第2章 第13讲 对数函数(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“对数函数”专题，依据课程标准梳理了概念、图象性质、反函数三大核心考点，对接高考评价体系分析了比较大小、解对数不等式、复合函数单调性等高频题型，通过教材梳理与考点探究构建完整知识网络，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题训练+规律总结+素养提升”的复习策略，如以2020全国Ⅲ卷比较对数值大小题为例，运用“中间量法”“换底公式”突破考点，培养学生数学思维；通过复合函数单调性“同增异减”原则，训练用数学语言表达解题过程。特设易错点警示和分层测评，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

第13讲　对数函数 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.通过具体实例，了解对数函数的概念.　 2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　 3.知道对数函数y＝logax与指数函数互为反函数y＝ax(a＞0，且a≠1). 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是___________. (0，＋∞) 2.对数函数的图象和性质 项目 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：___________ 值域：R 过定点________，即x＝1时，y＝0 (0，＋∞) (1，0) 微提醒　y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象只在第一、四象限，即在直线x＝0的右侧.　 项目 a＞1 0＜a＜1 性质 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________ 增函数 减函数 3.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数__________(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线_________对称. y＝logax y＝x 常用结论 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y＝logax与y＝x(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象，则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 自测诊断 1.(链接人教A必修一P133例3)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.c＜b＜a √ 因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且2＜π＜，所以c＞b＞1.又a＝log32＜1，所以a＜b＜c.故选A. 由lo(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1，所以＜x≤1.所以函数y＝. 2.已知函数y＝loga－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________. (4，－1) 3.(链接人教A必修一P140习题4.4T1)函数y＝的定义域是__________. 返回 4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝_______. 由题意得，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1).因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，所以f(x)＝log2x. log2x 考点探究　能力提升 返回 考点一　对数函数的图象及应用 师生共研 (1)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝lox的图象可能是 典例1 √ 因为lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，所以ab＝1，所以a＝，所以g(x)＝lox＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝lox互为反函数，所以函数f(x)＝ax与g(x)＝lox的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性.故选B. f(x)＝｜log2x｜的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，所以0＜a＜1，b＞1且ab＝1，所以a2＜a，当a2≤x≤b时，由图知，f(x)max＝f(a2)＝｜log2a2｜＝－2log2a＝2，所以a＝，所以b＝2.所以＋b＝4. (2)已知函数f(x)＝｜log2x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝____. 4 对数函数图象的识别及应用 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 注意：对于函数f(x)＝｜logax｜(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)，则必有mn＝1.[属于等高线问题，第15讲重点讲] 规律方法 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab).由函数图象可知－1＜logab＜0，解得＜b＜1.综上0＜＜b＜1.故选A. 对点练1.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是 A.0＜a－1＜b＜1 B.0＜b＜＜1 C.0＜b－1＜a＜1 D.0＜a－1＜b－1＜1 √ 画出f(x)＝｜log3x｜的图象如图所示，因为a＜b， 且f(a)＝f(b)，所以－log3a＝log3b，故＝b，且0＜ a＜1.令y＝a＋4b，所以y＝a＋.由对勾函数的性 质可知y＝a＋在(0，1)上单调递减，故y＝a＋＞1＋＝5，故a＋4b的取值范围是(5，＋∞).故选D. 对点练2.已知函数f(x)＝｜log3x｜，若a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是 A.[2，＋∞) B.(2，＋∞) C.[5，＋∞) D.(5，＋∞) √ 考点二　对数函数的性质及应用 多维探究 因为a＝log323＜log39＝＝c，b＝log533＞log525＝＝c，所以a＜c＜b.故选A. 角度1　比较对数值的大小 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则 A.a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 典例2 √ 溯源教材6 溯源 (人教A必修一P133例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5；(2)lo1.8，lo2.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1). 透视 本高考题是教材例题的拓展，由于a和b的底数不同，故不能直接利用单调性比较大小，需变形后比较大小，而变形比较的过程中应用了函数的单调性 预测 设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a 解析：a＝log23＝log2＝1＋log2＝1 ＋，b＝log812＝log8＝1＋log8＝1＋，c＝lg 15＝log10(10×)＝1＋log10＝1＋.因为0＜2＜lo8＜10，所以a＞b＞c.故选D. √ 由loga2＜logb2＜logc2，可知a，b，c有如下四种可能：①1＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a＜1.作出函数的图象(如图所示). 由图象可知B、C、D可能成立.故选BCD. (2)(多选)若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中可能成立的是 A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b √ √ √ 原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x＞1，所以x＝. 角度2　解简单的对数方程或不等式 (1)若log2(x－1)＝2－log2(x＋1)，则x＝_____. 典例3 (2)已知函数f(x)＝则不等式－3)＜4f(log2x)的解集为_______. 当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增.当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增.所以f(x)在R上是增函数，且4f(x)＝f(2x)，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8. (，8) 1.比较对数值大小的方法 规律方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 2.求解对数不等式的两种类型及方法 (1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 注意：有些对数型不等式也可用数形结合法解决. 规律方法 因为lo0.8＜lo0.8＜0，所以log0.8x2＜log0.8x1＜0＝log0.81.又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减，所以1＜x1＜x2.故选C. 对点练3.若lo0.8＜lo0.8＜0，则x1与x2的关系正确的是 A.0＜x2＜x1＜1 B.0＜x1＜x2＜1 C.1＜x1＜x2 D.1＜x2＜x1 √ logx(x＋2)＞1⇔①或②，①无解，②的解为x＞1，所以x＞1. 对点练4.(1)不等式logx(x＋2)＞1的解集为___________. (1，＋∞) 因为loga＜loga，当0＜a＜1时，则有＞，无解；当a＞1时，则有＜，解得a＞1，所以a＞1，所以由loga(2x－3)＞0，得2x－3＞1，x＞2. (2)若loga＜loga，则关于x的不等式loga(2x－3)＞0的解集为____________. (2，＋∞) f(x)＝log2x－x＋1的定义域是(0，＋∞)，f(1)＝log21－1＋1＝0，f(2)＝log22－2＋1＝0.由f(x)＜0可得log2x＜x－1，即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方， 画出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图，由图可知，不等式f(x)＜0的解集为(0，1)∪(2，＋∞). (3)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)＜0的解集为_________________. (0，1)∪(2，＋∞) 考点三　对数型函数的综合问题 师生共研 (多选)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a)，下列说法中正确的是 A.若f(x)的定义域是R，则实数a的取值范围是(－4，0) B.若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞) C.若a＝2，则f(x)的单调递减区间是(－∞，－1) D.若f(x)在(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是 √ √ √ 典例4 对于A，x2＋ax－a＞0对任意x∈R恒成立，即Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0，故A正确；对于B，x2＋ax－a≤0有解，因此Δ＝a2＋4a≥0，解得a≤－4或a≥0，故B正确；对于C，当a＝2时，f(x)＝lg(x2＋2x－2)，由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3＞0得x＜－1－或x＞－1＋，根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(－∞，－1－)，故C错误；对于 D，f(x)在(－2，－1)上单调递减，则解得a≤，故D正 确.故选ABD. 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 1.遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论. 2.底数与1的大小关系. 3.复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 规律方法 对点练5.(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是 A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0，2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2，0)对称 √ √ 对于A，函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0＜x＜4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，故A错误；对于B，f(x)＝log2(4x－x2)(0＜x＜4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B正确；对于C，因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，故C正确；对于D，因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故D错误.故选BC. (多选)关于函数f(x)＝lg，下列说法正确的有 A.f(x)的定义域是(－1，1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0，1)上单调递增 教师备选 √ √ √ 对于A，因为f(x)＝lg＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f(x)的定义域是(－1，1)，故A正确；对于B、C，因为f(－x)＝lg ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；对于D，因为y＝－1在(0，1)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lg在(0，1)上单调递增，故D正确.故选ACD. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是 A. B. C. D. √ 函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域满足即x∈［1，).故 选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.已知函数f(x)＝｜log2x｜，设a＝f()，b＝f()，c＝f(5)，则a，b，c的大小关系为 A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a √ 当x＞1时，函数f(x)＝｜log2x｜＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，而a＝f()＝log24＝2，b＝f()＝log23∈(1，2)，c＝f(5)＝log25＞2，所以b＜a＜c.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是 A.[－1，2] B.[0，2] C.[1，＋∞) D.[0，＋∞) √ 当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，所以x＞1.综上，x的取值范围是[0，＋∞).故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.函数y＝loga在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 函数y＝loga，故a＞0，且y＝9－ax为减函数，若0＜a＜1，则y＝logax为减函数，则函数y＝loga为增函数，故舍去；若a＞1，则y＝logax为增函数.因为函数y＝loga上是减函数，故9－3a≥0，a≤3.故实数a的取值范围是.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是 A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 √ 由图象可知0＜a＜1.令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c.由图象知0＜1－c＜1，所以0＜c＜1.故选BC. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 f(x)＝ln ，令＞0，解得x＞或x＜－，所以f(x)的定义域是∪.又f(－x)＝ln ＝ln ＝＝－ln ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln ＝ln(1＋)，令t＝1＋，t＞0且t≠1，所以y＝ln t.又t＝1＋上单调递减，且y＝ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；因为t＞0，且t≠1，所以y＝ln t的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.(开放题)(2025·山东潍坊一模)写出一个同时具有下列性质①②的函数f＝______________________________________________. ①f＝f＋f；②f在上是增函数. 对于函数f＝log2x，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②；对任意的x1、x2∈，f＝log2＝log2x1＋log2x2＝f＋f，满足①.故答案为：log2x(答案不唯一，形如f＝logax都可以). log2x(答案不唯一，形如f＝logax都可以) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.(类题同解)(1)(易错题)已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间［，］上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是________. 由题意得＜ a＜1.所以实 数a的取值范围是(，1). (，1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围是__________. 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. 所以实数a的取值范围是(0，］. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数. (1)求a的值与函数f(x)的定义域； 解：因为函数f(x)＝log2是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝， 解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)， 所以f(x)＝log2. 令＞0，解得x＜－1或x＞1， 所以函数f(x)的定义域是{x｜x＜－1，或x＞1}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立，求实数m的取值范围. 解：f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x＞1时，x＋1＞2，所以log2(1＋x)＞log22＝1. 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立， 所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为 A.－ B.－2 C.－ D.0 由题意知f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝－≥－.当log2x＝，即x＝时，函数取得最小值－.故选A. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.若不等式(x－1)2＜logax(a＞0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围是 A.(1，2] B.(1，2) C.(1，] D.(，2) √ 若0＜a＜1，此时x∈(1，2]，logax＜0，而(x－1)2＞ 0，故(x－1)2＜logax无解；若a＞1，此时x∈(1，2]， logax＞0，而(x－1)2＞0.令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2， 画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，若不等式(x－1)2 ＜logax在x∈(1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈ (1，2).故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； 解：因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域是(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若f(x)的最小值为0，求a的值； 解：若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. (3)若f(x)在区间[－1，1]上单调递增，求实数a的取值范围. 解：令g(x)＝ax2＋2x＋3，所以f(x)＝log4g(x). 当a＝0时，g(x)＝2x＋3在区间[－1，1]上单调递增，且g(x)＞0. 又y＝log4x在定义域上单调递增，所以函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增，所以a＝0符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当a＞0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得0＜a≤1. 当a＜0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是(－1，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为 A.e2 B.e C. D. √ 设y＝f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)，故ln y＝(1－ln x)ln x，x∈(1，e).令t＝ln x，x∈(1，e)，所以t∈(0，1)，则ln y＝－t2＋t＝－＋，t∈(0，1)，当t＝时，ln y＝－＋，故y的最大值为，即函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(新定义)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是__________. (2，] 因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，所以x＋m＞0在 [－2，2]上恒成立，所以m－2＞0，即m＞2.由局部奇函数的定义，存在x∈[－2，2]，使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)，即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2，2]，使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1.又因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]，所以m2∈[1，5]，即m∈[－，－1]∪[1，].综上，实数m的取值范围是(2，]. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 对数函数 $