函数的概念及其表示讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦函数概念及其表示专题，覆盖函数定义、三要素及解析式求法等核心考点，知识清单按“定义-特征-三要素-求法”逻辑层次梳理，通过考点题型分类、核心方法指导、真题例题与变式训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破定义域、值域等难点。 资料采用分层教学策略，例题、变式与提升训练梯度设计，如抽象函数定义域强调“对应关系‘f’作用下整体范围相同”，培养数学思维，求解析式时突出“换元必换范围”的严谨性，规范数学语言表达，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题复习----函数的概念及其表示 知识清单 【清单 01】函数的定义 一般地，设 A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合 B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f : A→ B 为从集合 A到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x) ，x ∈ A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合{f (x) | x ∈ A} 叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集. 函数的四个特征： ①非空性： A ，B 必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【清单 02】函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系f 是函数的核心，它是对自变量x 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x ∈ A} 叫做函数的值域(range). 【清单 03】求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数， 反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知f (g (x ))这类复合函数的解析式，求函数f (x ) 的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件f (g (x )) = F (x ) ，可将F(x) 改写成关于g (x) 的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知 f (x )与f (−x) 、f 、f ……的方程， 11 学科网（北京）股份有限公司 求f (x )解析式。 重要题型 【考点题型一】求常规函数的定义域 核心方法：使得函数有意义的范围，如 ， a ≥ 0 ，如 ，则 g(x)≠ 0 ； 【例 1-1】（24-25 高一上·宁夏银川·期中）函数 f 的定义域为( ) A ．[0, 2) B ．[1, 2) (2, +∞ ) C ．(2, +∞ ) D ．(−∞, 2) (2, +∞ ) 【例 1-2】（24-25 高一上·宁夏银川·期中）若函数f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 . 【变式 1-1】（24-25 高一上·江苏扬州·期中）函数f 的定义域为( ) A ．(−∞,3] B ．[3, +∞) 【变式 1-2】（24-25 高一上·四川成都·期中）函数f 的定义域为(1, 2 )，则ab = ( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1 【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域 核心方法：对应关系“f ”作用下的整体取值范围相同，另外注意，定义域是指单独一个“ x ”的取值范围 【例 2-1】（24-25 高一上·吉林白城·期中）若函数f (3x −1) 的定义域为(0, 3) ，则函数f (1− 3x ) 的定义域为( ) A ．(−3, 0) B ． C ．(−1,8) D ． 【变式 2-1】（24-25 高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知f (x ) 的定义域为(1, 3) ，则 22 学科网（北京）股份有限公司 f 的定义域为( ) A ． B ．(|( , C ． , ), D ． , 1) 【变式 2-2】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）已知函数f (x + 2) 的定义域为(−3, 4)，则函数g 的定义域为( ) A ．(−4, 3) B ．(−2,5) C ． D ．|(( ,5), 【变式 2-3】（24-25 高一上·河北邯郸·期中）已知函数y = f (x) 的定义域为[−5,3]，则函数y 的定义域为( ) A ． B ．[−3,1] C ．[−9, 7] D ． 