专题9.1 随机抽样、统计图表（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题9.1 随机抽样、统计图表（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解获取数据的基本途径 (2)会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样 (3)能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 随机抽样 统计图表 新课标Ⅱ卷：第4题，5分 全国二卷：第15题（1），6分 命题规律分析 1、随机抽样、统计图表 随机抽样、统计图表是统计的基础知识，也是统计中的重要工具。从近三年的高考情况来看，高考对随机抽样的考查较少；高考对统计图表的考查形式和难度比较稳定，较少单独考查，往往与中位数、平均数、方差等结合考查，多以选择题的形式出现，难度不大；有时统计图表会作为条件信息在解答题中出现，与其他知识结合考查，综合性强，需要灵活求解。 考点1 随机抽样 知识点1 随机抽样 1．总体、个体、样本 名称 定义 总体 调查对象的全体. 个体 从总体中抽取的那部分个体. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 3．两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 4．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 5．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又， 所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 考点2 统计图表 知识点2 统计图表 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差； 第二步，决定组距与组数； 第三步，将数据分组：通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间； 第四步，列频率分布表：计算各小组的频率，作出频率分布表； 第五步，画频率分布直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 3．统计图表的主要应用 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例. (2)折线图：描述数据随时间的变化趋势. (3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. 【方法技巧与总结】 1．利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等. 2．在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，样本平均数为，则. 3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆. 【题型1 简单随机抽样】 【例1】（2026·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【答案】A 【解题思路】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【解答过程】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据简单随机抽样的等可能性，即可判断和选择. 【解答过程】总体有10个个体，从中抽取第一个，若为，则其可能性为，若不为，则其可能性为； 抽取第二个，若其为，则第一次一定不是，再从9个个体中抽取1个，且为，则其可能性为. 综上所述，某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是. 故选：A. 【变式1-2】（2026·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（    ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A．51 B．25 C．32 D．12 【答案】A 【解题思路】根据给定信息，利用随机数表抽样法规则，依次写出前6个符合要求的编号即可. 【解答过程】依题意，前6个编号依次为：31，32，43，25，12，51， 所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【答案】C 【解题思路】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【解答过程】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 故选：C. 【题型2 分层随机抽样及其应用】 【例2】（2026·山东·二模）某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（    ） A．90 B．120 C．180 D．200 【答案】D 【解题思路】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【解答过程】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 【变式2-1】（2026·云南·一模）在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（   ） A．160 B．190 C．220 D．250 【答案】A 【解题思路】根据分层抽样结合样本数量计算求解. 【解答过程】根据题意得，黄色皱粒豌豆所占总体比例为，所以样本量． 故选：A． 【变式2-2】（2026·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出三个不同选课组合的学生的人数的比列，总体平均分需用各组合的平均分乘以对应比列后相加即可. 【解答过程】因为三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60， 所以三个不同选课组合的学生的人数的比列分别为：， 所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为. 故选：C. 【变式2-3】（2026·云南昆明·一模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【解答过程】记总样本的平均数为，则， 所以总样本的方差， 所以估计该校高三年级学生体重的方差为． 故选：C． 【题型3 统计图表】 【例3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（    ）    A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省 B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长 C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个 D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元 【答案】D 【解题思路】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【解答过程】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；. 故D项不正确. 故选：D. 【变式3-1】（2026·山东济南·一模）某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（    ） A．34 B．46 C．50 D．70 【答案】C 【解题思路】根据给定的扇形统计图求出购买的侧柏数量，再按各年级报名人数比求解作答. 【解答过程】由扇形统计图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为， 依题意，高一、高二、高三分到的侧柏的棵数比为：， 所以高三年级应分得侧柏的数量为. 故选：C. 【变式3-2】（2026·宁夏石嘴山·三模）下图1是2020-2024年国内生产总值及其增长速度，图2是2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1，图2，以下描述不正确的是（    ） A．2022年第二产业增加值较2021年有所减少 B．2020-2024年国内生产总值呈逐年增长的趋势 C．2022年与2024年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落 D．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为 【答案】A 【解题思路】根据给定的柱状图及折线图逐项分析判断即可. 【解答过程】对于A，结合图1图2知，2021年第二产业的增加值为：亿元； 2022年第二产业的增加值为：亿元， 而，因此2022年第二产业增加值较2021年有所增加，A错误； 对于B，由图1可以看出柱状图逐年增高，则2020-2024年国内生产总值呈逐年增长的趋势，B正确； 对于C，由图1可以看出折线在2022年与2024年处与上一年连线的斜率小于0，C正确； 对于D，由图2可以得出2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%， 最小值为：52.8%，所以极差，D正确； 故选：A. 【变式3-3】（2026·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（    ） A．10 B．20 C．25 D．40 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解. 【解答过程】由图甲可知抽取的高中生人数是， 又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人． 故选：B． 【题型4 频率分布直方图的频数、频率、样本容量】 【例4】（2026·云南玉溪·二模）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据频率分布直方图的性质计算即可求解. 【解答过程】已知的频率为，组距为，因此，解得. 又因为所有组频率和为，因此， 代入，计算得 ，则， 因此，. 故选：A． 【变式4-1】（2026·四川成都·一模）某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】C 【解题思路】根据频率分布直方图中数据求出成绩在的频率，再用频率乘以总人数1000求得结果． 【解答过程】根据题意，成绩在区间的频率为， 则估计成绩在区间的人数为：人， 故选：C. 【变式4-2】（2026·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 【答案】D 【解题思路】由频率分布直方图求出、，即可得解. 【解答过程】由频率分布直方图可得，， 所以. 故选：D. 【变式4-3】（2026·天津·一模）某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A． B．成绩在的频数为50 C．成绩中位数在内 D．成绩平均数在内 【答案】D 【解题思路】对于A，由频率分布直方图的性质列方程，能求出；对于B，由频率分布直方图得成绩落在的参赛学生的频率，再求频数即可判断；对于C，由频率分布直方图得的频率为，的频率为，确定成绩的中位数所在区间即可判断；对于D，求出成绩的平均分即可判断． 【解答过程】对于A，由频率分布直方图的性质得： ，解得，故A正确； 对于B，由频率分布直方图得成绩在的参赛学生的频率为， 成绩在的参赛学生的频数为，故B正确； 对于C，由频率分布直方图得： 的频率为， 的频率为， 成绩的中位数位于内，故C正确； 对于D，成绩的平均分为： ， 成绩的平均分落在内，故D错误． 故选：D． 一、单选题 1．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设男生人数为，女生人数为，由题设可得女生及格人数，据此可得答案. 【解答过程】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. 故选：D． 2．（2026·上海·模拟预测）下列调查中，适合采用抽样调查的是（     ） A．调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B．虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查上海市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【解题思路】根据抽样调查的特点，它适用于总体较大、全面调查不经济或不现实的情况，分析选项即可. 【解答过程】对于A，调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况，总体较小（仅30人），容易进行全面调查，不适合抽样调查，故A错误； 对于B，安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查，故B错误； 对于C，飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造成安全事件，不适合抽样调查，故C错误； 对于D，调查对象是全市范围的中学生，总体较大，适合抽样调查，故D正确. 故选：D． 3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（   ） A．200，24 B．200，28 C．100，24 D．100，28 【答案】D 【解题思路】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【解答过程】样本量为， 抽取的初中生人数为， 所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为. 故选：D. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【解题思路】根据统计估计计算求解. 【解答过程】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 故选：B． 5．（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【解题思路】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【解答过程】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程， 解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即. 所以D不正确. 故选：D． 6．（25-26高二下·陕西西安·期中）某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（   ） A．29 B．81 C．120 D．160 【答案】C 【解题思路】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【解答过程】设女员工的平均体重为，方差为，男员工的平均体重为，方差为，则， 所以所抽取的所有员工的平均体重为， 所以所抽取的所有员工的体重的方差为： . 故选：C． 7．（25-26高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【解题思路】A选项，利用极差的定义得到答案；B选项，先求出，比较频率得到众数为1；C选项，求出观看比赛不低于4场的学生所占百分比，进而求出学生约为220人；D选项，计算出观看比赛不超过2场的学生频率，进而判断D选项. 【解答过程】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 8．（2026·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 【答案】C 【解题思路】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C. 【解答过程】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本. 则抽取男生的样本量为，A选项错误； 男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19， 则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误； 抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确； 估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误； 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 【答案】BD 【解题思路】对于A，利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可判断；对于B，利用频率、频数以及样本总容量的关系可判断；对C，计算出样本中支出在的频率，结合分层抽样可判断；对D，根据百分位数的定义计算. 【解答过程】对于A，样本中支出在元的频率为，故A错误； 对于B，由A知，故B正确； 对于C，样本支出在的频率为，则在中共需抽出人，故C错误； 对于D因为样本中支出在的频率为，所以第75百分位数位于区间内，记为， 则，解得，所以第75百分位数大约是52元，故D正确. 故选：BD. 10．（2026·重庆·一模）某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：      研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（  ） A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 【答案】AD 【解题思路】选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可. 【解答过程】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为，则数学学科抽取人数为人，故A正确； 对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为，则男性科研人员被抽到的人数为人，故选项B错误. 对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，选项C错误； 对于选项D: 若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故选项D正确； 故选：AD. 11．（2026·安徽安庆·二模）某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（    ） A．样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B．按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C．水费支出的中位数的估计值为45 D．若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 【答案】BD 【解题思路】根据频率之和为1即可求解A,根据抽样比即可求解B,根据中位数的计算即可求解C,根据二项分布的期望公式即可求解D. 【解答过程】因，所以样本中支出在的频率为A错误； ，B正确： 因，中位数的估计值为，C错误； 记抽出的5户中一季度水费支出位于区间的用户数为，根据题意可知，D正确. 故选:BD. 三、填空题 12．（2025·上海闵行·一模）某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是___________. 【答案】 【解题思路】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，即可求解. 【解答过程】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 故答案为：. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为___________. 【答案】 【解题思路】先根据频率分布直方图和频率的定义，计算出总人数，再求得第三组的人数，进而可得第三组中有疗效的人数. 【解答过程】由题可知，样本总数为， 则第三组的人数为， 又第三组中没有疗效的有人，则有疗效的人数为人. 故答案为：. 14．（2026·甘肃白银·模拟预测）为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中A校、B校、C校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知A，B，C三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为__________分. 【答案】67.1 【解题思路】利用平均数的求解公式可得答案. 【解答过程】由分层抽样的平均数计算可得总样本1000名同学物理成绩的总平均分为 分. 故答案为：67.1. 四、解答题 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 【答案】(1)，众数为，平均数为 (2)人 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，根据最高矩形底边中点估计众数，利用各组中点值乘以频率之和估计平均数； （2）计算日平均费用不超过元的频率，再乘以总人数即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得， ， 解得. 由图可知，最高矩形的组为，故众数的估计值为该组底边的中点值，即. 平均数为： 故，众数为，平均数为. （2）由频率分布直方图可知，午餐日平均费用不超过元的频率为： . 已知该公司共有名职员， 则估计该公司午餐日平均费用不超过元的职员人数为： （人）. 故估计该公司有名职员午餐日平均费用不超过元. 16．（25-26高一下·广东佛山·期末）读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； (3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 【答案】(1)，平均每周课外阅读时长为小时； (2)人； (3)小时． 【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，结合频率分布直方图的平均数的计算公式，求得平均每周课外阅读时长； （2）求得课外阅读时长在和的频率分别为和，结合分层抽样的方法，即可求解； （3）根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【解答过程】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 可得， 则平均每周课外阅读时长（小时）. （2）解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为， 其中课外阅读时长在的频率为， 若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人. （3）解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为， 前4个矩形的面积之和为， 设第分位数位于，设第分位数为，则， 所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时. 17．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)（i）无关；（ii） 【解题思路】（1）根据分层抽样的概念，进行计算求解； （2）（i）计算，根据独立性检验的知识即可得解； （ii）根据题意，从16人中随机抽4人，为其中男生数，服从超几何分布，即可得解. 【解答过程】（1）分层抽样：男生360人，女生180人，比例． 男生抽30人，则女生抽15人，则． （2）（i） 因为，故在置信水平下无显著关联． （ii）样本，按总体比例（男生女生）， 则样本中男生人，女生人． 选物理74人中女生18人，则选物理男生人． 则选历史男生人，选历史女生人． 从16人中随机抽4人，为其中男生数，服从超几何分布， 则． 18．（2026·安徽芜湖·模拟预测）为了解高三年级学生的体育成绩情况（满分分，及格分为不低于分的整数，成绩均为不低于分的整数），随机选取名学生的体育成绩作为样本，将成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)从样本中随机抽取一份体育成绩，已知该成绩是及格的，求成绩在的概率； (3)从样本在的体育成绩中随机抽取份成绩作进一步分析，记抽取的成绩在中的个数为，求最大时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)4 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的基本性质计算求解； （2）记体育成绩合格为事件，成绩在内为事件，结合频率直方图的性质求出，再利用条件概率公式计算求解； （3）利用概率数列的单调性，采用相邻两项比值法找峰值，进而求出最大时的值． 【解答过程】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，组距为， ， 故 ，解得． （2）记体育成绩合格为事件，成绩在内为事件， 由频率直方图可知，， 故， ． （3）成绩在的频率，人数， 成绩在：频率，人数， 样本中体育成绩在的共有个， 从中抽取的份成绩中，有个成绩在的概率为， 令 ， ， 时，取得最大． 19．（2026·河南驻马店·模拟预测）随着网络经济的发展，直播带货的形式越来越受居民的欢迎，它不仅能助力中小商家，使农产品直达消费者，降低流通成本，还能激活消费需求，带动产业链发展，催生主播孵化、供应链服务等新就业形式.某直播平台为了了解该平台店铺每天的直播时长与店铺美誉度的关系，从该平台3190家店铺中随机选择了290家，得到日均直播时长（单位：小时）与店铺美誉度结果的数据如下表所示： 店铺美誉度 日均直播时长/小时 五星好评 39 68 58 22 13 非五星好评 29 34 17 8 2 (1)估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有多少家？ (2)从日均直播时长在，，三个组的店铺中，采用分层随机抽样的方法抽出了8家店铺，现从这8家店铺中随机抽取3家，记日均直播时长在内的店铺个数为X，求X的分布列和期望； (3)根据小概率值的独立性检验，分析该平台店铺获得五星好评是否与日均直播时长在内有关. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)家 (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望 (3)依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断该平台店铺获得五星好评与日均直播时长在内有关. 【解题思路】（1）根据样本估计总体知识可求出日均直播时长少于4小时的店铺数； （2）利用超几何分布知识计算日均直播时长在内的店铺个数X分布列和期望； （3）利用独立性检验知识判断平台店铺获得五星好评与日均直播时长在内有无关联. 【解答过程】（1）由表可知，样本中直播时长少于4小时的店铺共有 家， 样本容量为290，则时长少于4小时的频率为， 估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有：家. （2）日均直播时长在，，三个组的店铺数分别为：，，， 三组店铺总数为家，采用分层随机抽样抽取8家，抽样比为， 故三组抽取的店铺数分别为5，2，1； 从这8家店铺中随机抽取3家，其中时长内的店铺个数为5家，另外两个时长的店铺数为3家， 的可能取值为，，，； 由超几何分布知识得；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 （3）根据题意，构成列联表如下： 日均直播时长在 日均直播时长不在 合计 五星好评 80 120 200 非五星好评 25 65 90 合计 105 185 290 由公式得 ， 因为，根据小概率值的独立性检验， 故没有充分证据推断该平台店铺获得五星好评与日均直播时长在内有关. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 随机抽样、统计图表（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解获取数据的基本途径 (2)会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样 (3)能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 随机抽样 统计图表 新课标Ⅱ卷：第4题，5分 全国二卷：第15题（1），6分 命题规律分析 1、随机抽样、统计图表 随机抽样、统计图表是统计的基础知识，也是统计中的重要工具。从近三年的高考情况来看，高考对随机抽样的考查较少；高考对统计图表的考查形式和难度比较稳定，较少单独考查，往往与中位数、平均数、方差等结合考查，多以选择题的形式出现，难度不大；有时统计图表会作为条件信息在解答题中出现，与其他知识结合考查，综合性强，需要灵活求解。 考点1 随机抽样 知识点1 随机抽样 1．总体、个体、样本 名称 定义 总体 调查对象的全体. 个体 从总体中抽取的那部分个体. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 3．两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 4．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (2)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 5．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又， 所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 考点2 统计图表 知识点2 统计图表 1．频率分布直方图 (1)频率分布表与频率分布直方图的意义 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数. 有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据. (2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差； 第二步，决定组距与组数； 第三步，将数据分组：通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间； 第四步，列频率分布表：计算各小组的频率，作出频率分布表； 第五步，画频率分布直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 3．统计图表的主要应用 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例. (2)折线图：描述数据随时间的变化趋势. (3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. 【方法技巧与总结】 1．利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等. 2．在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，样本平均数为，则. 3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆. 【题型1 简单随机抽样】 【例1】（2026·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2026·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（    ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A．51 B．25 C．32 D．12 【变式1-3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（    ） A．2800 B．1800 C．1400 D．1200 【题型2 分层随机抽样及其应用】 【例2】（2026·山东·二模）某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（    ） A．90 B．120 C．180 D．200 【变式2-1】（2026·云南·一模）在孟德尔两对相对性状的豌豆杂交实验中，子二代豌豆性状表现型及理论比例为：黄色圆粒：黄色皱粒：绿色圆粒：绿色皱粒．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽取n粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30粒，则样本量n应为（   ） A．160 B．190 C．220 D．250 【变式2-2】（2026·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·云南昆明·一模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 【题型3 统计图表】 【例3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（    ）    A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省 B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长 C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个 D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元 【变式3-1】（2026·山东济南·一模）某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（    ） A．34 B．46 C．50 D．70 【变式3-2】（2026·宁夏石嘴山·三模）下图1是2020-2024年国内生产总值及其增长速度，图2是2020-2024年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1，图2，以下描述不正确的是（    ） A．2022年第二产业增加值较2021年有所减少 B．2020-2024年国内生产总值呈逐年增长的趋势 C．2022年与2024年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落 D．2020-2024年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为 【变式3-3】（2026·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（    ） A．10 B．20 C．25 D．40 【题型4 频率分布直方图的频数、频率、样本容量】 【例4】（2026·云南玉溪·二模）为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2026·四川成都·一模）某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（规定满分为100分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（    ） A．100 B．200 C．300 D．400 【变式4-2】（2026·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 【变式4-3】（2026·天津·一模）某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A． B．成绩在的频数为50 C．成绩中位数在内 D．成绩平均数在内 一、单选题 1．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·模拟预测）下列调查中，适合采用抽样调查的是（     ） A．调查某中学高一（1）班30名同学的视力情况 B．虹桥高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查上海市中学生的周末作业完成时间 3．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（   ） A．200，24 B．200，28 C．100，24 D．100，28 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 5．（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 6．（25-26高二下·陕西西安·期中）某公司为了调查员工的健康状况，用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，若样本中有21名男员工，39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；男员工的平均体重为70kg，标准差为4，则所抽取的所有员工的体重的方差为（   ） A．29 B．81 C．120 D．160 7．（25-26高一下·贵州黔南·期末）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为100的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 8．（2026·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（    ） A．抽取男生的样本量为40 B．估计该校高三学生身高的均值为165 C．抽样时女生甲被抽到的概率为 D．估计该校高三学生身高的方差为19 二、多选题 9．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是（    ） A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 10．（2026·重庆·一模）某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：      研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（  ） A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 11．（2026·安徽安庆·二模）某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（    ） A．样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B．按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C．水费支出的中位数的估计值为45 D．若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 三、填空题 12．（2025·上海闵行·一模）某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是___________. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为___________. 14．（2026·甘肃白银·模拟预测）为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中A校、B校、C校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知A，B，C三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为__________分. 四、解答题 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 16．（25-26高一下·广东佛山·期末）读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； (3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 17．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 18．（2026·安徽芜湖·模拟预测）为了解高三年级学生的体育成绩情况（满分分，及格分为不低于分的整数，成绩均为不低于分的整数），随机选取名学生的体育成绩作为样本，将成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)从样本中随机抽取一份体育成绩，已知该成绩是及格的，求成绩在的概率； (3)从样本在的体育成绩中随机抽取份成绩作进一步分析，记抽取的成绩在中的个数为，求最大时的值． 19．（2026·河南驻马店·模拟预测）随着网络经济的发展，直播带货的形式越来越受居民的欢迎，它不仅能助力中小商家，使农产品直达消费者，降低流通成本，还能激活消费需求，带动产业链发展，催生主播孵化、供应链服务等新就业形式.某直播平台为了了解该平台店铺每天的直播时长与店铺美誉度的关系，从该平台3190家店铺中随机选择了290家，得到日均直播时长（单位：小时）与店铺美誉度结果的数据如下表所示： 店铺美誉度 日均直播时长/小时 五星好评 39 68 58 22 13 非五星好评 29 34 17 8 2 (1)估计该平台3190家店铺中日均直播时长少于4小时的店铺有多少家？ (2)从日均直播时长在，，三个组的店铺中，采用分层随机抽样的方法抽出了8家店铺，现从这8家店铺中随机抽取3家，记日均直播时长在内的店铺个数为X，求X的分布列和期望； (3)根据小概率值的独立性检验，分析该平台店铺获得五星好评是否与日均直播时长在内有关. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $