第1章 第5讲 第1课时 二次函数及其性质(Word教师用书)-(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数及其性质核心考点，依据课程标准梳理解析式三种形式、图象性质及闭区间最值等知识，通过考点自主练透、师生共研、对点练习等环节，帮助学生构建知识体系，突破解析式求解、图象分析及最值分类讨论难点。 资料采用一题多解与变式探究策略，如求解析式结合一般式、顶点式、零点式培养数学思维，最值问题通过对称轴与区间位置关系分类讨论发展推理能力。设置自测诊断与分层练习，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数及其性质 【课程标准】　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在［－，＋∞)上单调递减 学生用书⬇第15页 【常用结论】 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 【自测诊断】 1.(多选)下列说法不正确的是(　　 ) A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是 D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－］上单调递减，在［－，＋∞)上单调递增 答案：BCD 2.(链接北师大必修一P34T1(2))函数y＝－3x2＋12x－8的最大值为　　　　. 答案：4 解析：y＝－3(x2－4x＋4)＋4＝－3(x－2)2＋4≤4. 3.(链接人教A必修一P100T4)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析：根据题意，知≥20或≤5，解得k≥160或k≤40. 4.(链接人教B必修一P139T8)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　. 答案：f(x)＝x2－4x 解析：根据题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0). 又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 考点一　 二次函数的解析式 自主练透 1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　　　. 答案：－4x2＋4x＋7 解析：法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 2.已知函数f是二次函数，且f＝1，f(x＋1)－f＝2x，则f＝　　　　　　. 答案：x2－x＋1 解析：因为f＝1，y＝f是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f－f＝2x，所以a＋b＋1－＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 3.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　　　　　　. 答案：y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 求二次函数解析式的方法 　　求二次函数解析式，一般运用待定系数法，选择规律如下： 考点二　二次函数的图象 师生共研 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　) (2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 答案：(1)D　(2)AD 解析：(1)由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，排除B.故选D. (2)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，故D正确.故选AD. 研究二次函数图象的方法 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 学生用书⬇第16页 对点练1.(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝－.则下列结论正确的是(　　) A.abc＜0 B.b＜a＋c C.3b＜－4c D.当x＞－时，y随x的增大而增大 答案：ACD 解析：由二次函数图象和性质可得a＞0，c＜0，因为－＝－，所以a＝b＞0，所以abc＜0，故A正确；由图象可知当x＝－1时，函数值小于0，即a－b＋c＜0，所以b＞a＋c，故B错误；由图象可知x＝1时，函数值小于0，即a＋b＋c＜0，因为a＝b，所以2b＋c＜0，即2b＜－c，所以8b＜－4c，因为b＞0，所以3b＜8b，所以3b＜－4c，故C正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x＝－，所以当x＞－时，y随x的增大而增大，故D正确.故选ACD. 考点三　二次函数的最值 师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝x2－ax－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(a). 解：f(x)＝x2－ax－1＝－1－. (1)根据题意，－1＜＜2，解得－2＜a＜4， 所以实数a的取值范围是(－2，4). (2)①当≥2，即a≥4时， f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2a； ②当－1＜＜2，即－2＜a＜4时， f(x)min＝f＝－1－； ③当≤－1，即a≤－2时， f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝a. 综上，g(a)＝ [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变设问)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(a). 解：f(－1)＝a，f(2)＝3－2a， f(2)－f(－1)＝3－3a， 当a≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝a； 当a＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2a. 综上，G(a)＝ 2.(变条件)本例条件“f(x)＝x2－ax－1”变为“f(x)＝ax2－x－1”，(2)问条件不变，求f(x)的最小值g(a). 解：当a＝0时，f(x)＝－x－1在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－3. 当a＞0时，f(x)＝ax2－x－1的图象开口向上，且对称轴为x＝＞0. ①当0＜＜2，即a＞时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－－1＝－－1. ②当≥2，即0＜a≤时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝4a－3. 当a＜0时，f(x)＝ax2－x－1的图象开口向下，且对称轴x＝＜0， 所以f(x)min＝f(2)＝4a－3. 综上所述，g(a)＝ 二次函数最值问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴、区间都是固定的；(2)对称轴变动、区间固定；(3)对称轴固定、区间变动. 2.解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思路即可完成. 对点练2.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函数f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，实数a的值为－或－1. 学科网（北京）股份有限公司 $