专题10.6 离散型随机变量的分布列与数字特征（6重难点题型+高考真题）专项训练-2027届高考数学一轮复习

专题10-6 离散型随机变量的分布列与数字特征 1．（2026·全国一卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 2．（2005·辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 4．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 5．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 6．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 8．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 9．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 重难点题型1 离散型随机变量 1．某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 2．同时抛掷两枚均匀的骰子，设表示掷出的点数之和，则表示的随机试验结果是（    ） A．一枚掷出点，一枚掷出点 B．两枚都掷出点 C．两枚都掷出点 D．一枚掷出点，一枚掷出点或两枚都掷出点 3．（25-26高三下·河南郑州·期中）（多选题）下列问题中的ξ是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1 000 cm3的球的半径长为ξ D．射手对目标进行一次射击，所得分数为ξ（击中得1分，未击中得0分） 4．（多选题）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 5．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（    ） A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个 C．的概率为 D．的概率为 重难点题型2 求离散型随机变量的分布列 求解离散型随机变量分布列的步骤： （1）审题 （2）计算 计算随机变量取每一个值的概率 （3）列表 列出分布列，并检验概率之和是否为. （4）求解 根据均值、方差公式求解其值. 1．某同学参加3门课程的考试．第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该学生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3 则（   ） A． B． C． D．2 2．设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 3．随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，从中随机不放回地取球，每次抽取个，记为取完某一种颜色所有的球所需的次数，则________． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设随机变量 的概率分布为 ，为常数，，则 ____. 6．（2026·天津和平·三模）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 重难点题型3 离散型随机变量的分布列的性质 离散型随机变量的分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确． 1．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 2．（2025·河南·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 3．（2026·浙江·模拟预测）有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为． (1)求的值； (2)设随机变量，求的分布列与数学期望． 4．（2026·浙江·模拟预测）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他可获得证书的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数的分布列和数学期望； (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 6．（2026·福建漳州·模拟预测）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 7．（2026·山东济南·模拟预测）2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. (1)救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 重难点题型4 离散型随机变量的均值 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃金昌·二模）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 0.4 则数学期望（    ） A．0.8 B．1.4 C． D．2 5．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 6．（2026·浙江宁波·二模）已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 7．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 8．已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ． 重难点题型5 离散型随机变量的方差 1．（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，随机变量的分布列为 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设，随机变量X的分布列是 X 0 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 4．（2025高三下·浙江绍兴·学业考试）一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则 A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）（多选题）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北沧州·二模）（多选题）设随机变量的分布列为（，2，为常数），则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选题）离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（    ） 2024 2025 A． B．服从两点分布 C． D． 8．（2025·广东·模拟预测）（多选题）已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（    ） X -1 0 1 Y 0 1 2 P P A．存在a，使得 B． C．若Y服从二项分布，则 D． 重难点题型6 决策问题 1．（2026·山东·模拟预测）数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 2．（2026·河北·模拟预测）某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． (1)从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； (2)研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； (3)研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ 3．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 4．（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10-6 离散型随机变量的分布列与数字特征 1．（2026·全国一卷·高考真题）设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.41 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 2．（2005·辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率 【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】从袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球共有种取法， 恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有中， 由古典概型的概率公式得概率为. 故选：D 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 4．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 5．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 6．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】/ 【难度】0.5 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】/0.5 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 8．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 9．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【难度】0.65 【知识点】用频率估计概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【难度】0.4 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 重难点题型1 离散型随机变量 1．某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】根据变量的意义进行判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 2．同时抛掷两枚均匀的骰子，设表示掷出的点数之和，则表示的随机试验结果是（    ） A．一枚掷出点，一枚掷出点 B．两枚都掷出点 C．两枚都掷出点 D．一枚掷出点，一枚掷出点或两枚都掷出点 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】根据“表示掷出的点数之和”结合可得出结论. 【详解】因为，故表示的随机试验结果是：一枚掷出点，一枚掷出点或两枚都掷出点. 故选：D. 3．（25-26高三下·河南郑州·期中）（多选题）下列问题中的ξ是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1 000 cm3的球的半径长为ξ D．射手对目标进行一次射击，所得分数为ξ（击中得1分，未击中得0分） 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断随机试验中的随机变量、离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】本题考查离散型随机变量的判定，核心依据是：离散型随机变量的所有可能取值可以按一定次序一一列举出来，且取值具有随机性. 【详解】 选项A：表示一天内经过大桥的该品牌轿车辆数，可能取值为0，1，2，…， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确； 选项B：表示歌曲一天内的点击次数，可能取值为0，1，2，…， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确； 选项C：体积为的球的半径可由公式唯一确定， 是固定值，不是随机变量，错误； 选项D：表示射手一次射击的得分，可能取值为0（未击中）、1（击中）， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确. 4．（多选题）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断随机试验中的随机变量、独立重复试验的概率问题 【分析】二项分布需满足固定次数n次独立重复试验、每次试验只有两个对立结果、成功概率p恒定、随机变量表示成功的次数这四大核心条件，据此逐项分析. 【详解】对于A：满足独立重复试验的全部条件，随机变量表示固定次数试验中成功的次数，服从二项分布； 对于B：的取值是，，显然不符合固定次数和成功概率恒定，因此不服从二项分布； 对于C:随机变量定义为 “直到摸出白球为止的试验次数”，本质是刻画 “首次摸到白球” 的试验次数，并非二项分布要求的 “固定n次试验中摸到白球的次数”，不符合二项分布的定义； 对于D：试验为不放回抽样，每次试验的概率会随抽样结果变化，不满足二项分布 “独立重复、概率恒定” 的条件，故不服从二项分布． 故选：BCD. 5．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（    ） A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个 C．的概率为 D．的概率为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】排列组合综合、计算古典概型问题的概率、判断随机试验中的随机变量 【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D可以列一列再研究. 【详解】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确； B，若，则先从1，2，3，4，5，6中随机选出3个数，共有种不同的方法， 再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法， 则满足的排列有个，所以B错误； CD，因为，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 共有10种不同的情况，则的概率为，所以C正确； 的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 重难点题型2 求离散型随机变量的分布列 求解离散型随机变量分布列的步骤： （1）审题 （2）计算 计算随机变量取每一个值的概率 （3）列表 列出分布列，并检验概率之和是否为. （4）求解 根据均值、方差公式求解其值. 1．某同学参加3门课程的考试．第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该学生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0 1 2 3 则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、独立事件的乘法公式 【详解】由分布列性质，． 由的概率可得 由的概率可得，结合． 所以解得，． 所以． 2．设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 3．随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可. 【详解】根据题意，由分布列可得： 解得：. 故选:A 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，从中随机不放回地取球，每次抽取个，记为取完某一种颜色所有的球所需的次数，则________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】通过穷举出所有可能的取球情况，根据要求进行概率的求解计算. 【详解】因为有个红球，个白球，从中随机不放回地取球，即取完最多需要次，最少需要次，所以可取， 当时，即取出个红球，， 当时，即取出2个红球与1个白球，且第三次取红球，或取出3个白球，， 当时，即取出2个红球与2个白球，且第四次取红球，或取出3个白球与1个红球，第四次取白球，， 所以. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设随机变量 的概率分布为 ，为常数，，则 ____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】由离散型随机变量所有可能取值的概率之和为，建立关于的方程并求解即可. 【详解】由，， 可得： 所以，即 解得. 6．（2026·天津和平·三模）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【答案】 /0.5 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】①利用条件概率公式求解即可；②求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】①设事件为“第二次取出的球为黄球”，设事件为“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的球为黄球”与“第一次取出的球不是黄球”，两种情况，故， 事件为“第二次取出的是黄球且第三次取出的是红球”，可分为“第一次取出的是黄球”或“第一次取出的是白球”或“第一次取出的是红球”， 所以，所以， 所以第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为. ②的可能取值为，，， ， , ， 所以的分布列为： 所以. 重难点题型3 离散型随机变量的分布列的性质 离散型随机变量的分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确． 1．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）因为甲乙投篮结果相互独立，所以可利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，分别计算甲获胜的每种情况的概率再求和. （2）先确定随机变量X的所有可能取值，利用独立事件概率乘法公式计算每个组合的概率，求出分布列. 【详解】（1）记甲获胜为事件，其中分为三种情形， 情形一：甲得1分，乙得0分，概率为. 情形二：甲得2分，乙得0、1分，概率为. 情形三：甲得3分，乙得0、1、2分，概率为. 从而. （2） 的所有可能取值为. ， ， ， ， ， ， . 从而的分布列为 . 2．（2025·河南·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列为 0 1 2 3 【难度】0.62 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数为,人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为,人的概率，再根据“乙类组”的定义，计算出一个试用组为“乙类组”的概率； （2）先根据(1)的结果求出时，一个试用组为“乙类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用乙种药物治愈的有人”， 可得表示事件“一个试用组中，服用甲种药物治愈的有人”，. 由题意得， . 故一个试用组为“乙类组”的概率为. （2）由题意得在区间上单调递增，当取最大值时，， 此时一个试用组为“乙类组”的概率. 得到 可得的分布列为 0 1 2 3 由期望公式得 3．（2026·浙江·模拟预测）有一枚质地均匀的正方体骰子，其相对的两个面的点数相同，分别标有1点，2点，3点，现将这枚骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为． (1)求的值； (2)设随机变量，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)． (2) 2 3 4 5 6 【难度】0.82 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式、独立事件同时发生的概率公式求解即可； （2）求出所有可能值对应的概率，列出分布列，根据期望公式得解. 【详解】（1）因为与相互独立，且每次掷出的点数出现的概率都相等， 所以， 因此，的值为． （2）随机变量取值的所有可能结果为：2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， 因此的分布列为： 2 3 4 5 6 ． 4．（2026·浙江·模拟预测）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． (1)求他可获得证书的概率； (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)随机变量的分布列为 2 3 4 ． 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）理论考试和实操考试各有两次机会，分别求出至少一次合格的概率，两者相乘即得获得证书的概率； （2）分析的所有可能取值，逐一列举每种取值对应的所有考试结果组合，利用独立性和互斥性计算概率，最后求期望． 【详解】（1）设理论考试合格为事件，实操考试合格为事件， 理论考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 实操考试有两次机会，至少一次合格的概率为：， 因为只有理论合格后才能参加实操，所以获得证书的概率为： （2）设“第一次理论考试合格”为事件，“理论考试补考合格”为事件； “第一次实操考试合格”为事件，“实操考试补考合格”为事件； 由已知得，， 注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 ， ， ， 所以，随机变量的分布列为 2 3 4 参加考试次数的期望值． 5．（2026·云南昆明·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数的分布列和数学期望； (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)分布列为 0 1 2 数学期望为； (2) 【难度】0.61 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分别求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （2）中奖2次的人数，从而得到不等式组，求出答案 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则的取值为0，1，2， ，即两次抽奖均未中奖，两次抽到的均是1个红球，1个白球， 则， ，第一次抽到两个红球或两个白球，第二次抽到一个红球，一个白球 或第一次抽到一个红球，一个白球，第二次抽到两个红球或两个白球， 则， ，第一次抽到2个红球，第二次也抽到2个红球，此时概率为， 第一次抽到2个红球，第二次抽到2个白球，此时概率为， 第一次抽到2个白球，第二次也抽到2个白球，此时概率为， 第一次抽到2个白球，第二次抽到2个红球，此时概率为， 故， 则的分布列为 0 1 2 所以； （2）设300位顾客中奖2次的人数，， 令， 所以 得，又，故. 6．（2026·福建漳州·模拟预测）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【答案】(1)的分布列为： X 0 1 2 P (2) 【难度】0.62 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意求出随机变量X的所有取值，利用古典概型概率计算公式依次求出取每个值的概率即可，再利用数学期望的计算公式求解. （2）本题属于条件概率，分别求出第一次摸到的球是红球的概率，第一次摸到的球是红球并且第二次摸到的球也是红球的概率，利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】（1）X的所有取值为0,1,2. . . . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 数学期望. （2）设事件“第一次摸到的球是红球”,事件“第二次摸到的球是红球”. . 所以. 所以已知第一次摸到的球是红球，第二次摸到的球也是红球的概率为. 7．（2026·山东济南·模拟预测）2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. (1)救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【难度】0.87 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【详解】（1）设事件“至少1架投送成功”，则事件“2架投送全部失败”， 可得，故. （2）由题意得， 即得的分布列为. 用表格表示的分布列，如下表所示. 0 1 2 3 由期望公式得 重难点题型4 离散型随机变量的均值 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【详解】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即 ； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 2．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】交换后甲部门红人数的变化取决于从甲选出的员工和从乙选出的员工颜色，分四种情况：甲出红、乙出红；甲出红、乙出蓝；甲出蓝、乙出红；甲出蓝、乙出蓝，由此得分布列，随即可计算期望. 【详解】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工， 由已知的可能取值为，，. ，，， 所以. 3．（2026·山东·一模）已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解，再进行计算即可. 【详解】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以. 故选：D. 4．（2025·甘肃金昌·二模）已知随机变量的分布列如下： X 1 2 3 0.4 则数学期望（    ） A．0.8 B．1.4 C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出，利用期望公式得到答案. 【详解】由题意，，所以， 所以. 故选：D. 5．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】应用全概率公式计算求解，先写出可以取的概率，再应用数学期望公式计算求解. 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 6．（2026·浙江宁波·二模）已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 【答案】6 【难度】0.5 【知识点】实际问题中的组合计数问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意得到随机变量的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8， 其概率为，， 所以期望 . 7．（2026·河北张家口·一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则的数学期望______． 【答案】 【难度】0.5 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【详解】由题设，每次抽取的概率为，抽取的概率为，抽取的概率为. 可取， 当时，4次中有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次， 故， 当时，4次中有一个元素抽到4次，故， 故， 故的分布列如下： 故. 8．已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为______ ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据题意，由的分布列可得的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，计算可得答案． 【详解】根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足， 则， 若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡， 则该溶液能够导致生物死亡的概率． 故答案为：． 重难点题型5 离散型随机变量的方差 1．（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知， 若，则，得， 故充分性满足； 若，则，解得或. 当时，，此时， 当时，，此时， 则或，故必要性不满足. 故选：A. 2．设，随机变量的分布列为 0 1 2 P b 则当在内增大时（    ） A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】根据随机变量分布列的性质可知，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以单调递增， 故选：A 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设，随机变量X的分布列是 X 0 1 P b 则当a在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列求解b的值，然后根据分布列计算随机变量的均值和方差，结合二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以． 因为， 所以， 所以当时，a增大增大， 当时，a增大减小． 故选：C. 4．（2025高三下·浙江绍兴·学业考试）一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】列出随机变量和的分布列，分别计算出的值，结合，可以判断出和大小关系，选出正确答案. 【详解】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示： 0 1 P 所以有, ， 随机变量的分布列如下图所示： 0 1 P ， ， 因为，所以，因此有，故本题选D. 【点睛】本题考查了随机变量的分布列、数学期望和方差的计算，考查了数学运算能力. 5．（2026·河南·模拟预测）（多选题）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.76 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 6．（2026·河北沧州·二模）（多选题）设随机变量的分布列为（，2，为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【详解】由题可知，，， 所以，得，即，， 所以，，， 则. 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选题）离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（    ） 2024 2025 A． B．服从两点分布 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】两点分布、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列的性质，可得判定A正确；根据二点分布的定义，可判定B错误；根据分布列的期望和方差的计算公式，可判定C、D正确. 【详解】对于A中，由分布列的性质，则满足，所以A正确； 对于B中，根据二点分布知，随机变量的取值为和，所以B不正确； 对于C中，由期望的公式，可得， 因为，所以，即，所以C正确； 对于D中，由方差的公式，可得 ，即，所以D正确. 故选：ACD. 8．（2025·广东·模拟预测）（多选题）已知随机变量X和Y的分布列如下，X与Y的取值互不影响，则（    ） X -1 0 1 Y 0 1 2 P P A．存在a，使得 B． C．若Y服从二项分布，则 D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】根据分布列的性质先求出的取值范围；对于A，依题意，据此求出，判断是否满足所求即可；对于B，分别求出，再作差比较即可；对于C，根据二项分布的均值，求出即可；对于D，先列出的所有可能取值，再求的均值，然后比较大小即可. 【详解】由已知得且，解得． 对于A，因为X，Y的取值互不影响，所以， 所以，所以，不符合条件，故A错误； 对于B，，，，故B错误； 对于C，设，则，得，再由，可得，故C正确； 对于D，，，，，， 所以，又， 所以，故D正确． 故选：CD. 重难点题型6 决策问题 1．（2026·山东·模拟预测）数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 【答案】(1) （i）； （ii） (2)选方案一 【难度】0.59 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率；（ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解； （2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论. 【详解】（1）（i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项， 记事件为该题他得到6分，则， 那么该题他得到6分的概率为； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数， 因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 则，， ，， 令，解得； （2）记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ， ，， 方案一的得分的分布列为 0 4 6 所以. 执行方案二得分的可能取值为0、6， ， ， 方案二的得分的分布列为 0 6 所以. 所以，成立， 故选方案一. 2．（2026·河北·模拟预测）某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． (1)从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； (2)研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； (3)研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 (3)甲方案更优秀 【难度】0.56 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的方差 【分析】（1）分别计算总基本事件和符合条件的事件数，再计算概率； （2）每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布，求出相应概率列出分布列，并求出数学期望； （3）根据综合得分公式，分别计算两种方案的期望与方差，进而比较得分大小得出结论． 【详解】（1）从台机器人中随机抽3台，总事件数为：， 恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的事件数为：, 则概率为：． （2）每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布， 的可能取值为，则： ； ； ； ； 分布列为： 0 1 2 3 数学期望： ． （3）已知综合得分公式：，S越大，方案越优秀， ①甲方案：完成台数满足， 当时失败，此时，收益为； 当时合格，此时，收益为； 当时完美，此时，收益为； 期望； 方差：； ， 则甲的综合得分：； ②乙方案：完成台数满足， 单轮至少２台完成的概率：，则单轮不超过1台的概率为， 两轮均，即完美的概率：，收益4； 一轮，一轮，即合格的概率：，收益2； 两轮，即失败的概率：，收益； 期望； 方差：， 则乙的综合得分：， ， 甲方案更优秀． 3．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 【答案】(1)采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率 (2)①；② 0 1 2 3 【难度】0.6 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出方案一、方案二乙获胜的概率，再比较大小即可. （2）①利用条件概率公式计算得解；②求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）当时，每局比赛乙队获胜的概率为， 采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况：胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率； 采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况：胜、胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率， 而，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率. （2）①当时，甲队最终获胜的事件为，五局三胜制下甲获胜分三种情况：胜、胜和胜， ， 比赛恰好进行了四局的事件为，则， 所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为. ②甲队得分的所有可能取值为， ，即乙以或胜甲，； ，即乙以胜甲，； ，即甲以胜乙，； ，即甲以或胜乙，， 所以的分布为 0 1 2 3 期望. 4．（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)的分布列为 0 1 2 (3)应选择方案二 【难度】0.76 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据频率分布表解决实际问题、用平均数的代表意义解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据表格中数据结合频率、频数之间的关系运算求解； （2）分析可知随机变量的可能值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （3）以区间的中间值作为估计值，结合题意分别求两种方案的得分平均数，进而对比分析. 【详解】（1）因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. （2）因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的期望为. （3）方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $