第1章 第3讲 等式与不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式核心考点，依据课程标准梳理等式性质、不等式性质及比较大小方法，构建“基础性质-常用结论-综合应用”的逻辑体系。通过考点梳理（表格归纳性质）、方法指导（作差法、构造函数法等）、真题训练（链接教材例题与模拟题）及分层练习（自测诊断、自主练透、师生共研），帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义特色在于采用“梳理-探究-应用”三阶教学法，如比较大小设计一题多解（作差法与构造函数法），不等式性质应用设置变式探究（改变条件求取值范围），培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。分层练习适配不同学生需求，配合方法总结与即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第3讲　等式与不等式 【课程标准】　1.梳理等式的性质.　2.会比较两个数(式)的大小.　3.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，并能简单应用. 1.两个实数比较大小的方法 2.等式的性质 性质 内容 注意 性质1(对称性) 如果a＝b，那么b＝a 可逆 性质2(传递性) 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 单向 性质3(可加(减)性) 如果a＝b，那么a±c＝b±c 可逆 性质4(可乘性) 如果a＝b，那么ac＝bc 单向 性质5(可除性) 如果a＝b，c≠0，那么＝ 可逆 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 同向 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc c的符号 同向可加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 同向， 同正 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2) 同正 可开方性 a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2) 同正 【常用结论】 1.倒数性质 若ab＞0，且a＞b⇔＜； 若ab＜0，且a＞b⇔＞； 若a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞. 2.有关分数的性质 若b＞a＞0，m＞0，则 (1)＜＜(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小). (2)＜＜(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大). 【自测诊断】 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种 B.若＞1，则a＞b C.同向不等式具有可加性和可乘性 D.两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母 答案：AD 2.(链接人教A必修一P38例1)若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有(　　) A.M ＞N B.M ≥N C.M＜N D.M≤N 答案：A 解析：因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0，所以M ＞N.故选A. 3.(链接人教A必修一P43T8)如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　　) A.＜ B.ab＜b2 C.ab＞a2 D.－＜－ 答案：D 解析：因为a＜b＜0，由不等式的性质可知，－a＞－b＞0，ab＞0，所以－＜－，所以＞，故A错误，D正确；由a＜b＜0，可得ab＞b2＞0，a2＞ab＞0，故B、C错误.故选D. 4.(链接人教A必修一P43T5)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是　　　　. 答案：(－5，－1) 解析：由b∈(2，3)得－6＜－2b＜－4.又1＜a＜3，故－5＜a－2b＜－1. 学生用书⬇第9页 考点一　比较数(式)的大小 自主练透 1.已知a∈R，M＝(2a＋1)(a－3)，N＝(a－6)(a＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　) A.M＜N B.M ＞N C.M≤N D.M ≥N 答案：B 解析：因为M－N＝(2a＋1)(a－3)－[(a－6)(a＋3)＋10]＝a2－2a＋5＝(a－1)2＋4＞0，所以M ＞N.故选B. 2.若P＝＋，Q＝＋(m＞－5)，则P，Q的大小关系为(　　) A.P＜Q B.P＝Q C.P ＞Q D.不能确定 答案：C 解析：P2＝2m＋13＋2，Q2＝2m＋13＋2.因为(m＋6)(m＋7)－(m＋5)(m＋8)＝2＞0，所以(m＋6)(m＋7)＞(m＋5)(m＋8)，所以＞，所以P2＞Q2，所以P＞Q.故选C. 【教师备选】　设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B 答案：B 解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. 3.(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 答案：C 解析：法一：易知a，b，c都是正数，＝＝log98＜1，所以a＜b；＝＝log2532＞1，所以a＞c.即c＜a＜b.故选C. 法二：构造函数f(x)＝，则f'(x)＝，由f'(x)＞0，得0＜x＜e；由f'(x)＜0，得x＞e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(3)＞f(4)＞f(5).又＝＝，所以f(2)＝f(4)，即f(3)＞f(2)＞f(5)，即b＞a＞c.故选C. 数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论. 2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论. 3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 考点二　不等式的性质 师生共研 (1)(多选)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　) A.若a＜b＜0，则＜ B.若a＞｜b｜＞0，则a2＞b2 C.若a＞0＞b，则ab＜a2 D.若c＞a＞b＞0，则＜ (2)设a，b∈R，若－1＜b＜a＜0，则下列不等式中错误的是(　　) A.a2＜b2 B.＜ C.ab＜b2 D.a＋b＞－1 答案：(1)BCD　(2)D 解析：(1)对于A，因为a＜b＜0，则－＝＞0，故＞，故A错误；对于B，由于a＞｜b｜＞0，故a2＞b2，故B正确；对于C，若a＞0＞b，由不等式的基本性质可得a2＞ab，故C正确；对于D，若c＞a＞b＞0，则－＝＝＜0，所以＜，故D正确.故选BCD. (2)因为－1＜b＜a＜0，则1＞－b＞－a＞0，则b2＞a2，故A正确；因为－1＜b＜a＜0，则1＞－b＞－a＞0，即＞，故B正确；因为－1＜b＜a＜0，则a－b＞0，b＜0，则ab－b2＝b＜0，故C正确；取b＝－0.75，a＝－0.5，a＋b＝－1.25，所以a＋b＜－1，故D错误.故选D. 利用不等式性质判断命题真假的方法 1.直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可. 2.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 3.利用函数的单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 对点练1.(多选)设a，b，c∈R，则下列选项中正确的是(　　) A.若a＞b，则a－2 026＞b－2 026 B.若a2＞b2，则a＞b C.若a＞b，则a3＞b3 D.若a＞b＞c＞0，则＞ 答案：ACD 解析：对于A，由a＞b，得a－2 026＞b－2 026，故A正确；对于B，取a＝－2，b＝1满足a2＞b2，而a＞b不成立，故B错误；对于C，由a＞b，得a－b＞0，则a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)［＋b2］＞0，故C正确；对于D，若a＞b＞c＞0，则a－b＞0，a－c＞0，b－c＞0，且a－c＞a－b，所以＞＞0. 又b＞c＞0，由可乘性知，＞，故D正确.故选ACD. 对点练2.(多选)若＜＜0，则下列不等式正确的是(　　) A.＜ B.｜a｜＋b＞0 C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2 答案：AC 解析：由＜＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2＞ln a2，故D错误.故选AC. 考点三　不等式性质的综合应用师生共研 (一题多变)(人教A必修一P43T5)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围. 解：因为2＜a＜3，－2＜b＜－1，所以4＜2a＜6， 所以2＜2a＋b＜5， 所以2a＋b的取值范围是(2，5). 学生用书⬇第10页 [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变设问)若本例条件不变，则3a－2b的取值范围是　　　　，的取值范围是　　　　　　. 答案：(8，13)　(－3，－1) 解析：由例题知，因为6＜3a＜9，－4＜2b＜－2，所以2＜－2b＜4，所以8＜3a－2b＜13.所以3a－2b的取值范围是(8，13).又因为－2＜b＜－1，所以－1＜＜－，＜－＜1.又2＜a＜3，所以×2＜－＜1×3，即1＜－＜3，所以－3＜＜－1，所以的取值范围是(－3，－1). 2.(变条件、变设问)若将本例中条件改为“－1＜a＋b＜4，2＜a－b＜3”，则3a＋2b的取值范围是　　　　. 答案：(－，) 解析：设3a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，则即3a＋2b＝(a＋b)＋(a－b).又因为－1＜a＋b＜4，2＜a－b＜3，所以－＜(a＋b)＜10，1＜(a－b)＜，所以－＜(a＋b)＋(a－b)＜，即－＜3a＋2b＜，所以3a＋2b的取值范围是(－，). 3.(变条件、变设问)若将本例中条件改为“3＜a＋b＜4，1＜a－b＜2”，则2ab的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为 则5＜4ab＜15，所以＜2ab＜.所以2ab的取值范围是(，). 根据不等式的性质求代数式取值范围的策略 1.已知a，b的取值范围，求解由ma，nb(mn≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时，可直接利用不等式的性质求解，但要严格运用不等式的性质，并注意其成立的条件. 2.已知m1a＋n1b，m2a＋n2b的取值范围，求解形如或可化为m3a＋n3b(mini≠0，i＝1，2，3)的范围时，可利用待定系数法与整体代换法一次性运用不等式的性质求得取值范围.注意：此时不可直接利用不等式的性质求解，因为同向不等式在两边相加时，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $