在ON上方有五个台阶T1T5(各拐角均为90)，每个台阶的高、宽分 别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+ 12发出一个带光的点P. AO DE衣 (I)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上： (2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高 度为11，求抛物线C的表达式： (3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB⊥x轴，且BE=3.在 △BDE沿x轴左右平移时，必须保证（②）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点) 上，求点B横坐标的取值范围 第7页，共8页 6.(本小题13分)如图，在矩形ABCD中，AB=2AD,点F是边DC上一点，连接AF将 △ADF绕点A顺时针旋转得到△AGE,点D,F的对应点分别是点G,E. A B y G 图 图2 (1)如图-1，若点F是边DC的中点，且点E恰好落在AD的延长线上，连接EF,求 ∠DFE的度数： (2)如图-2，若点E恰好落在CD的延长线上，连接GD,交AE于点H. ①求证：AE垂直平分GD: ②当3GH=4HE时，探究线段AF与线段FC的数量关系. 第8页，共8页 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科培优提升限时训练（一） （时间：60分钟 满分：37分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B  【解析】解：由条件可知反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， A.若，则，由增减性得，，故不符合题意； B.若，则，由增减性得，，，即，故符合题意； C.若，则或，由增减性得，故不符合题意； D.若，则或，由增减性得或，故不符合题意． 故选：． 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可． 本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键． 2.已知抛物线过点，，，若点在对称轴右侧，则，，的大小关系为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 点在对称轴上，为顶点，故最小， 点在对称轴右侧， ，即， 点的横坐标，故在对称轴左侧， 点离对称轴的距离为， 点离对称轴的距离为， ， 点离对称轴更远，故； 综上，； 故选：． 抛物线开口向上，对称轴为直线，点在对称轴上为顶点，值最小；点在对称轴右侧，点在对称轴左侧，且点离对称轴更远，故值最大；然后问题可求解． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在边长为的正方形的外侧，作等腰三角形，若为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为           ． 【答案】  【解析】解：过作的垂线交于，于，于，    ，，  ，  ，  四边形是正方形，  ，  ，  四边形是矩形，  ，  ，  为的中点，  ，  在与中，  ，  ≌，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  故答案为：． 过作的垂线交于，于，于，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，根据正方形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 4.如图，在中，，，是边上的中点，交于点，是的中点，连接并延长交于点若，则的长为         ． 【答案】  【解析】解：过作交于， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， ， ≌， ， ， ． 故答案为：． 过作交于，由平行线等分线段定理推出，由，求出，由勾股定理求出，判定≌，推出，求出，即可得的值． 本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定≌，推出． 三、解答题：本题共2小题，25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5.本小题分 综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，之间的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米 数学建模： 如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米． 若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离； 工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 解：轴垂直平分，， ，，..............................2分 由题意．得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， 得， 解得， ..............................4分 由抛物线的对称性，得， 当时，..............................6分 米， 答：灯饰与其水中倒影之间的距离为米..............................8分 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米， 由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为米， 由得，点与之间的距离为米， 甲型灯笼的悬挂点即为点．..............................10分 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为米， 由得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为米，..............................11分 令， 解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米．..............................12分 因为已知抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，所以可设顶点式来求解函数表达式．因为、和的坐标可由题干数据确定，所以将这些坐标代入顶点式，即可求出参数和的值． 求出点纵坐标，可得点到水面的距离，即可得到点到像点的距离； 因为灯笼底部距离水面的距离为米，所以先确定灯笼底部所在的纵坐标．因为要结合灯笼自身高度，所以可得到灯笼顶部对应的纵坐标，将其代入抛物线表达式，即可求出对应的横坐标，进而得到与点的水平距离． 本题考查二次函数的应用，镜面对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6.本小题分 问题情境：如图，在中，点在边上沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，展平后连接交边于点，连接． 若，判断与的位置关系，并说明理由； 若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 四边形是菱形；证明：沿过点的直线折叠该纸片，折痕与边交于点，得到，   ≌，   ，，，   ，   ，   ，  ...........................2分 ，   ，   ，   四边形是平行四边形，   ，   四边形是菱形...........................4分 (2) 与的位置关系为...........................6分 理由如下：   由知：四边形是菱形，   ，   ，  ...........................8分 沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，      ，   ，   ，   ，   ...........................10分 ，   ，即，   与的位置关系为；...........................11分 的长为或...........................13分 利用折叠的性质得到≌，则，，，利用平行线的性质，菱形的判定定理解答即可；  利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，，利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可；  设与交于点，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质得到，，，设，则，，再利用的代数式表示出线段，，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；当时，，利用类比的方法解答即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，菱形的判定、垂直证明与等腰三角形分类讨论，结合相似三角形与勾股定理求解，分类讨论是解答本题的关键． 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科培优提升限时训练（二） （时间：60分钟 满分：37分） 第I卷（选择题） 1、 选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，等腰直角三角形中，，，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将沿所在直线翻折得对应，交于点已知，当时，的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】首先，根据是等腰直角三角形，，，得，，解得，然后，由折叠的性质得：，得，，接着，证得为等腰直角三角形，得，即，解得，最后，由，即可求得的长． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ，且，， ，解得，  由折叠的性质得：，  ，， ，即， 为等腰直角三角形，， ，即，解得， ，即的长为． 2.在矩形中，已知两条邻边与的长分别为和，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据矩形的性质和题意得，，，根据是边的中点得，根据勾股定理得，根据得，即可得，根据得，根据可得，即可得，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 四边形是矩形，两条邻边与的长分别为和， ，， 是边的中点， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接若，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】作点关于的对称点，连接，则，可得当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 则， ， 当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，， ， 是边的中点， ， ， ， 的最小值为． 4.如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，当点恰好在线段上时，线段的长为           ． 【答案】  【解析】根据矩形及翻折的性质得，，，，，在中，由勾股定理可求出，则，然后在中，由勾股定理可求出，进而可得的长． 此题主要考查了矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， ， 由翻折的性质得：，，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 故答案为： 三、解答题：本题共2小题，25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5.本小题分 如图是呼和浩特初三年级某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点． 求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； 当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求抛物线的表达式； 在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证中沿抛物线下落的点能落在边包括端点上，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)解：如图所示， 由题意台级左边端点，右边端点的坐标， 对于抛物线，令，即：， 解得或6， ∴， ∴点的横坐标为，..............................2分 当时时，， 当时，， 当时，， 解得或， ∴抛物线与台级有交点， ∴点会落在台阶上；.............................4分 (2)解：由题意抛物线经过，最高点的纵坐标为， ∴，..............................6分 解得或（舍去）， ∴抛物线的解析式为，..............................8分 (3)解：对于抛物线， 令，得到， 解得，..............................9分 ∴抛物线交轴的正半轴于， 当时，， 解得或， ∴抛物线经过，..............................10分 在中，，，， ∴当点D与重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为， 当B点与重合时，点B的横坐标最小，最小值为， ∴点横坐标的横坐标的取值范围：．..............................12分 6.本小题分 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． 如图，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； 如图，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． 求证：垂直平分； 当时，探究线段与线段的数量关系． 【解析】解：若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，如图所示： 四边形是矩形， ，， ， ，..............................................2分 是边的中点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，..............................................3分 旋转得到， ， ， ；..............................................4分 如图所示： ， ， 将绕点顺时针旋转得到． ，， 点在线段的垂直平分线上．..............................................6分 在和， ， ≌，..............................................7分 ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分..............................................8分 ．..............................................9分 理由如下： 垂直平分， ， ．..............................................10分 ， ， ． ， ∽，..............................................11分 ， ． 设， ， ， ， ，..............................................12分 旋转得到， ， ． 在中，． 设，则， ， ， 在中，， 当时，则与线段的数量关系．..............................................13分 由矩形性质得到相关边与角，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，然后结合旋转性质得到，最后由等腰三角形的性质即可得到答案； 由角平分线定义、旋转性质得到点在线段的垂直平分线上，再由两个直角三角形全等的判定定理得到≌，结合垂直平分线的判定即可得证； 由垂直平分线性质，结合互余得到，从而由相似三角形的判定确定∽，由相似性质得到，根据条件，设，则有，，，由旋转性质，解直角三角形即可得到答案． 本题考查四边形综合题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科培优提升限时训练（一） （时间：60分钟 满分：37分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【考点分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键 2.已知抛物线过点，，，若点在对称轴右侧，则，，的大小关系为(     ) A. B. C. D. 【考点分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在边长为的正方形的外侧，作等腰三角形，若为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为            ． 【考点分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 4.如图，在中，，，是边上的中点，交于点，是的中点，连接并延长交于点若，则的长为         ． 【考点分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形， 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3.本小题分综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，之间的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米． 若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离； 工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 4.本小题分问题情境：如图，在中，点在边上沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，得到，然后展平． 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究：如图，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，展平后连接交边于点，连接． 若，判断与的位置关系，并说明理由； 若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科培优提升限时训练（二） （时间：60分钟 满分：37分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，等腰直角三角形中，，，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将沿所在直线翻折得对应，交于点已知，当时，的长为(     ) A. B. C. D. 2.在矩形中，已知两条邻边与的长分别为和，若是边的 中点，连接，过点作，垂足为，则的长为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 2、 填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接若，则的最小值为          ． 4.如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形 沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，当点恰 好在线段上时，线段的长为           ． 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5.本小题分 如图是呼和浩特初三年级某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点． 求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上； 当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求抛物线的表达式； 在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证中沿抛物线下落的点能落在边包括端点上，求点横坐标的取值范围． 6.本小题3分如图，在矩形中，，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． 如图，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； 如图，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． 求证：垂直平分； 当时，探究线段与线段的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科培优提升限时训练（一） (时间：60分钟 满分：37分) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知点(&1，y)&,y2),y)在反比例函数y=k>0)的图象上，x1>x2>x3,则下列结 论正确的是( ) A.若x1X2<0,则y2>y3 B.若x2x3<0,则y1y3<0 C.若x1x3>0,则y2>y3 D.若x2>0,则y3>0 【答案】B 【解析】解：由条件可知反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增 大而减小， :X1>X2>X3, A.若x1x2<0,则x3<x2<0<x1,由增减性得y1>0,0>y3>y2,故不符合题意： B.若xX3<0,则x3<0<x2<x1,由增减性得y1>0,y3>0,y3<0,即y1y3<0,故符 合题意； C.若x1x3>0,则x1>x2>x3>0或x3<x2<x1<0,由增减性得y2<y3,故不符合题意： D.若x2>0,则x1>x2>x3>0或x1>X2>0>x3,由增减性得y3>0或y3<0,故不符合 题意. 故选：B. 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可. 本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键. 第1页，共19页 2.已知抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)过点A(2-1m,y1),Bm-6,y2),C(-1,y3),若点A 在对称轴右侧，则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y2<y1<y3 B.y2<y3<y1C.y3<y2<y1 D.y3<y1<y2 【答案】D 【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=一兰=-1，且开口向上， ·点C(-1,y)在对称轴上，为顶点，故y3最小， :点A(2-m,y1)在对称轴右侧， 2-m>-1,即m<3, 点Bm-6,y2)的横坐标m-6<3-6=-3,故在对称轴左侧， 点B离对称轴的距离为m-6-（-1)儿=5-m, 点A离对称轴的距离为2-m-(-1)儿=3-m, :5-m>3-m, 点B离对称轴更远，故y2>y1: 综上，y3<y1<y2 故选：D. 抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1,点C在对称轴上为顶点，y值最小：点A在对 称轴右侧，点B在对称轴左侧，且点B离对称轴更远，故y值最大：然后问题可求解. 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键： 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在边长为6的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE,AE=DE=5.若F为 BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长为. G D 【答案】2v13 第2页，共19页 【解析】解：过E作AD的垂线交AD于M,AG于N,BC于P, CG D AE=DE=5,AD=6, .AM=DM=3, ·ME=√AE2-AMP=V52-32=4, :四边形ABCD是正方形， ·BC//AD, .EP 1 BC, 四边形ABPM是矩形， ..AB//EP, ·∠ABF=∠NEF, F为BE的中点， .BF=EF, 在△ABF与△NEF中， ∠ABF=∠NEF BF=EF ∠AFB=∠NFE △ABF≌△NEF(ASA), EN=AB=6, .MN=EN-ME=6-4=2, ·PM//CD,AM=DM, .AN=NG, .GD=2MN=4, .AG=VAD2+GD2=2V 13, 故答案为：2√13. 第3页，共19页 过E作AD的垂线交AD于M,AG于N,BC于P,根据等腰三角形的性质和勾股定理 可得EM=4,根据正方形的性质得到EP1BC,推出四边形ABPM是矩形，得到AB∥ EP,根据全等三角形的性质得到EN=AB=6,根据勾股定理即可得到结论， 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,tanB=,D是AB边上的中点，DE1AB交 BC于点E,O是ED的中点，连接AO并延长交BC于点F若AD=4,则OF的长 为 【答案】 【解析】解：过D作DM/BC交AF于M, :D是AB的中点， .BD=AD=4, ·AM=FM, DE⊥AB, ·∠BDE=90°， anB一是-受-号 DE=3, O是DE的中点， OD=OE=DE- A0=VAD2+OD=万， 2 ·DM/BC, ·.∠MDO=∠OEF,∠OMD=∠OFE, OD=OE, △ODM≌△OEF(AAS), .OM=OF, ÷OM=MF=AM, ·OM=A0=万 6 故答案为： 6 第4页，共19页 过D作DMBC交AF于M,由平行线等分线段定理推出AM=FM,由amB-品-子 求出DE=3,由勾股定理求出AO=T,判定△ODM≌△OEF(AAS),推出OM=OP, 求出OM=A0=万，即可得OF的值. 本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定△ODM≌ △OEF(AAS),推出OM=OF, 三、解答题：本题共2小题，25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5.(本小题12分) 综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了 小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造 出别样的节日美景 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B之间的距离为6米，桥拱最高 点C到水面的距离为米。 数学建模： 如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线的函数表达式： 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5米， ①若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰F(大小忽略不计)，求灯饰F与其水中倒影F'之 间的距离： ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为品米，另外2盏乙 0 型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面DE的距离均为米，请直接写出3盏 灯笼分别与桥拱最高点C的水平距离： 解：(1)y轴垂直平分AB,AB=6, C(M A(-3,0),B(3,0),2分 D B 第5页，共19页 由题意.得C(0,) 设该抛物线的函数表达式为y=ax2+k(a≠0)，将(3,0)，(0，)代入， (9a+k=0 得号 解得 a1 5 六y三-xX2+号(-3≤X≤34分 (②)①由抛物线的对称性，得x= 当x=时，y=-x2+-品 5206分 号-)×2=米)， 答：灯饰F与其水中倒影F'之间的距离为米8分 ②乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为2米， 甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0米， 由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到D卫的距离为号+（米）， 由①得，点C与DB之间的距离为-品-C米)， 甲型灯笼的悬挂点即为点C.10分 “甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0米： 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到D卫的距离为+一（米）， 由①得，DE与AB之间的距离为号米， ÷该悬挂点到AB的距离为++号-易（米)，11分 令yx2+=品 15201 解得x=或x=-, 乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米.l2分 (1)因为己知抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，所以可设顶点式y=ax2+k来求解 第6页，共19页 函数表达式.因为A、B和C的坐标可由题干数据确定，所以将这些坐标代入顶点式， 即可求出参数a和k的值. (2)①求出点E纵坐标，可得点F到水面DE的距离，即可得到点F到像点'的距离： ②因为灯笼底部距离水面DE的距离为米，所以先确定灯笼底部所在的纵坐标.因为要 结合灯笼自身高度，所以可得到灯笼顶部对应的纵坐标，将其代入抛物线表达式，即可 求出对应的横坐标，进而得到与C点的水平距离. 本题考查二次函数的应用，镜面对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 6.(本小题13分) 问题情境：如图1，在△ABC中(AB>BC,点D在边AB上(AD>BD).沿过点D的直线 折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，折痕与边BC交于点E,得到 △DB'E,然后展平 (I)猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由； (2)拓展探究：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线 DB'上，折痕与边AC交于点F,展平后连接A'E交边AC于点G,连接A'F. ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并说明理由： ②若∠C=90°，AB=10,BC=6,当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接 写出A'F的长. D A B D G B 图1 图2 备用图 (I)四边形BDB'E是菱形；证明：沿过点D的直线折叠该纸片，折痕与边BC交于点 E,得到△DB'E, 第7页，共19页 △BDE≌△B'DE, ·.DB=DB',EB=EB',∠BDE=∠B'DE, DB'//BC, ∠B'DE=∠BED, ·∠BED=∠BDE, 2分 .BE=BD, .BE=DB', BE//DB', 四边形BDB'E是平行四边形， DB=DB′， .四边形BDB′E是菱形4分 (②)①DE与A′E的位置关系为DE上A′E6分 理由如下： 由(I)知：四边形BDB'E是菱形， .BD=B'D=B'E, ∠B'DE=∠B'ED, 8分 :沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上， ..AD=A'D. AD=2BD, ..A'D=2BD, ..A'B=BD, A'B=B′E, ∠B'EA′=∠B′A'E10分 第8页，共19页 ∠B′DE+∠B′ED+∠B'EA'+∠B′A'E=180°， ·∠B′ED+∠B′EA'=90°，即∠DEA'=90°， ·DE与A′E的位置关系为DE1A′E;11分 ②A'F的长为或”13分 (I)利用折叠的性质得到△BDE≌△B'DE,则DB=DB',EB=EB',∠BDE= ∠B'DE,利用平行线的性质，菱形的判定定理解答即可； (2)①利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到∠B'DE=∠B'ED,∠B'EA= ∠B'AE,利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可： ②设A'D与AC交于点H,利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当A'F= FG时，利用直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质得到AC=√AB?-BC?=8, m∠A=照=n∠RAB'=m∠A-设F阳H=3k,则A'=k,A'H=,再 利用k的代数式表示出线段CG,CE,最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出 结论；当A'F=A'G=5k时，FH=HG=3k,利用类比的方法解答即可. 本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，菱形的判定、垂直证明与等腰三角形 分类讨论，结合相似三角形与勾股定理求解，分类讨论是解答本题的关键。 第9页，共19页 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科培优提升限时训练（二) (时间：60分钟 满分：37分) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上不与端点重 合的一动点，连接CD,将△ACD沿CD所在直线翻折得对应.FCD,DF交BC于点E. 已知AB=2,当DF1BC时，BE的长为( A月 B.V2-1 c D.V3-V2 【答案】B 【解析】首先，根据aABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=2,得∠A=∠B= 45°，2BC2=4,解得BC=V2,然后，由折叠的性质得：△ACD兰△FCD,得∠F= ∠A=45°，CF=AC=V2,接着，证得aFCE为等腰直角三角形，得FE2+CE2=CF2, 即2CE2=(V②，解得CE=1,最后，由BE=BC-CE,即可求得BE的长. 【详解】解：：aABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=2, .AC2+BC2=AB2,且AC=BC,∠A=∠B=45°， “2BC2=4,解得BC=V2, 由折叠的性质得：△ACD兰△FCD, ·∠F=∠A=45°，CF=AC=V2, :DF⊥BC,即∠FEC=90, ·△FCE为等腰直角三角形，FE=CE, “FE2+CE2=CF2,即2CE2=(V2),解得CE=1, 第10页，共19页 ·BE=BC-CE=V2-1,即BE的长为V2-1. 2.在矩形ABCD中，已知两条邻边AB与BC的长分别为2和3，若M是边CD的中点， 连接AM,过点B作BH L AM,垂足为H,则BH的长为() M B A.30 B.310 2 5 C.V1o D.5 5 5 【答案】B 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据矩形的性质和题意得 AB=CD=2,BC=AD=3,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，根据M是边CD 的中点得DM=CM=1,根据勾股定理得AM=√1O,根据BH1AM得∠BHA=90°， 即可得∠BAH+∠ABH=90°，根据∠BAD=∠BAH+∠ABH=90°得∠ABH=∠DAM,根 据∠AHB=∠D=90可得△ADM BHA,即可得，掌握相似三角形的判定与性质，矩 形的性质是解题的关键. 【详解】解：如图所示， M B 四边形ABCD是矩形，两条邻边AB与BC的长分别为2和3， ·.AB=CD=2,BC=AD=3,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° :M是边CD的中点， .DM=CM=1, 在Rt△ADM中，根据勾股定理得AM=VAD2+DMP=V12+3=√IO, :BH⊥AM, 第11页，共19页 ∠BHA=90°， ∠BAH+∠ABH=90°， ∠BAD=∠BAH+ABH=90°， ∴.∠ABH=∠DAM, .∠AHB=∠D=90°， △ADM△BHA, ..AD=AM BH AB' 3√10 B五2 BH=3V10 5 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。 3.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CD边上的一个动点，连接EF,BF 若AB=2,则EF+BF的最小值为 D E 【答案】√13 【解析】作点E关于CD的对称点Q,连接DQ,FQ,BQ,则DE=DQ,FQ=EF,可得当 点B,F,Q三点共线时，EF+BF取得最小值，最小值为BQ的长，即可. 【详解】解：如图，作点E关于CD的对称点Q,连接DQ,FQ,BQ, 则DE=DQ,FQ=EF, 第12页，共19页 D B .EF+BF=FQ+BF≥BQ, 当点B,F,Q三点共线时，EF+BF取得最小值，最小值为BQ的长， 在正方形ABCD中，：AB=2, AD=AB=2,∠BAD=90°， :E是边AD的中点， “DQ=DE=AD=1, AQ=3, ·BQ=√AB2+AQ2=V13, :EF+BF的最小值为V13 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,点E在CD边上，将四边形ABCE沿直线 AE翻折，得到四边形AFGE,点B,C的对应点分别为点F,G.当点D恰好在线段FG 上时，线段CE的长为 B- 【答案】1.5 【解析】根据矩形及翻折的性质得AF=AB=4,EG=CE=a,FG=BC=5,∠F= ∠B=90°，∠G=∠C=90°，在RtADF中，由勾股定理可求出DF=3,则DG=2,然 后在Rt DEG中，由勾股定理可求出a=1.5,进而可得CE的长. 第13页，共19页 此题主要考查了矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，图形的 翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键. 【详解】解：：四边形是矩形，AB=4,BC=5, ·CD=AB=4,AD=BC=5, 设CE=a, .DE=CD-CE=4-a, 由翻折的性质得：AF=AB=4,EG=CE=a,FG=BC=5,∠F=∠B=90°，∠G= ∠C=90°， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=VAD2-AF=V52-4=3, .DG=FG-DF=5-3=2, 在Rt*DEG中，由勾股定理得：DE2=DG+EG, .(4-a)2=22+a2, 解得：a=1.5, CE=a=1.5. 故答案为：1.5. 三、解答题：本题共2小题，25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5.(本小题12分) 如图是呼和浩特初三年级某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A,O,N三个 点，且AO=2,在ON上方有五个台阶T1~T5(各拐角均为90)，每个台阶的高、宽分 别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+ 12发出一个带光的点P. AO N DE (1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上： 第14页，共19页 (2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高 度为11，求抛物线C的表达式： (3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB1x轴，且BE=3在 △BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点) 上，求点B横坐标的取值范围. 【答案】(1)解：如图所示， M AO 由题意T4台级左边端点T(4.5,7),右边端点的坐标(6,7)， 对于抛物线y=-x2+4x+12,令y=0,即：0=-x2+4x+12, 解得x=-2或6， ∴.A(-2,0), .点A的横坐标为一2，…2分 当时x=4.5时，y=9.75>7, 当x=6时，y=0<7, 当y=7时，7=-x2+4x+12, 解得x=-1或5， ∴.抛物线与T4台级有交点(5,7)， .点会落在T4台阶上；4分 (2)解：由题意抛物线y=-x2+bx+c经过(5,7)，最高点的纵坐标为11， （-4c-b=11 5+5wre- ’6分 解符巴8或吧<舍去)· 第15页，共19页 ∴.抛物线的解析式为y=一x2+14X一38,8分 (3)解：对于抛物线y=-x2+14x-38, 令y=0,得到0=-x2+14x-38, 解得X=7士VTI,9分 .抛物线交轴的正半轴于(7+√11,0)， 当y=3时，3=-x2+14x-38, 解得x=7+√2或7-V2, ∴.抛物线经过(7十√2,3)，10分 在Rt*BDE中，∠DEB=90°，DE=1,BE=3, ∴.当点D与(7+V11,0)重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+√1I, 当B点与(7+√2,3)重合时，点B的横坐标最小，最小值为7+√2， .点横坐标的横坐标的取值范围：7+V2≤X≤8+√I.12分 6.(本小题13分) 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD,点F是边DC上一点，连接AF将△ADF绕点A顺 时针旋转得到△AGE,点D,F的对应点分别是点G,E. A B A B 图1 图2 (I)如图-1，若点F是边DC的中点，且点E恰好落在AD的延长线上，连接EF,求 ∠DFE的度数： (2)如图-2，若点E恰好落在CD的延长线上，连接GD,交AE于点H. ①求证：AE垂直平分GD: ②当3GH=4HE时，探究线段AF与线段F℃的数量关系. 第16页，共19页 【解析】解：(1)若点F是边DC的中点，且点E恰好落在AD的延长线上，如图所示： :四边形ABCD是矩形， ·∠ADC=90°，AB=DC, AB=2AD, .DC=2AD, 2分 :F是边DC的中点， .DC=2DF, ·.2AD=2DF, .AD=DF, :∠ADF=90°， ·△ADF是等腰直角三角形， ∠DAF=∠DFA=45°，3分 ·旋转得到△AGE, .AF=AE, .∠AEF=∠AFE=67.5, ∠DFE=∠AFE-∠DFA=67.5o-45o=22.5:4分 (2)①如图所示： 0 ∠ADF=90°， ·∠ADE=90°， ·将△ADF绕点A顺时针旋转得到△AGE. .AG=AD,∠AGE=ADF=90°， ·点A在线段GD的垂直平分线上. 6分 第17页，共19页 在Rt△AGE和Rt△ADF, (AE=AF AG-AD .Rt△ADF≌Rt△AGE(HL),m7分 .GE=DF, ·点E在线段GD的垂直平分线上， AE垂直平分GD.8分 ②AF=FC.9分 理由如下： :AE垂直平分GD, ∠AHG=∠GHE=90°， ·∠HGA+∠HAG=90°. .10分 ∠AGE=90°， ·∠HAG+∠HEG=90°， ·∠HGA=∠HEG. '∠AHG=∠GHE, △AHG∽△HGE, 11分 G亞一HA' .GH2=HE.HA. 设HE=3, .3GH=4HE, GH=4, HA- 六tan∠EAG=9=4=3 HA4)12分 △ADF旋转得到△AGE, ·∠FAD=∠EAG, stan∠PAD=ta∠EAG=月 在Rt△ADF中，tanzFAD=DF=3 第18页，共19页 设DF=3a,则AD=4a, .DC=2AD=8a, .FC=DC-DF=5a, 在Rt△ADF中，AF=VAD2+DF2=5a, .当3GH=4HE时，则AF与线段FC的数量关系AF=FC. 13分 (1)由矩形性质得到相关边与角，再由等腰直角三角形的判定与性质得到∠DAF=∠DFA= 45°，然后结合旋转性质得到AF=AE,最后由等腰三角形的性质即可得到答案： (2)①由角平分线定义、旋转性质得到点A在线段GD的垂直平分线上，再由两个直角三 角形全等的判定定理得到Rt△AGE≌Rt△ADF(HL,结合垂直平分线的判定即可得 证： ②由垂直平分线性质，结合互余得到∠HGA=∠HEG,从而由相似三角形的判定确定 △AHG∽△HGE,由相似性质得到GH=HE·HA,根据条件，设HE=3,则有 GH=4,队=亭器=？血旋转任质，解直角三角形即可得到答案。 本题考查四边形综合题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关 键是掌握相关知识的灵活运用. 第19页，共19页