1 单元周清卷(一) 集合与常用逻辑用语、不等式(Word练习)【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语与不等式基础考点，通过A卷强基、B卷培优的分层设计，以典型例题构建“概念-工具-应用”的知识逻辑链，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|A1-2、B2、B4|含补集、子集关系及Venn图新定义|从基本运算到集合间关系，结合元素互异性深化概念理解| |常用逻辑用语|A4、A6-7、A9|充要条件判定、命题否定及量词命题|以逻辑推理为核心，建立“命题-条件-否定”的逻辑链条| |不等式|A3、A5、A8、B3、B5-8|性质应用、基本不等式及一元二次不等式，含实际应用题|从性质到解法，结合函数思想解决最值与恒成立问题，体现模型意识|

单元周清卷　[教师用书] 单元周清卷(一) 集合与常用逻辑用语、不等式 (考点一　集合的基本运算；考点二　充要条件判定与应用；考点三　含有量词的命题；考点四　不等式的性质及应用；考点五　基本不等式及其应用；考点六　一元二次方程及不等式) A卷　强基精研卷 (时间：50分钟　分数：100分) 1.(8分)(2025·全国一卷)已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A.0 B.3 C.5 D.8 答案：C 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. 2.(8分)已知集合A＝，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m的取值集合为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：已知集合A＝，集合B＝.若B⊆A，则m2＝－1或m2＝2，而方程m2＝－1无解，方程m2＝2的解为m＝±，经检验当m＝±时，满足集合中元素间的互异性，且B⊆A.故选D. 3.(8分)若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝(　　) A.14 B.－14 C.10 D.－10 答案：B 解析：依题意知故a＋b＝－14.故选B. 4.(8分)(2025·四川绵阳三模)设a，b∈R，则“ab＜1”是“0＜a＜”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当a＝0，b＝－1时，满足ab＜1，但不满足0＜a＜；当0＜a＜时，b＞0，则ab＜1.所以“ab＜1”是“0＜a＜”的必要不充分条件.故选B. 5.(8分)(2025·广东汕头模拟)已知a＞0，b＞0，a＋＝1，则＋b的最小值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案：C 解析：因为a＞0，b＞0，a＋＝1，所以＋b＝＝2＋＋ab≥2＋2＝4，当且仅当＝ab，即a＝，b＝2时取等号.故选C. 6.(8分)已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3＞0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.－1＜a＜2 B.a≥1 C.a＜－1 D.－1≤a＜2 答案：D 解析：当a＝－1时，3＞0成立；当a≠－1时，需满足解得－1＜a＜2.综上所述，实数a的取值范围为－1≤a＜2.故选D. 7.(8分)(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A.∃x∈R，x2－x＋＜0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R，x2＋2x＋2＜0 D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0 答案：AC 解析：由题意可知，原命题应为存在量词命题且为假命题，所以首先排除B选项和D选项，对于A，因为∀x∈R，x2－x＋＝≥0，所以∃x∈R，x2－x＋＜0是假命题，对于C，因为∀x∈R，x2＋2x＋2＝＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2＜0是假命题，即A选项和C选项均为存在量词命题且为假命题.故选AC. 8.(8分)(多选)若＜＜0，则下列不等式正确的是(　　) A.＜ B.｜a｜＋b＞0 C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2 答案：AC 解析：由＜＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2＞ln a2，故D错误.故选AC. 9.(8分)(2025·河北石家庄三模)若命题p：∀x＞0，x2－7x＋6≤0，则命题p的否定为　　　　　　　　　　. 答案：∃x＞0，x2－7x＋6＞0 解析：命题p：∀x＞0，x2－7x＋6≤0的否定为：∃x＞0，x2－7x＋6＞0. 10.(8分)(新定义)戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足A∪B＝Q，A∩B＝∅，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素.请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割　　　　　　　　. 答案：A＝，B＝(答案不唯一) 解析：以无理数分界写出一组即可，如A＝，B＝.(答案不唯一) 11.(20分)设全集U＝R，集合A＝，集合B＝，其中a∈R. (1)当a＝4时，求A∩B； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 解：(1)由＜0，得(x－4)(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜4，即A＝(－1，4)， 当a＝4时，x2－2ax＋a2－1＝x2－8x＋15＝(x－3)(x－5)＜0， 解得3＜x＜5，即B＝. 故A∩B＝(3，4). (2)由(1)知：A＝， 由x2－2ax＋a2－1＝[x－][x－]＜0， 得a－1＜x＜a＋1， 即B＝， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B为A的真子集. 所以解得0≤a≤3， 即实数a的取值范围为. B卷　培优提能卷 (时间：50分钟　分数：100分) 1.(10分)若a∈R，则“a＝2”是“＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为方程＝0的根为1或2，所以“a＝2”是“＝0”的充分不必要条件.故选A. 2.(10分)(2025·山东青岛三模)若集合A＝，B＝，则(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A＝B D.A∩B＝∅ 答案：A 解析：因为集合A＝＝，B＝，则A⊆B.故选A. 3.(10分)当x＞a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　) A.1 B. C.2 D.4 答案：A 解析：因为x＞a，则x－a＞0，2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a，当且仅当2(x－a)＝ 时，等号成立，即8＋2a＝10，故a＝1.故选A. 4.(10分)(2026·芜湖月考)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合.若A＝{x∈Z｜－x2＋3x＋4＞0}，B＝{x∈Z｜｜x｜≤2}，A*B的子集个数为(　　) A.7 B.8 C.15 D.16 答案：B 解析：因为集合A＝＝{x∈Z｜－1＜x＜4}＝，集合B＝{x∈Z｜≤2}＝＝{－2，－1，0，1，2}，可得A∪B＝，A∩B＝，由Venn图可知A*B即在A∪B中去掉A∩B的元素，可得A*B＝，所以A*B的子集个数为23＝8.故选B. 5.(10分)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－4，或x≥5}，则下列说法正确的是(　　) A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－5} C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－，或x＞} D.a＋b＋c＞0 答案：AC 解析：由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，即a＞0，故A正确；因为－4，5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以所以 bx＋c＞0，即－ax－20a＞0，解得x＜－20，故B错误；不等式cx2－bx＋a＜0等价于－20ax2＋ax＋a＜0，即20x2－x－1＞0，即(5x＋1)(4x－1)＞0，解得x＜－或x＞，故C正确；因为1∉{x｜x≤－4，或x≥5}，所以a＋b＋c＜0，故D错误.故选AC. 6.(10分)若正实数x，y满足＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：因为正实数x，y满足＝4，即xy＝4x＋y，所以＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝8，x＝2时取等号.因此x＋的最小值为4，又x＋≥a2－3a恒成立，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即实数a的取值范围是. 7.(20分)已知关于x的不等式ax2＋3x＋2＞0. (1)若a＝1，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为. (ⅰ)求实数a，b的值； (ⅱ)讨论关于x的不等式abx2－mx－m2≤0的解集. 解：(1)因为a＝1，所以不等式为x2＋3x＋2＞0，即＞0， 所以不等式的解集为. (2)(ⅰ)因为不等式ax2＋3x＋2＞0的解集为{x｜b＜x＜1}， 所以x＝1是方程ax2＋3x＋2＝0的根， 所以a＝－5， 所以不等式为－5x2＋3x＋2＞0即(5x＋2)(x－1)＜0， 解集为， 所以b＝－，综上： (ⅱ)不等式abx2－mx－m2≤0即为2x2－mx－m2≤0， 即≤0， 当m＜0时，解集为， 当m＝0时，解集为， 当m＞0时，解集为. 8.(20分)国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润W(万元)与销量x(万件)的关系为W＝－x－＋1 000. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？(利润＝销售收入－成本) (2)写出利润W(万元)关于购进产品数量x(万件)的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 解：(1)依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是×10－300＝200万元. (2)当0＜x≤15时，W＝x－300＝50x－300； 当15＜x≤30时，不妨设降价t元，则15＋0.5t＝x，得到t＝2x－30， 所以W＝x－30x－300＝－2x2＋80x－300； 当x＞30时，W＝－x－＋1 000； 所以W＝ (3)由(2)知，当0＜x≤15时，W＝50x－300，函数单调递增， 当x＝15时，利润最大，此时利润是450万元； 当15＜x≤30时，W＝－2x2＋80x－300＝－2(x－20)2＋500， 当x＝20时，利润最大，此时利润是500万元； 当x＞30时，W＝－x－＋1 000＝－［(x＋10)＋］＋1 010≤－2＋1 010＝910， 当且仅当x＋10＝，即x＝40时，利润最大，此时利润是910万元. 因为910＞500＞450， 所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 学科网（北京）股份有限公司 $