第2章 培优进阶2 指、对、幂的大小比较(高考超重点)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指对幂大小比较这一高考核心考点，围绕指数对数互化、函数单调性等关键知识，按直接法（单调性、中间值、特殊值）、运算性质法、构造函数法系统梳理，通过技法讲解、典例分析、真题演练等环节，帮助学生构建解题框架，突破比较难点。 资料突出数学思维与数学语言融合，如构造函数f(x)=x/(lnx)比较对数大小，结合特殊值法验证结论，设置分层练习（对点练、课时测评），培养学生逻辑推理和运算能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

培优进阶2　指、对、幂的大小比较(高考超重点) 　　指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点之一，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点题型，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质，一般以选择题或填空题的形式出现. 技法一　直接法比较大小 角度1　利用函数单调性法比较大小 (1)已知＞＞1，a＝nn，b＝nm，c＝mn，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＞a＞b B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.a＞b＞c (2)已知a＝log23，b＝log46，c＝log89，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜b＜a D.b＜c＜a 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题意＞＞1，故0＜m＜n＜1，由指数函数的单调性，y＝nx单调递减，故b＞a，由幂函数的单调性，y＝xn在(0，＋∞)上单调递增，故a＞c，综上，b＞a＞c.故选B. (2)由于b＝log46＝log2，c＝log89＝log2，又因为3＞＞，且函数y＝log2x为增函数，所以c＜b＜a.故选C. 角度2　利用中间值法比较大小 (1)设a＝20.7，b＝，c＝log2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.c＜b＜a (2)已知a＝log32，b＝log52，c＝3a－1，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意知，a＝20.7＞20＝1，b＝＝3－0.7＜30＝1，又b＞0，所以0＜b＜1，c＝log2＜0，所以c＜b＜a.故选D. (2)由题意知，c＝3a－1＝×＝，b＝log52＜log5＝，a＝log32＞log3＝.又23＜32，则2＜，a＝log32＜log3＝，所以b＜a＜c.故选B. 学生用书⬇第54页 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是(　　) A.ac＜bc B.abc＜bac C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc 答案：C 解析：取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，所以ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，所以abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.故选C. 1.若底数相同，指数不同时，一般选用指数函数进行比较；若指数相同，底数不同时，一般选用幂函数进行比较；若底数相同，真数不同时，一般选用对数函数进行比较. 2.当底数、指数、真数等都不相同时，通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较.也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22＜log23＜log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的数，从而便于比较. 对点练1.已知a＝1.60.7，b＝1.60.8，c＝0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＜a＜b B.a＜b＜c C.b＞c＞a D.a＞b＞c 答案：A 解析：y＝1.6x是增函数，故a＝1.60.7＜b＝1.60.8，而1.60.7＞1＞c＝0.70.8，故c＜a＜b.故选A. 对点练2.设a＝log32，b＝log96，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.b＞c＞a D.b＞a＞c 答案：D 解析：因为b＝log96＝lo)2＝log3，且c＝＝log3.又＜2＜，函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，则log3＜log32＜log3，所以c＜a＜b.故选D. 对点练3.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 答案：B 解析：因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3＜0＜0.3，所以0＜4.2－0.3＜4.20＜4.20.3，所以0＜4.2－0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b.因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0＜0.2＜1，所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0，所以b＞a＞c.故选B. 技法二　指数、对数及幂的运算性质法比较大小 (1)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞a＞b (2)已知a＝log63，b＝log84，c＝lg 5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为a＝log34＝，b＝log45＝，c＝log56＝，所以a－b＝－＝.因为lg 3lg 5＜＝＜＝＝，所以－lg 3lg 5＞0，lg 3lg 4＞0，所以a－b＞0，即a＞b，同理可证b＞c，故a＞b＞c.故选A. (2)由题意知，a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，c＝lg 5＝lg ＝1－lg 2＝1－.因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜log26＜log28＜log210，则＞＞，故1－＜1－＜1－，所以a＜b＜c.故选D. 　　若待比较大小的式子或值，底数、指数、真数均不相同，且不能找到中间量，可考虑利用比较法：通过作差与0的比较来判断两数的大小，有时需要变形后(如平方变形后等)作差，而且作差后为判断差的符号，需要借助基本不等式等工具；通过作商与1的比较来判断两数的大小应注意作商的前提是参与作商的式子均为同号. 对点练4.已知x＝6log643，y＝log364，z＝log83，则x，y，z的大小关系为(　　) A.x＞y＞z B.z＞x＞y C.y＞z＞x D.y＞x＞z 答案：A 解析：x＝6log643＝log23＝log23＞0，y＝log364＝log34＝＞0，z＝log83＝log23＞0.由＝＝()2＞1，所以y＞z.由＝＝()2，而log23＞log22＝，则＞()2＞1，所以x＞y.综上，x＞y＞z.故选A. 技法三　构造函数法比较大小 (1)(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.y＞x＞z D.y＞z＞x (2)已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x＞y＞z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x，D有可能.故选B. 法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f(t)，y＝3t－3＝g(t)，z＝5t－5＝h(t)，在同一平面直角坐标系中画出函数f(t)，g(t)，h(t)的图象.由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y.故选B. (2)构造函数f(x)＝，x≥e，则f'(x)＝≥0恒成立，所以函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增.又a＝f，b＝3log3e＝＝f(3)，c＝＝f(5)，因为e＜3＜5，所以f(e)＜f(3)＜f(5)，所以a＜b＜c.故选D. 构造函数比较大小的方法 1.同构思想：若待比较的式子或数中具有相同的结构形式或者在适当变形后具有相同的结构形式，常将式子或数中相同部分看作变量x，通过灵活构造函数并利用函数的单调性，巧妙比较大小. 2.常见方法：(1)直接或根据变形后的关系式构造函数；(2)将待求的式子或数变形后构造函数. 对点练5.设＝log2a，2b＝lob，＝5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＜a＜c B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.b＜c＜a 答案：B 解析：构造函数f(x)＝log2x－，因为函数y＝log2x，y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，且f(1)＝－＜0，f(2)＝＞0.因为f(a)＝0，由零点存在定理可知1＜a＜2；构造函数g(x)＝2x－lox，因为函数y＝2x，y＝－lox在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数g(x)为(0，＋∞)上的增函数，且g＝－2＜0，g＝－1＞0，因为g(b)＝0，由零点存在定理可知＜b＜.因为＝5，则c＝lo5＜lo1＝0，因此c＜b＜a.故选B. 对点练6.设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小关系为(　　) A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＝＝ 答案：B 解析：由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，可得x＝2k＞2，y＝3k＞3，z＝5k＞5.所以＝2k－1＞1，＝3k－1＞1，＝5k－1＞1，令f(x)＝xk－1，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜f(3)＜f(5)，即＜＜.故选B. 课时分层测评16　指、对、幂的大小比较 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.已知a＝0.，b＝log8，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＜a＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 答案：A 解析：由于y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜0.＜，即0＜a＜c.由于y＝log8x是(0，＋∞)上的增函数，则log8＜log81＝0，所以b＜0，所以b＜a＜c.故选A. 2.已知a＝20.3，b＝30.2，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞c＞a B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 答案：D 解析：根据题意，b＝30.2＝90.1＞80.1＝20.3＝a＞1，c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，所以b＞a＞c.故选D. 3.若a＝(，b＝log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞c＞b B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.c＞b＞a 答案：A 解析：易知y＝在(0，＋∞)上单调递增，则(＝＞＝，即a＞c.而由y＝3x，y＝ex均为增函数，得＞30＝1，＞e0＝1，即a＞c＞1.又y＝log3x为增函数，故1＝log33＞log3e＝b，则a＞c＞1＞b.故选A. 4.(2025·江苏南京二模)已知a＝log23，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.c＜b＜a D.b＜c＜a 答案：D 解析：a＝log23＞log22＝1，由32＞23，得3＞，则log23＞log2＝，即a＞c＞1；b＝log43＜log44＝1，所以b＜c＜a.故选D. 5.(2025·浙江金华十校二模)已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＜b＜a B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.a＜b＜c 答案：D 解析：由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.则＝＝×＝×＝＝＜1，所以a＜b；则＝＝×＝×＝＝＜1，所以b＜c.所以a＜b＜c.故选D. 6.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A.3y＜2x＜5z B.2x＜3y＜5z C.3y＜5z＜2x D.5z＜2x＜3y 答案：A 解析：令2x＝3y＝5z＝k(k＞1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝·＝＞1，则2x＞3y，＝·＝＜1，则2x＜5z，所以3y＜2x＜5z.故选A. 【教师备选】　若3x＝4y＝10，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为(　　) A.x＞y＞z B.y＞x＞z C.z＞x＞y D.x＞z＞y 答案：A 解析：因为3x＝4y＝10，所以x＝log310＞log39＝2，1＝log44＜y＝log410＜log416＝2，则1＜y＜2，所以x＞y＞1，而z＝logxy＜logxx＝1，所以x＞y＞z.故选A. 7.(多选)已知x＞y＞0，则(　　) A.log2(x2＋1)＞log2(y2＋1) B.cos x＞cos y C.(x＋1)3＞(y＋1)3 D.e－x＋1＞e－y＋1 答案：AC 解析：对于A，由x＞y＞0，得x2＋1＞y2＋1，又f(t)＝log2t是增函数，所以log2(x2＋1)＞log2(y2＋1)，故A正确；对于B，由于g(t)＝cos t在(0，＋∞)上不单调，所以cos x与cos y的大小关系无法确定，故B错误；对于C，由x＞y，得x＋1＞y＋1，又h(t)＝t3是增函数，所以(x＋1)3＞(y＋1)3，故C正确；对于D，由x＞y，得－x＋1＜－y＋1，又φ(t)＝et是增函数，所以e－x＋1＜e－y＋1，故D错误.故选AC. 8.(多选)设a＝ln 4，b＝lg 4，c＝20.6，则(　　) A.b＞a B.c＞a C.a－b＞ab D.a＋b＞ab 答案：BD 解析：因为a＝ln 4＞ln e＝1，b＝lg 4＜lg 10＝1，所以b＜a，故A错误；因为42＜e3，所以ln 42＜ln e3，即ln 4＜，又＝，(20.6)5＝()5＝8＝＞()5，所以＜20.6，则ln 4＜20.6，即a＜c，故B正确；因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝－lg 4－＝，而lg(4e)＞1，lg 4＞0，lg e＞0，所以a－b－ab＜0，即a－b＜ab，故C错误；由a＋b－ab＝＋lg 4－·lg 4＝lg 4·＞0，所以a＋b＞ab，故D正确.故选BD. 9.已知a＝2－1.1，b＝lo，c＝log23，则a，b，c的大小关系为　　　　(按从小到大顺序). 答案：a＜b＜c 解析：因为a＝2－1.1＜2－1＝，b＝lo＝log43＞log42＝，且b＝lo＝log43＜1，c＝log23＞log22＝1，故a＜b＜c. 10.已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，则a，b，c从小到大的关系为　　　　. 答案：a＜c＜b 解析：由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k＜1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，由图可知：a＜c＜b. (每小题5分，共20分) 11.已知a＝，b＝，c＝4，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 答案：D 解析：先比较a和c的大小：＝＝π2，＝＝＝.因为＜＝2＜π，所以＜π2，所以a＞c.然后比较b和c的大小：因为b2＝＝2π＜24＝42＝c2，所以b＜c，综上，b＜c＜a.故选D. 12.已知a＝log32，b＝log64，c＝log96，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.a＞c＞b 答案：B 解析：当a＞b＞0，m＞0时，有a－b＞0，则－＝＝＞0，所以＜.所以＜＝＜＝，所以log32＜log64＜log96，即c＞b＞a.故选B. 13.(多选)已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是(　　) A.lg a＞lg b B.a＋b＝ab C.＞ D.a＋b＞4 答案：ABD 解析：由题意得a＝log315＞log31＝0，b＝log515＞log51＝0，0＜＝log153，0＜＝log155，则0＜＜，则a＞b＞0.对于A，根据对数函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，则lg a＞lg b，故A正确；对于B，因为＋＝log153＋log155＝1，即＝1，则a＋b＝ab，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，根据指数函数y＝在R上单调递减，则＜，故C错误；对于D，因为a＞b＞0，＋＝1，a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，而显然a≠b，则a＋b＞4，故D正确.故选ABD. 14.(多选)(2025·河南九师联盟二模)已知b＞a＞1＞c＞0，则(　　) A.ca＞cb B.bc＞ac C.＞ D.b＋＞a＋ 答案：ABD 解析：对于A，因为y＝cx(0＜c＜1)是减函数，而b＞a，所以ca＞cb，故A正确；对于B，因为y＝xc(0＜c＜1)在上单调递增，而b＞a＞0，所以bc＞ac，故B正确；对于C，－＝，因为b＞0，ln c＜0，b－a＞0，所以＜0，即＜，故C错误；对于D，－＝，因为b－a＞0，ab－c＞0，ab＞0，所以＞0，即b＋＞a＋，故D正确.故选ABD. (每小题5分，共10分) 15.已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln 2.14，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞b＞a 答案：C 解析：构造函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，如图所示，当x∈(2，4)时，x2＞2x，所以f(2.1)＞g(2.1)，所以2.12＞＞22＝4，即b＞a.又因为ln 2.14＝4ln 2.1，且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln 2.1＜ln e＝1，即ln 2.14＝4ln 2.1＜4ln e＝4，故b＞a＞c.故选C. 【教师备选】　已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系为(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a 答案：B 解析：c＝930＝360，a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，所以lg b＞lg a＞lg c，即b＞a＞c.故选B. 16.设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜a＜b 答案：B 解析：因为＝e2.6＜e3＜33，＝28＞33，所以e1.3＜2，所以a＜0；b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1).令f(x)＝2－2－ln x，所以f'(x)＝－＝，所以当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝0，所以f(1.1)＞0，即2－2－ln 1.1＞0，所以c＜b，又c＝2ln 1.1＞2ln 1＝0，所以a＜c＜b.故选B. 学生用书⬇第55页 学科网（北京）股份有限公司 $