【考点题型三】值域问题 核心方法：图象法，分离常数法，换元法， Δ判别法 【例 3-1】（24-25 高一上·四川成都·期中）函数y 的值域为 ． 【例 3-2】（24-25 高一上·江西南昌·期中）函数f (x) = x − 2 的值域为 【变式 3-1】（多选）（23-24 高一上·四川广安·期中）在下列函数中，最小值是 2 的是( ) . C ．y D ．y = x2 − 2x + 3 【变式 3-2】（23-24 高一上·广东广州）函数f (x ) = 的值域是 ． 【变式 3-3】（23-24 高一上·河北张家口）求下列函数的值域 (2) f (x) = 2x +1− 4 33 学科网（北京）股份有限公司 【考点题型四】求函数的解析式（待定系数法） 核心方法：设出函数解析式，对比系数求解 【例 4-1】（23-24 高一上·云南昆明）已知f (x ) 为一次函数，且f f (x) = 4x − 3 ，则f (1) 的值为 ． 【例 4-2】（23-24 高一上·山东济宁·期中）已知二次函数f (x ) 满足条件f (0) = 1，及f (x +1)− f (x ) = 2x . (1)求f (x ) 的解析式； (2)解不等式f (x ) < ax +1 − a . 【变式 4-1】（23-24 高一上·江苏泰州）若一次函数f (x ) 满足：对任意x 都有 xf (x +1)+ f (x2 ) = 2x2 + 2x +1，则 f (x ) 的解析式为 ． 【变式 4-2】（23-24 高一·浙江）已知二次函数f (x) 满足f (x +1) − f (x) = 2x + 2 ，且 f (x)的图象经过点A(1, −6) ． （1）求 f (x) 的解析式; （2）若x ∈[−2, 2] ，不等式 f(x) ≤ mx 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【考点题型五】求函数的解析式（换元法） 核心方法：换元法（注意，换元必换范围；） 【例 5】（24-25 高一上·广东广州·期中）已知函数f ，则 f (x ) = ( ) 44 学科网（北京）股份有限公司 【变式 5-1】（24-25 高一上·浙江·期中）已知f ( +1) = x + 2 ，则 f (x ) 的解析式为( ) A ．x2 − 2x + 3 B ．x2 − 2x + 3 (x ≥1) C ．x2 − 2x −3 D ．x2 − 2x − 3 (x ≥1) 【变式 5-2】（24-25 高一上·广西南宁·期中）已知f ，则 f (x ) = ( ) A ．(x +1)2 (x ≠ 1) B ．(x −1)2 C ．x2 − x +1(x ≠ 1) D ．x2 − x +1 【考点题型六】求函数的解析式（方程组（消去）法） 核心方法：联立方程组消元 【例 6】（24-25 高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知 f (x ) 是一次函数，且f (f (x )) = 9x + 4 ，求 f (x ) 的解析式； （2）已知函数 f (x +1) = x2 − 2x ，求 f (x ) 的解析式； （3）已知函数y = f (x ) 满足f x ，求函数y = f (x ) 的解析式； 【变式 6-1】（24-25 高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式函数f (x) 满足2f (x) − f (−x) = x2 ，求函数 f (x) 的解析式. 【变式 6-2】（24-25 高三上·海南·开学考试）已知f (x )+ 2f (−x ) = 2x + 3 ，求 f (x ) 的解析式. 55 学科网（北京）股份有限公司 提升训练 一、单选题 1．（24-25 高一上·湖南永州·期中）函数f (x) = + x 定义域是（ ）. x +1 A ．[−1,1] B ．[−1, 0) (0,1] C ．(−1,1] D ．(−1, 0) (0,1] 2．（24-25 高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数f (x ，则f (f (1)) = ( ) A ．14 B ．5 C ．1 D ． −1 3．（24-25 高一上·广东中山·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是( ) C ．f (x ) = 与g (x) = x 4．（24-25 高一上·重庆·期中）若函数f (x2 ) 的定义域为[−1, 2] ，则函数g 的定义域是( ) A ．[1, 4] B ．(1, 4] C ．[0, 4] D ．(0, 4] 5．（24-25 高一上·吉林延边·期中）对于函数f (x ) ，若x1, x2 满足 f (x1 )f (x2 ) = f (x1 + x2 ) ，则称x1, x2 为函数f (x ) 的一对“类指数”.若正实数a 与b 为函数f (x ) = kx (k > 0) 的一对“类指数” ，a + 4b 的最小值为18 ，则 k 的值为( ) A ． B ．1 C ． D ．2 ( l x 2 − 4 x , x ≥ 0, )6．（24-25 高一上·江苏无锡·期中）已知函数f (x) = {〔x2 + 4x, x < 0, 当−5 ≤ x ≤ 2 时，函数 f (f (x)+ a) 的值域为[−4, 32] ，则实数a 的取值集合为( ) A ．{−4, −3} B ．{−4, 3} C ．{2, −3, −4} D ．{2, 3} 7．（24-25 高一上·四川成都·期中）已知定义在(0, +∞) 上的函数f(x) 满足f ，则 f (2) 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．13 D ．14 8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数f (x ) 的定义域为R ，且f (x + y )− 2f (x − y )+ f (x )− 2f (y ) = y − 2 ，则 f (2024) = ( ) A ．0 B ．1 C ．2024 D ．2025 二、多选题 9．（24-25 高一上·江西南昌·期中）若函数f (x ) 满足关系式f ，则下列结论正确的是( ) A ．f B ．f (−1) = f (1) C ．f (3) = − 1 D ．f 10．（24-25 高一上·甘肃陇南·期中）定义在R 上的函数f (x ) ，对于任意的x ，y 都有f (x + y ) = f (x )f (y )，且 f (1) = 2 ，则( ) A ．f (0) = 1 B ．f (−1) = −2 C ．f (2)f (3) = 64 D ．f (10) = 2f (9) 三、填空题 11．（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）已知f (x ) 是二次函数，且f (0) = 3 ，若f (x +1)− f (x) = 2x + 3 ，则 f (x) 的解析式为 . 12．（23-24 高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数f (x ) = [x] 的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[−3.5] = −4 ，[2.1] = 2 .当x ∈ (−0.5,1] 时，函数f (x ) = [x] 的解析式 为 ；定义：尾数函数y = x − [x] = {x} ，x ∈R ，那么，尾数函数y = {x}(x ∈ R) 的值域为 . 四、解答题 13．（24-25 高一上·湖北·阶段练习）已知二次函数f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 满足f (x +1)− f (x ) = 4x ，且 f (0) = 1. (1)求函数f (x ) 的解析式； (2)解关于 x 的不等式f (x ) ≤ − (2t + 6)x − 4t +1. 6 学科网（北京）股份有限公司 14．（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数f = xx + ab (a, b ∈ R+ ) (1)若不等式f (x ) < 0 的解集为 ，求 a ，b 的值 (2)若方程f (x ) = 0 仅有一个实数解，求 a + 4b 的最小值. 15．（23-24 高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数f (x ) = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R) 只能同时满足下列三个条件中的两个： ① a = 2 ；②不等式f (x ) > 0 的解集为{x −1 < x < 3} ；③函数f (x ) 的最大值为 4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f (x ) 的解析式； (2)求关于x 的不等式f (x ) ≥ (m −1)x2 + 2 (m ∈ R) 的解集. 8 学科网（北京）股份有限公司 专题复习---- 函数的概念及其表示答案 【例 1-1】【答案】B【例 1-2】【答案】[0, 4)【变式 1-1】【答案】C 【变式 1-2】【答案】A【例 2-1】 【答案】D【变式 2-1】【答案】C 【变式 2-2】【答案】D【变式 2-3】【答案】A【例 3-1】【答案】 【例 3-2】【答案】(−∞,1]【变式 3-1】【答案】BD【变式 3-2】【答案】[0, 2] 【变式 3-3】【答案】(1) {y y ≠−1} (2)[1，+∞ ) 【例 4-1】【答案】1 【例 4-2】【答案】(1) f (x ) = x2 - x +1 (2）,当a = 1 时,不等式的解集为 Ø ,当a > 1时,不等式的解集为(1, a )， 当a < 1 时,不等式的解集为(a,1). 【变式 4-1】【答案】f (x) = x +1 【变式 4-2】【答案】（1）f (x) = x2 + x - 8 ；（2）[-1,3] . 【例 5】【答案】B 【变式 5-1】【答案】B【变式 5-2】【答案】C 【例 6】【答案】（1）f (x ) = 3x +1 或f (x ) = -3x - 2 ；（2）f (x) = x2 - 4x + 3 ； （3） 【变式 6-1】【答案】f (x ) = x2 【变式 6-2】【答案】f (x ) = -2x +1 提升训练 一、单选题 1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 二、多选题 9．ABD 10．AD 三、填空题 11．【答案】f (x) = x2 + 2x + 3 12．【答案】 f (x [0,1) 四、解答题 13．（24-25 高一上·湖北·阶段练习）已知二次函数f (x ) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 满足f (x +1) − f (x ) = 4x ，且 f (0) = 1. (1)求函数f (x ) 的解析式； (2)解关于 x 的不等式f (x ) ≤ − (2t + 6)x − 4t +1. 【答案】(1) f (x ) = 2x2 − 2x +1 【详解】（1）因为 f (0) = 1 ，c = 1，所以f (x) = ax2 + bx +1， 又因为f (x +1) − f (x ) = 4x ， 所以[a(x +1)2 + b (x +1)+1 − (ax2 + bx +1) = 4x ，所以2ax + a + b = 4x，所以 所以 ，即 f (x ) = 2x2 − 2x +1. （2）由 f (x ) ≤ − (2t + 6)x − 4t +1 ，可得不等式2x2 + (2t + 4)x + 4t ≤ 0 ， 即x2 + (t + 2)x + 2t ≤ 0 ，所以(x + 2)(x + t ) ≤ 0 ， 当−t = −2 ，即t = 2 时，不等式的解集为{x | x = −2} ， 当−t < −2 ，即t > 2 时，不等式的解集为{x | −t ≤ x ≤ −2}， 当−t > −2 ，即t < 2 时，不等式的解集为{x | −2 ≤ x ≤ −t}，综上所述，当t = 2 时，不等式的解集为{x | x = −2}， 当t > 2 时，不等式的解集为{x | −t ≤ x ≤ −2}， 当t < 2 时，不等式的解集为{x | −2 ≤ x ≤ −t}. 14．（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数f (x) = x2 − . x + ab(a, b ∈ R+ ) (1)若不等式f (x ) < 0 的解集为 ，求 a ，b 的值 (2)若方程f (x ) = 0 仅有一个实数解，求 a + 4b 的最小值. 【答案】 a = 2, b 或a 【详解】（1）因为不等式 f (x ) < 0 的解集为(|( ,1), ，所以方程x2 − . x + ab = 0的两根为,1， 所以由根与系数的关系可得 解得 （2）因为方程f (x ) = 0 仅有一个实数解， 所以 ab = 0 ，即a + b − 4ab = 0 ，所以 a, b ∈ R+ ， 所以a + 4b a + 4b 当且仅当 ，即 a 时，等号成立，所以a + 4b 的最小值为 . 15．（23-24 高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数f (x ) = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R) 只能同时满足下列三个条件中的两个：① a = 2 ；②不等式f (x ) > 0 的解集为{x −1 < x < 3} ；③函数f (x ) 的最大值为 4. (1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f (x ) 的解析式； (2)求关于x 的不等式f (x ) ≥ (m −1)x2 + 2 (m ∈ R) 的解集. 【答案】(1)②③；f (x ) = −x2 + 2x + 3 (2)答案见解析 【详解】（1）当 a = 2 时，不等式f (x ) > 0 的解集不能为{x −1 < x < 3}，且 f (x ) 没有最大值， 所以①不成立，满足条件只能为②③ , 由不等式f (x ) > 0 的解集为{x −1 < x < 3}， 可令f (x ) = a(x +1)(x − 3) = ax2 − 2ax − 3a, (a < 0) ， 因为f (x ) 的最大值为4 ，可得 ，解得 a =− 1，所以f (x ) = −x2 + 2x + 3. （2）解：由不等式 f (x ) ≥ (m −1)x2 + 2 ，可化为mx2 − 2x −1 ≤ 0 ， 当m = 0 时，不等式等价于 −2x −1 ≤ 0 ，解得x ，所以不等式的解集为 当m > 0 时，对于不等式mx2 − 2x −1 ≤ 0 ，因为 Δ = 4 + 4m > 0 ， 方程有两个不相等的实数根据x 不等式的解集为 当m < 0 时，对于一元二次方程mx2 − 2x −1 = 0 ，可得 Δ = 4 + 4m ， ①当m ≤−1 时， Δ≤ 0 ，此时不等式mx2 + 2x −1 ≤ 0 的解集为R ； ②当−1 < m < 0 时， Δ> 0 ，可得方程的两根为x 此时不等式的解集为(−∞, 1+ ] [ 综上可得：当m = 0 时，不等式的解集为 当m > 0 时，不等式的解集为 当m ≤−1时，不等式mx2 + 2x −1 ≤ 0 的解集为R ； 当 −1 < m < 0 时，不等式的解集为 7 学科网（北京）股份有限公司 $