第2章 第13讲 对数函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义围绕对数函数专题，依据课程标准梳理概念、图象性质及反函数等核心考点，按“概念-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过自测诊断、考点分角度讲解（图象应用、性质应用、综合问题）、对点练等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出数学眼光与思维的培养，如通过描点法探究对数函数图象特征，结合真题分析比较大小的推理方法，培养抽象能力与逻辑推理。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第13讲　对数函数 【课程标准】　1.通过具体实例，了解对数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　3.知道对数函数y＝logax与指数函数互为反函数y＝ax(a＞0，且a≠1). 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象和性质 项目 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [微提醒]　y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x＝0的右侧. 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线y＝x对称. 【常用结论】 　对数函数图象的特点 　(1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y＝logax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象，则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 【自测诊断】 1.(链接人教A必修一P133例3)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a 答案：A 解析：因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2＜π＜，所以c＞b＞1.又a＝log32＜1，所以a＜b＜c.故选A. 2.已知函数y＝loga－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　　　. 答案：(4，－1) 3.(链接人教A必修一P140习题4.4T1)函数y＝的定义域是　　　　. 答案： 解析：由lo(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1.所以函数y＝. 4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝　　　　. 答案：log2x 解析：由题意得，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1).因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，所以f(x)＝log2x. 考点一　对数函数的图象及应用 师生共研 (1)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝lox的图象可能是(　　) 学生用书⬇第52页 (2)已知函数f(x)＝｜log2x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝　　　　. 答案：(1)B　(2)4 解析：(1)因为lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，所以ab＝1，所以a＝，所以g(x)＝lox＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝lox互为反函数，所以函数f(x)＝ax与g(x)＝lox的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.故选B. (2)f(x)＝｜log2x｜的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，所以0＜a＜1，b＞1且ab＝1，所以a2＜a，当a2≤x≤b时，由图知，f(x)max＝f(a2)＝｜log2a2｜＝－2log2a＝2，所以a＝，所以b＝2.所以＋b＝4. 对数函数图象的识别及应用 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 注意：对于函数f(x)＝｜logax｜(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)，则必有mn＝1.[属于等高线问题，第15讲重点讲] 对点练1.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A.0＜a－1＜b＜1 B.0＜b＜＜1 C.0＜b－1＜a＜1 D.0＜a－1＜b－1＜1 答案：A 解析：由函数图象可知，f(x)为增函数，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab).由函数图象可知－1＜logab＜0，解得＜b＜1.综上0＜＜b＜1.故选A. 对点练2.已知函数f(x)＝｜log3x｜，若a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A.[2，＋∞) B.(2，＋∞) C.[5，＋∞) D.(5，＋∞) 答案：D 解析：画出f(x)＝｜log3x｜的图象如图所示，因为a＜b，且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0＜a＜1.令y＝a＋4b，所以y＝a＋.由对勾函数的性质可知y＝a＋在(0，1)上单调递减，故y＝a＋＞1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞).故选D. 考点二　对数函数的性质及应用　 多维探究 角度1　比较对数值的大小 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 【溯源教材6】 溯源 (人教A必修一P133例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5；(2)lo1.8，lo2.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1). 透视 本高考题是教材例题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形比较的过程中应用了函数的单调性 预测 设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a 答案：D 解析：a＝log23＝log2＝1＋log2＝1＋，b＝log812＝log8＝1＋log8＝1＋，c＝lg 15＝log10(10×)＝1＋log10＝1＋.因为0＜2＜lo8＜10，所以a＞b＞c.故选D. (2)(多选)若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中可能成立的是(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b 答案：(1)A　(2)BCD 解析：(1)因为a＝log323＜log39＝＝c，b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b.故选A. (2)由loga2＜logb2＜logc2，可知a，b，c有如下四种可能：①1＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a＜1.作出函数的图象(如图所示). 由图象可知B、C、D可能成立.故选BCD. 角度2　解简单的对数方程或不等式 (1)若log2(x－1)＝2－log2(x＋1)，则x＝　　　　. (2)已知函数f(x)＝则不等式－3)＜4f(log2x)的解集为　　　　. 答案：(1)　(2)(，8) 解析：(1)原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x＞1，所以x＝. (2)当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增.当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增.所以f(x)在R上是增函数，且4f(x)＝f(2x)，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8. 1.比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 2.求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 注意：有些对数型不等式也可用数形结合法解决. 学生用书⬇第53页 对点练3.若lo0.8＜lo0.8＜0，则x1与x2的关系正确的是(　　) A.0＜x2＜x1＜1 B.0＜x1＜x2＜1 C.1＜x1＜x2 D.1＜x2＜x1 答案：C 解析：因为lo0.8＜lo0.8＜0，所以log0.8x2＜log0.8x1＜0＝log0.81.又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减，所以1＜x1＜x2.故选C. 对点练4.(1)不等式logx(x＋2)＞1的解集为　　　　　　　. (2)若loga＜loga，则关于x的不等式loga(2x－3)＞0的解集为　　　　　　　. (3)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)＜0的解集为　　　　　　　. 答案：(1)(1，＋∞)　(2)(2，＋∞)　(3)(0，1)∪(2，＋∞) 解析：(1)logx(x＋2)＞1⇔①或②，①无解，②的解为x＞1，所以x＞1. (2)因为loga＜loga，当0＜a＜1时，则有＞，无解；当a＞1时，则有＜，解得a＞1，所以a＞1，所以由loga(2x－3)＞0，得2x－3＞1，x＞2. (3)f(x)＝log2x－x＋1的定义域是(0，＋∞)，f(1)＝log21－1＋1＝0，f(2)＝log22－2＋1＝0.由f(x)＜0可得log2x＜x－1，即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方， 画出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图，由图可知，不等式f(x)＜0的解集为(0，1)∪(2，＋∞). 考点三　对数型函数的综合问题 师生共研 (多选)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a)，下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域是R，则实数a的取值范围是(－4，0) B.若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞) C.若a＝2，则f(x)的单调递减区间是(－∞，－1) D.若f(x)在(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是 答案：ABD 解析：对于A，x2＋ax－a＞0对任意x∈R恒成立，即Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0，故A正确；对于B，x2＋ax－a≤0有解，因此Δ＝a2＋4a≥0，解得a≤－4或a≥0，故B正确；对于C，当a＝2时，f(x)＝lg(x2＋2x－2)，由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3＞0得x＜－1－或x＞－1＋，根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(－∞，－1－)，故C错误；对于D，f(x)在(－2，－1)上单调递减，则解得a≤，故D正确.故选ABD. 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 1.遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论. 2.底数与1的大小关系. 3.复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 对点练5.(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0，2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 答案：BC 解析：对于A，函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0＜x＜4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，故A错误；对于B，f(x)＝log2(4x－x2)(0＜x＜4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B正确；对于C，因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，故C正确；对于D，因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故D错误.故选BC. 【教师备选】　(多选)关于函数f(x)＝lg，下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域是(－1，1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0，1)上单调递增 答案：ACD 解析：对于A，因为f(x)＝lg＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f(x)的定义域是(－1，1)，故A正确；对于B、C，因为f(－x)＝lg ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；对于D，因为y＝－1在(0，1)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg在(0，1)上单调递增，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $