第2章 第15讲 函数的零点与方程的解(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据课程标准覆盖函数零点定义与关系、零点存在定理、二分法三大核心考点，通过教材梳理夯实基础，考点探究分零点区间判定、个数判定、应用三个维度，结合近5年高考真题分析考点权重，归纳出定理法、图象法等常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+方法归纳+素养提升”，如以2025天津卷零点区间题为例，用单调性分析和零点存在定理突破，培养数学思维与几何直观，总结零点个数判断的直接法、定理法等技巧，帮助学生掌握分类讨论和数形结合能力，教师可据此精准教学，助力学生高效备战高考。

第15讲　函数的零点与方程的解 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.　 3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的零点 x轴有公共点 f(x)＝0 零点 微提醒　(1)零点存在定理只能判定零点存在，不能确定零点个数.若函数y＝f(x)在某区间上是单调函数，又满足零点存在定理，则该函数在该区间上有唯一一个零点. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在区间(a，b)上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示.所以f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件. 　 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且_____________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间__________，使所得区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)＜0 一分为二 零点 常用结论 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点. 4.奇偶函数若存在非零零点，则成对出现且互为相反数. 自测诊断 1.(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有 A.若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B.若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C.若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D.若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 √ √ √ 取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为［，］，满足f()f()＝×(－)＝－＜0，但是f(x)在［，］内存在三个零点π，2π，3π，B错误；根据零点存在定理可知，D错误.故选ABD. 2.(链接人教A必修一P155T1)下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是 √ 3.(链接人教A必修一P144T2)函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是 A. B. C.(，1) D.(1，2) √ 返回 4.(链接人教A必修一P155T8)已知函数f(x)＝则f(x)的零 点为________. 由题意得，解得x＝－2或x＝e. －2，e 考点探究　能力提升 返回 考点一　函数零点所在区间的判定 自主练透 1.根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为 A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) √ x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＞0，f(4)＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)至少存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4).故选C. x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 易知f(x)单调递减，又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f＝0.30.5－＝－＜0，所以f(x)的零点所在区间是.故选B. 2.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是 A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) √ 设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，f＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)＜0，由函数零点存在定理可知，－1＜x1＜0.设函数g(x)＝x＋log2x，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g＝－，g(1)＝1，即gg(1)＜0，由函数零点存在定理可知，＜x2＜1.设函数h(x)＝－log2x，易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝，h＝0.因为h(1)＞h(x3)，由函数单调性可知，x3＞1，即－1＜x1＜0＜x2＜1＜x3.故选A. 3.已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0，－log2x3＝0，则 A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3 C.x1＜x3＜x2 D.x2＜x3＜x1 √ 因为函数f(x)＝－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，又函数f(x)的零点位于区间(m，m＋1)上.m∈Z，所以m＝－2. 4.已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝______. －2 函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法：利用函数零点存在定理进行判断.适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形. 2.图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.适用于容易画出函数图象的情形. 规律方法 考点二　函数零点个数的判定 师生共研 当x≤0时，令g(x)＝－＝0，解得x＝1，舍去；当x＞0时，令g(x)＝｜log2x｜－＝0，解得x＝或x＝，满足x＞0，所以x＝或x＝.综上，函数g(x)＝f(x)－的零点个数为2.故选C. 典例1 (1)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ ≤ ＞ 法一：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B. 法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内， 两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点.故选B. (2)(一题多解)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由奇函数可知f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数.又由f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜log9x｜与函数y＝f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.故选C. (3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝｜log9x｜的实根的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 令f(x)＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0.因为函数的最小正周期为2，所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.故选B. 函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 教师备选 √ 函数零点个数的判断方法 1.直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点. 2.定理法：首先确定函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. 3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 规律方法 根据题意，知当x∈[－2π，0)时有2个交点；当x＝0时，有1个交点；当x∈(0，2π]时没有交点，因为ex－1≥x≥sin x，所以此时没有交点；综上，当x∈[－2π，2π]时，曲线y＝sin x与y＝｜ex－1｜的交点个数为3.故选C. 对点练1.(2025·安徽合肥六校联考)当x∈[－2π，2π]时，曲线y＝sin x与y＝｜ex－1｜的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域是[－6，6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，由36－x2＝0得x＝±6.由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z.又x∈[－6，6]，所以x的取值为－，－，，.故f(x)共有6个零点. 对点练2.函数f(x)＝·cos x的零点个数为_____. 6 考点三　函数零点的应用 多维探究 典例2 角度1　根据函数零点个数求参数的取值范围 (一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P160T4)已知函数f(x)＝ 求使方程f(x)＝k(k＜0)的实数解个数分别为1，2，3时k的相应取值范围. 解：作出f(x)的图象如图，方程f(x)＝k(k＜0)的实数解的个数等于直线y＝k与y＝f(x)图象的交点个数. 因为f(x)＝ 当x≤0时，f(x)＝x2＋2x－3＝－4，函数在上单调递减，在上单调递增，f(x)min＝f＝－4，f＝－3. 当x＞0时，f(x)＝－2＋ln x，函数在上单调递增. 所以当实数解的个数为1时，k＜－4； 当实数解的个数为2时，－3＜k＜0或k＝－4； 当实数解的个数为3时，－4＜k≤－3. 变式探究 1.(变条件)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函数g(x)存 在2个零点，则实数a的取值范围是___________. (数智赋能辅助) [2，＋∞) 由函数f(x)＝因为g(x)＝f(x)－x－a，令g(x)＝0，即f(x) ＝x＋a.由函数g(x)有2个零点，即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示， 结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞). 2.(变条件)已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_________. 易知函数y＝2x3＋3x2＋m在[0，1]上单调递增，因为函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，所以f(x)在区间[0，1]和(1，＋∞)上与x轴 分别有一个交点，故m＜0，故得－5＜m＜0.故实数m的 取值范围是(－5，0). (－5，0) 3.(变条件)已知a∈R，函数f(x)＝在R上没有零点，则实数a的取值范围是________________. 当x≤0时，0＜ex≤1，若关于x的方程ex＝a无解，则a≤0或a＞1；当x＞0时，ln(x＋1)＞0，若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解，则a≥0.综上，实数a的取值范围是(1，＋∞)∪{0}. (1，＋∞)∪{0} 角度2　根据函数的零点范围求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)＝log2－＋m在区间(1，3]上有零点，则实 数m的取值范围是 A. B.∪ C.∪ D. √ 典例3 ＋ 因为函数y＝log2，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，因为函数f(x)＝log2－＋m在区间(1， 3]上有零点，则解得－≤m＜0.因此，实数 m的取值范围是.故选D. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈ (－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝ A.－1 B. C.1 D.2 由题意知f(x)＝g(x)，则a－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a－1.令h＝cos x－a＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在 (－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D. √ 角度3　 探究函数多个零点(方程根)问题 (多选)已知函数f(x)＝ 若f(x)＝a有四个不同 的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是 A.0＜a＜1 B.x1＋2x2∈ C.x1＋x2＋x3＋x4∈ D.2x1＋x2∈ 典例4 √ √ √ 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示. 由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；因为｜log2x1｜＝｜log2x2｜，即－log2x1＝log2x2，则＝x2，所以x1＋2x2＝＋2x2，1＜x2＜2.因为y＝＋2x2在(1，2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误；因为x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2， y＝＋x2在(1，2)上单调递增，所以＋x2∈，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈，故D正确.故选ACD. 1.利用函数零点求参数范围的方法 规律方法 2.等高线问题 求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，处理策略为： (1)重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系. (2)合理运用函数的对称性是减元的重要途径. 规律方法 对点练3.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是 A.(0，3) B.(1，3) C.(1，2) D.[2，＋∞) 因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增.由函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)·f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)＜0，解得0＜a＜3.故选A. √ 对点练4.已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是____________. 函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a＜b＜c，可知a＋b＝1，而1＜c＜2 026，所以2＜a＋b＋c＜ 2 027. (2，2 027) 已知函数f(x)＝若f(x)＝m存在四个不相等的实数根 x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x4－(x1＋x2)x3的最小值为______. 教师备选 2e 作出函数f(x)＝的图象与直线y＝m如图所示.因为f(x)＝m 存在四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，所以x1＋x2＝ －2，1＜x3＜e＜x4＜e2，且1－ln x3＝－(1－ln x4)，则ln x3＋ln x4＝2，即ln x3x4＝2，得x3x4＝e2，则x4－(x1＋x2)x3＝x4＋2x3≥2＝2e，当且仅当x4＝2x3，即x3＝e，x4＝e时等号成立.故x4－(x1＋x2)x3的最小值为2e. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是 A.2 B.(2，0) C.－2 D.2或－1 √ 令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故 选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)＝23－x－x＋1，在下列区间中，包含f(x)零点的是 A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) √ 由函数y＝23－x＝23·2－x＝8·为减函数，y＝－x＋1也为减函数，所以 函数f(x)＝23－x－x＋1为连续递减函数.因为f(2)＝2－2＋1＝1＞0，f(3)＝1－3＋1＝－1＜0，所以f(2)f(3)＜0，由零点存在定理可得函数f(x)＝23－x－x＋1的零点所在区间为(2，3).故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为 A.[1，2]或[2，3]都可以 B.[2，3] C.[1，2] D.不能确定 √ 设f(x)＝2x＋x－8，则f(1)＝2＋1－8＝－5＜0，f(5)＝25＋5－8＝29＞0，第一次取x1＝＝3，有f(3)＝23＋3－8＝3＞0，故第二次取x2＝＝2，有f(2)＝22＋2－8＝－2＜0，故此时可确定近似解所在区间为[2，3].故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示.由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(2025·湖南长沙二模)若函数f(x)＝＋m－1至少有一个零点，则实数m的取值范围是 A.m＜1 B.m≥1 C.0≤m＜1 D.0≤m≤1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝＋m－1有零点，则方程(＋m－1＝0有实根，即(＝1－m有实根，因此函数y＝(的图象与直线y＝1－m有交点， 而函数y＝(是R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，函数y＝(的值域为(0，1].在同一坐标系内作出函数y＝(的图象与直线y＝1－m，如图.观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝(的图象与直线y＝1－m有交点，所以实数m的取值范围是[0，1).故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(2025·浙江杭州一模)设f＝ex＋ln x，满足fff＜0.若函数f存在零点x0，则 A.x0＜a B.x0＞a C.x0＜c D.x0＞c √ 函数f＝ex＋ln x的定义域是{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为单调递增函数，故函数f＝ex＋ln x是增函数.由于0＜a＜b＜c，故f＜f＜f，满足fff＜0，说明f，f，f中有1个负数f或3个均为负数，由于f存在零点x0，故x0＞a.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是 A.f(x)＝x2－2x－8 B.f(x)＝－2 C.f(x)＝2x－1－1 D.f(x)＝1－ln(x＋2) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，因为x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，所以f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误；对于B，因为f(x)＝－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2＜0，f(3)＝8－2＝6＞0，即f(－1)f(3)＜0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，因为f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－＜0，f(3)＝3＞0，即f(－1)f(3)＜0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确；对于D，因为f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1＞0，f(3)＝1－ln 5＜0，即f(－1)f(3)＜0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)已知x1，x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零点，则 A.－x2＝0 B.log2x1＋log2x2＝0 C.x2＞2 D.·log2x2＝1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由题意知，f(x)的零点为函数y＝2x与函数y＝图象交点的横坐 标；g(x)的零点为函数y＝log2x与函数y＝图象交点的横坐标. 由y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，y＝的图象关于 直线y＝x对称，作y＝2x，y＝log2x，y＝的图象如图所示，所 以点(x1，)与点(x2，log2x2)关于直线y＝x对称，即－x2 ＝0，·log2x2＝1，log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0，故A、B、D正确；若x2＞2，即x2＝＞2⇒x1＞1，此时x1x2＞2，与x1x2＝1矛盾，故C错误.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多题同解)(1)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1＜x＜10)有零点，则实数a的取值范围是____________. 因为函数y＝x＋a，y＝lg x均在(1，10)上单调递增，所以f(x)＝a＋x＋lg x在(1，10)上单调递增.若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1＜x＜10)有零点，则 解得－11＜a＜－1. (－11，－1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)若函数f(x)＝恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ____________. 当x≥1时，f(x)的零点为1，则当x＜1时，f(x)必有一个零点，y＝2x－a为一次函数，单调递增，故需2－a＞0，即a＜2. (－∞，2) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.已知定义域是R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＝－f(x)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为_______. 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数.因为f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在[－2，0]上单调递减，取x＝－1，则f(1)＝－f(－1)，则f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x)在一个周期内有两个零点，故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100. 100 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.(2025·山东济南四诊)函数f(x)＝｜2x－m｜－｜ln x｜有且只有一个零点，则m的取值可以是 A.1 B.2 C.e D.3 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 f(x)＝｜2x－m｜－｜ln x｜＝0⇔m－2x＝ln x或m－ 2x＝－ln x，显然h＝2x＋ln x单调递增.令g＝ 2x－ln x，，则g'＝2－，当0＜x＜时， g'＜0，g单调递减，当x＞时，g'＞0，g 单调递增，所以g＝g＝1＋ln 2，注意到h＝g ，而2＞1＋ln 2，所以在同一平面直角坐标系中作出h，g的图象如图所示.由题意可知m＝h，m＝g的根的个数之和为1，所以m＜1＋ln 2，对比选项可知m的取值可以是1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(2025·河南洛平许济二模)已知函数f＝若a＜b＜c，且 f＝f＝f，则cf的取值范围是 A. B. C. D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f＝当x＞0时，f＝＝所以f 上单调递增，在上单调递减，且f＝f＝1；当x≤0时f＝2x，所以f上单调递增，且f＝1，所以f的图象如下所示. 又a＜b＜c，且f＝f＝f，不妨令f＝f＝f＝t，结合图象可知0＜t≤1且a≤0＜≤b＜1＜c≤e，即0＜f≤1，所以0＜cf≤e，即cf.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知函数f(x)＝｜lg x｜－kx－2，给出下列四个结论，其中正确的是 A.当k＝0时，f(x)恰有2个零点 B.存在负数k，使得f(x)恰有1个零点 C.存在负数k，使得f(x)恰有3个零点 D.存在正数k，使得f(x)恰有3个零点 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 令f(x)＝｜lg x｜－kx－2＝0，得｜lg x｜＝kx＋2，令g(x)＝｜lg x｜，h(x)＝kx＋2，所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.当k＝0时，如图①，g(x)与h(x)的图象有2个交点，则f(x)有2个零点，故A正确；当k＞0时，如图②，存在h(x)＝k0x＋2的图象与函数g(x)＝｜lg x｜(x＞1)的图象相切的情况，此时h(x)与g(x)的图象有2个交点，当0＜k＜k0时，g(x)与h(x)的图象有3个交点，则f(x)有3个零点，故D正确；当k＜0时，如图③，g(x)与h(x)的图象最多有2个交点，g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点，如图④，故B正确，C不正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.已知定义域是R的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝ e1－x－1，则方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为______. 8 因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2 的周期函数.令g(x)＝，它的图象也关于直线x＝1对称，作出函 数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2＝8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(新定义)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是 A.f(x)＝2x＋x B.f(x)＝x2－x－3 C.f(x)＝＋1 D.f(x)＝｜log2x｜－1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；对于B，若f(x0)＝x0，则－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝ －1，故该函数是“不动点”函数；对于C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 故该函数是“不动点”函数；对于D，若f(x0)＝x0，则｜log2x0｜－1＝x0，即｜log2x0｜＝x0＋1，作出y＝｜log2x｜与y＝x＋1的函数图象，如图.由图可知，方程｜log2x｜＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使得｜log2x0｜－1＝x0成立，故该函数是“不动点”函数.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(2025·山东淄博一模)已知函数f＝若存在实 数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f＝f＝f，则x1f＋x2f＋x3f的取值范围是 A. B. C. D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 函数f(x)的图象如图所示. 令x＝＋kπ，解得x＝2k＋1，故当x∈ 时，对称轴为直线x＝1，则x2＋x3＝2.因为f＝f＝ f，所以x1f＋x2f＋x3f＝f.又因为 f＝－x1＋1，x1f＋x2f＋x3f＝f＝ ＝－－x1＋2＝－＋.由f＝－x1＋1∈可得x1∈，则－≤x1＋＜，则0≤≤，所以x1f＋x2f＋x3f＝－＋∈.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝的图象如图所示， (多选)已知函数f(x)＝ 若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2) ＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是 A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1 C.1＜x4＜4 D.0＜x1x2x3x4≤2 教师备选 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知｜log2x3｜＝｜log2x4｜，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈(0，4)，则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜－2，当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0，4)，故D错误.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 函数的零点与方程的解 $