第2章 第10讲 幂函数与几类常见的特殊函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义围绕幂函数及一次分式、对勾、飘带、高斯、狄利克雷等特殊函数，按定义-图象-性质-应用逻辑梳理考点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破函数性质应用难点。 讲义采用多维探究与分层练习结合的教学策略，如对勾函数单调性证明及变式应用，培养学生数学思维与模型观念，设置自测诊断和对点练保障复习效果，助力教师把控节奏，提升学生函数综合应用与应考能力。

第10讲　幂函数与几类常见的特殊函数 【课程标准】　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.　2.了解一次分式函数、对勾函数、飘带函数、新定义函数(高斯函数、狄利克雷函数)的图象与性质. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 R {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增　 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增　 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.一次分式函数 (1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 (3)性质 ①定义域：；值域； ②对称中心：； ③渐近线方程：x＝－和y＝； ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减； 当ad＜bc时，函数在区间和(－，＋∞)上分别单调递增. 3.对勾函数、飘带函数 对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0) 图象 定义域 {x｜x≠0} {x｜x≠0} 学生用书⬇第41页 单调性 单增区间：(－∞，－)，(，＋∞)； 单减区间：(－，0)，(0， ) 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 渐近线 y＝ax和x＝0 y＝ax和x＝0 说明 关注人A必修一P92：探究函数y＝x＋的图象与性质 关注人A必修一P101 T12：试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象 4.高斯函数、狄利克雷函数 高斯函数 狄利克雷函数 解析式 y＝[x] (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又叫取整函数) D(x)＝ 图象 无法画出函数的图象，但其图象客观存在 定义域 R R 值域 Z {0，1} 性质 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 奇偶性：偶函数； 周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期 说明 关注人A必修一P74 T13：函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，3]时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图象 【常用结论】 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质. (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限. 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与极值点可利用基本不等式求得. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的有(　　) A.函数y＝2是幂函数 B.当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数 C.当n是偶数时，幂函数y＝(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数 D.函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞) 答案：BC 2.(链接人教A必修一P91练习T1)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　 ) 答案：C 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝，所以y＝，其定义域是[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项知C正确.故选C. 3.(链接人教A必修一P91练习T2)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＞b＞c D.b＜c＜a 答案：B 解析：由a＝，b＝，c＝，得a＝，b＝，c＝.因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且＜＜，所以＜＜，即c＜a＜b.故选B. 4.函数f(x)＝的图象的对称中心为　　　　. 答案：(－2，1) 解析：f(x)＝＝＝1－，故其图象的对称中心为点(－2，1). 学生用书⬇第42页 考点一　幂函数的图象和性质 自主练透 1.已知幂函数f(x)＝(3m2－7m－5)是定义域上的奇函数，则m＝(　　) A.－或3 B.3 C. D.－ 答案：D 解析：由函数f(x)＝(3m2－7m－5)是幂函数，得3m2－7m－5＝1，解得m＝3或m＝－，当m＝3时，f(x)＝x2是R上的偶函数，不符合题意；当m＝－时，f(x)＝＝是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，符合题意，所以m＝－.故选D. 2.如图所示是函数y＝(m，n∈N*且互质)的图象，则(　　) A.m，n是奇数，且＜1 B.m是偶数，n是奇数，且＞1 C.m是偶数，n是奇数，且＜1 D.m，n是偶数，且＞1 答案：C 解析：函数y＝＝的图象关于y轴对称，故m为偶数，n为奇数，当x∈(0，1)时，y＝的图象在y＝x的图象的上方，当x∈(1，＋∞)时，y＝的图象在y＝x的图象的下方，故＜1.故选C. 3.若(m＋1＜(3－2m，则实数m的取值范围是(　　) A.(，) 　B.(－∞，－1) C.(－∞，－1)∪(，) 　D.⌀ 答案：C 解析：分三种情况考虑：①＜m＜；②此时无解； ③解得m＜－1.综上可得，m∈(－∞，－1)∪(，).故选C. 4.(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(16，4)，则下列说法正确的有(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.当x＞1时，f(x)＞1 D.当0＜x1＜x2时，＜f() 答案：BCD 解析：幂函数f(x)＝xα的图象经过点(16，4)，所以16α＝4，解得α＝，所以f(x)＝＝.所以f(x)的定义域是[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且是增函数.当x＞1时，f(x)＞f(1)＝1.画出f(x)在[0，＋∞)上的图象，如图所示.由图象知，当0＜x1＜x2时，＜f().故选BCD. 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点二　一次分式函数 师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：(1)f(x)＝＝＝a＋， 所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 由题意得a＝3. (2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线， 由一次分式函数的性质知， 当且仅当2－2a＞0， 即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 故实数a的取值范围是(－∞，1). [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变设问)已知条件(1)不变，则函数g(x)＝f(sin x＋1)的值域为　　　　. 答案：［－1，］ 解析：当a＝3时，f(x)＝＝3－，所以g(x)＝f(sin x＋1)＝3－.由于－1≤sin x≤1，所以1≤sin x＋2≤3，≤≤1，于是－4≤≤－，所以－1≤3－≤，所以函数g(x)的值域为［－1，］. 2.(变设问)已知条件(1)不变，则函数f(2 025)＋f(2 026)＋f(－2 027)＋f(－2 028)＝　　　　. 答案：12 解析：由于f(x)＝3－，所以函数f(x)关于(－1，3)对称，所以f(x)＋f(－2－x)＝6，于是f(2 025)＋f(－2 027)＝6，f(2 026)＋f(－2 028)＝6，所以f(2 025)＋f(2 026)＋f(－2 027)＋f(－2 028)＝12. 一次分式函数的应用技巧 1.一次分式函数的图象是中心对称的双曲线，所以要善于利用其对称性、渐近线等性质解决问题. 2.熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧. 3.善于运用换元的方法将相关函数转化为一次分式函数，从而解决问题. 学生用书⬇第43页 对点练1.已知函数f(x)＝的定义域是{x｜x∈R，x≠－3}. (1)求函数f(x)的值域； (2)若f(x)在(－∞，b)上单调递增，求实数b的取值范围. 解：依题意知，函数f(x)的定义域是{x｜x∈R，x≠－3}，所以a＝3. (1)因为f(x)＝＝＝2＋，由于≠0，所以2＋≠2， 因此函数的值域为{y｜y∈R，y≠2}. (2)因为f(x)＝2＋，所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞). 又因为f(x)在区间(－∞，b)上单调递增，所以b≤－3，即b的取值范围是(－∞，－3]. 考点三　几类常见的特殊函数 多维探究 角度1　对勾函数与飘带函数 (一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P86T8) (1)根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增. (2)讨论函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的单调性. (3)讨论函数y＝x＋(k＞0)在区间(0，＋∞)上的单调性. 解：(1)∀x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2，有y1－y2＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1x2－9). 由x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2， 所以x1－x2＜0，x1x2＞9，x1x2－9＞0. 于是(x1x2－9)＜0，即y1＜y2. 所以函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增. (2)设y＝f(x)，x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) (1－). ①任取x1，x2∈[3，＋∞)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞9， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以y＝f(x)在区间[3，＋∞)上单调递增； ②任取x1，x2∈(0，3)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，0＜x1x2＜9， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以y＝f(x)在区间(0，3)上单调递减. 故函数y＝x＋在区间(0，3)上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增. (3)设y＝f(x)，x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－). ①任取x1，x2∈[，＋∞)，且x1＜x2， 则x1－x2＜0，x1x2＞k，所以f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，所以y＝f(x)在区间[，＋∞)上单调递增； ②任取x1，x2∈(0，)，且x1＜x2， 则x1－x2＜0，0＜x1x2＜k，所以f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，所以y＝f(x)在区间(0，)上单调递减； 故函数y＝x＋在区间(0，)上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增. [变式探究](数智赋能辅助) 1.利用例题信息，求函数f(x)＝2x＋－5，x∈[1，3]的单调区间和值域. 解：f(x)＝2x－1＋－4， 令2x－1＝m，因为1≤x≤3，所以1≤m≤5， 则f(x)＝h(m)＝m＋－4，m∈[1，5]， 由对勾函数的性质，可得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增， 所以f(x)在上单调递减，在(，3］上单调递增，f(1)＝1，f()＝0，f(3)＝. 综上可得，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(，3］，值域是. 2.对于探究1中的函数f(x)和函数g(x)＝x2－mx＋4，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g(x2)＜f(x1)成立，求实数m的取值范围. 解：由探究1知f(x1)∈［0，］时，若存在x2∈[1，3]，使得g(x2)＜f(x1)成立， 只需g(x)＝x2－mx＋4＜0在x∈[1，3]上有解即可，即m＞(x＋)min. 令u(x)＝x＋，x∈[1，3]，由典例2(3)知u(x)在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以u(x)的最小值为u(2)＝4， 所以m＞4，即实数m的取值范围是(4，＋∞). (一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P101T12)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象. 解：设y＝f(x)，定义域D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，设x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1＋)， 对∀x1，x2∈(0，＋∞)时，x1x2＞0， 因为x1＜x2，所以f(x1)＜f(x2)，根据单调性定义可得，y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当∀x1，x2∈(－∞，0)时，x1x2＞0， 因为x1＜x2，所以f(x1)＜f(x2)，根据单调性定义可得，y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增. 因此y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增. 因为f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)，所以函数y＝x－是奇函数. y＝x－的图象如图. 学生用书⬇第44页 [变式探究](数智赋能辅助) 利用典例2、3信息，已知x∈，则(1)函数f(x)＝25x＋的值域为　　　　；(2)函数g(x)＝25x－的值域为　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)易知函数f(x)＝25x＋在x∈上为“对勾函数”的一部分，解方程25x＝得x＝(负根舍去)，所以f(x)在x∈(，)上单调递减，在x∈(，2］上单调递增.又f()＝，f()＝30，f(2)＝，所以f(x)min＝f()＝30，f(x)max＝f(2)＝，即f(x)在x∈. (2)易知函数g(x)＝25x－在x∈上为“飘带函数”的一部分，且g(x)在x∈上单调递增，所以g(x)min＝g()＝－，g(x)max＝g(2)＝，即g(x)在x∈. 角度2　高斯函数与狄利克雷函数 (1)(多选)设x∈R，用表示不超过x的最大整数，则y＝称为高斯函数，也叫取整函数.令函数f＝x－，以下结论正确的有(　　) A.f＝0.9 B.f为偶函数 C.f＝f D.f的值域为 (2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A.函数y＝f(x)的图象是两条直线 B.f(f(x))＝1 C.f()＞f(1) D.∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 答案：(1)AC　(2)BD 解析：(1)对于A，f＝－2.1－＝－2.1－＝0.9，故A正确；对于B，f＝2.1－＝2.1－2＝0.1，f＝0.9，即f≠f，所以函数f不是偶函数，故B错误；对于C，由已知可得＝＋1，所以f＝x－1－，f＝x－＝x－1－＝f，故C正确；对于D，由已知x－1＜≤x，则x－x≤x－＜x－，即f∈，故D错误.故选AC. (2)对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)＝1，所以f(f(x))＝f(1)＝1，当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，故B正确；对于C，f()＝0，f(1)＝1，所以f(1)＞f()，故C错误；对于D，根据题意，函数定义域是R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，取不为零的有理数T，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，故D正确.故选BD. 1.解决对勾函数与飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质. 2.高斯函数与狄利克雷函数问题都属于新定义问题，其解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合. 对点练2.函数f(x)＝｜x｜－(m∈R)的图象不可能是(　　 ) 答案：C 解析：当m＝0时，f(x)＝｜x｜(x≠0)，选项A有可能；当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能；当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. 对点练3.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　 ) A. B.{－1，0，1} C.{－1，0，1，2} D.{0，1，2} 答案：B 解析：f(x)＝－3×2x＋4(0＜x＜2)，令t＝2x，t∈(1，4)，可得g(t)＝t2－3t＋4＝(t－3)2－(1＜t＜4)，g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t＝3时，g(t)有最小值g(3)＝－.又因为g(1)＝，g(4)＝0，所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为，当f(x)∈时，[f(x)]＝－1；f(x)∈[0，1)时，[f(x)]＝0；f(x)∈时，[f(x)]＝1.所以y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.故选B. 对点练4.(多选)(2025·山东青岛一模)已知狄利克雷函数D＝设函数f＝D·sin πx，则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的值域为[－1，1] D.f(x)在区间[－1，1]上的有理数零点恰有3个 答案：ABD 解析：对于A，D的定义域是R，当x为有理数时，－x是有理数，则D＝D＝1，当x为无理数时，－x是无理数，则D＝D＝0，即D为偶函数，故f＝sin·D(－x)＝－sin πx·D＝－f，f(x)是奇函数，故A正确；对于B，对于任意的整数2k，k∈Z，当x为有理数时，x＋2k也是有理数，则D＝D＝1，当x为无理数时，x＋2k也是无理数，则D(x＋2k)＝D＝0，f＝D·sin[π]＝D·sin πx＝f，即函数f(x)是周期函数，故B正确；对于C，函数D，当x为无理数时，f＝0，当x为有理数时，f＝sin πx，πx不能取到一个周期所有实数，所以f＝sin πx取不到[－1，1]全部，故C错误；对于D，f＝D·sin πx＝0，当x为有理数时，f＝sin πx，得出在区间[－1，1]上有－1，0，1，3个有理数零点，故D正确.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $