第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性专题，依据课程标准梳理定义、几何意义、判断及应用等核心考点，对接高考评价体系，分析近五年真题中奇偶性求参数（如2023全国乙卷）、周期性转化求值（如2025全国一卷）等高频题型，归纳三大常考方向。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，以2023乙卷“已知偶函数求参数”为例，解析定义法与特殊值法培养推理能力，总结“定义域优先+性质转化”策略，设易错警示模块，帮助学生掌握得分技巧，教师可借分层测评精准定位学情，助力高效复习。

第8讲　函数的奇偶性、周期性 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.　 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.　 3.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数定义域关于原点对称 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于_____对称 关于______对称 等价形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0) f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. f(x＋T)＝f(x) 最小 常用结论 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)＝0. 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(｜x｜). (2)单调性与奇偶性的关系.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，即奇增增或奇减减；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，即偶增减或偶减增. (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (4)[教材知识纵向延伸]若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a). 2.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0). 3.常见奇、偶函数的类型 (1)f(x)＝ax＋(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－(a＞0且a≠1)，f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数. (2)f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)(a＞0且a≠1，b≠0)，f(x)＝loga(a2x＋1)－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝loga(a＞0且a≠1，b≠0)，f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)，f(x)＝loga(a2x－1)－x(a＞0且a≠1)为奇函数. (3)f(x)＝｜ax＋b｜＋｜ax－b｜为偶函数；f(x)＝｜ax＋b｜－｜ax－b｜为奇函数. 自测诊断 1.(多选)下列结论错误的是 A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0 B.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C.对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇 函数 D.若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期 √ √ √ 根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 2.(链接人教A必修一P84例6)下列函数是奇函数的是 A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝ln ｜x｜ D.y＝ √ 偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1，2]上单调递增，即有最小值为f(1)，最大值为f(2).故A正确.故选A. 3.(链接人教A必修一P101T9)若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上 A.单调递增，且有最小值f(1) B.单调递增，且有最大值f(1) C.单调递减，且有最小值f(2) D.单调递减，且有最大值f(2) √ 因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5. 4.(链接人教A必修一P203练习T4)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋4，则f(2 026)＝____. 5 返回 考点探究　能力提升 返回 考点一　函数奇偶性的判断 自主练透 对于A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于B，当x＝－1时，y＝0，而当x＝1时，函数无意义，故B也是非奇非偶函数；对于C，令y＝f(x)＝0，无论x取何值都满足f(－x)＝f(x)＝0.故选C. 1.下列函数为偶函数的是 A.y＝x2(x≥0) B.y＝(x－1) C.y＝0 D.y＝｜x｜(x≤0) √ 对于A，函数的定义域是{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称，f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域是R，关于原点对称， 且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数 定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选AC. 2.(多选)下列函数是奇函数的是 A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln ｜1＋x｜ √ √ 3.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 A.若恒有f(x2)＝－f(－x2)，则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则f(x)是奇函数 √ √ 对于A，若∀t∈R，当t＞0时，令t＝x2.因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)；当t＝0时，令t＝x2＝0.因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(0)＝－f(－0)，即f(0)＝0；当t＜0时，令t＝－x2，因为f(x2)＝－f(－x2)，所以f(－t)＝－f(t)，综上，∀t∈R，f(－t)＝－f(t)，所以f(x)是奇函数，故A正确； 对于B，在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得2[f(0)]2＝2f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，显然不符合f(－x)＝－f(x)，故B错误；对于C，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故C错误；对于D，对任意x，y∈R，总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，令x＝y＝0得f(0)＝0；令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0；令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(－1)＝0；令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故D正确.故选AD. 4.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； 解：由得－2＜x＜2，即函数f(x)的定义域是{x｜ －2＜x＜2}，关于原点对称. 因此f(x)＝＝lg， 所以f(－x)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数. (2)f(x)＝＋； 解：f(x)的定义域是{－1，1}，关于原点对称. 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)＝ 解：法一(定义法)：f(x)的定义域是{x｜x≠0}，关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)，所以f(x)是奇函数. 法二(图象法)：如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)是奇函数. 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法；(2)图象法；(3)性质法. 2.判断函数的奇偶性的关键点 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. 规律方法 考点二　函数奇偶性的应用 多维探究 因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝ ＝0.又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 典例1 角度1　已知函数的奇偶性求参数(高考超重点) (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 溯源教材4 溯源 (人教A必修一P161T12)对于函数f(x)＝a－(a∈R)， (1)探索函数f(x)的单调性； (2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 透视 高考题与教材习题考查角度完全相同，都是已知函数的奇偶性求参数值，此类问题的解法一般有两个：一是定义法，二是特殊值法.在2023年新课标Ⅱ卷进行了类似考查： (2023·新课标Ⅱ卷)若f＝·ln 为偶函数，则a＝ A.－1　　 B.0　　 C.　　 D.1 √ 透视 解析：因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f＝xln ，＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域是，关于原点对称.f＝ln ＝ln ＝ln ＝xln ＝f，故此时f为偶函数.故选B. 预测 (1)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数，则实数m＝____. 1 解析：设f(x)＝(2x－m·2－x)x5，若该函数为R上的偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)，即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5，整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0，所以1－m＝0，解得m＝1. (2)已知函数f(x)＝－ 为奇函数，则a＝_____. －1 解析：由题意知f(－x)＝－f(x)，即－＝－(－)，整理得＝1，所以解得a＝－1. 因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意. (2)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝____. 2 当x∈时，－x∈，f(－x)＝(－x)2－6x＋8＝x2－6x＋8.又因为f＋f＝0，所以－f＝x2－6x＋8，所以f＝－x2＋6x－8.故选C. 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1) 已知函数f满足f＋f＝0，当x∈ 时，f＝x2＋6x＋8，当x∈ 时，f＝ A.－x2＋6x＋8 B.x2＋6x＋8 C.－x2＋6x－8 D.x2－6x＋8 典例2 √ －x 设g(x)＝f(x)＋2 027＝x＋ln(－x)，则g(x)的定义域是[－2 026，2 026]，则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0，所以g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，因此g(x)min＋g(x)max＝0.又g(x)min＝f(x)min＋2 027＝m＋2 027， g(x)max＝f(x)max＋2 027＝M＋2 027，所以g(x)min＋g(x)max＝m＋2 027＋M＋2 027＝0，即M＋m＝－4 054. (2)已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－2 027(x∈[－2 026，2 026])的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. －4 054 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增.若f(2t－1)＋f(t)＜0，则实数t的取值范围是 A. B. C. D. 典例3 √ 因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)在[－2，0]上单调递增，所以f(x)在[－2，2]上单调递增.又f(2t－1)＋f(t)＜0，则f(2t－1)＜－f(t)，所 以f(2t－1)＜f(－t)，所以解得－≤t＜，故实数t的取 值范围是.故选D. (2)设函数f(x)＝ln(x2＋1)－，则满足f(x)＞f(2x＋1)的x的取值范围是 __________________________. f(x)＝ln(x2＋1)－，则f(x)的定义域是{x｜x≠0}.又f(x)＝f(－x)，故f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln(x2＋1)－.又y1＝ln(x2＋1)，y2＝－在(0，＋∞)上都单调递增，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上 单调递减.因为f(x)＞f(2x＋1)，所以解得－1＜x＜－，且x≠－，故x的取值范围是∪. ∪ 函数奇偶性的应用类型及解题策略 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值：求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.尤其对于“奇函数f＋常函数A”的“最大值M＋最小值N”问题时，有结论M＋N＝2A成立. 2.比较大小：利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 规律方法 3.利用奇偶性解不等式的步骤：转化、定性、去f、求解，即先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).当涉及f是偶函数时，常用f(x)＝f()，将问题转化到区间上求解. 规律方法 当x＞0时，－x＜0，则f＝a2－1＝－x－a＝－f，则 解得a＝1，此时f＝当x＜0时，－x＞ 0，所以f＝－x＋1＝－＝－f，符合题意.所以a＝1.故选C. 对点练1.若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝ A.0 B.－1 C.1 D.±1 √ 当x＞0时，f＝1－ex，－x＜0，f＝－1＝ex－1＝－f；当x＜0时，f＝e－x－1，－x＞0，f＝1－e－x＝－f；且当x＝0时，f＝0，所以f为奇函数，易知f为R上的递减函数，则f＋f＞0⇔f＞－f＝f⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为.故选A. 对点练2.(2025·山东济南一模)已知函数f＝则f＋f＞0的解集为 A. B. C. D. √ 考点三　函数的周期性 师生共研 当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－)＝1－＝－.故选A. 典例4 (1)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当 2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝ A.－ B.－ C. D. √ (2)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(0)＝2，则f(2 026)＝____. 因为f(x)f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝＝. 函数周期性的判定及应用 1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 规律方法 对点练3.若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，则f(2 027) ＝______. 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，将x用x－2代替，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(1).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，因此f(2 027)＝f(4×506＋3)＝f(3).在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)中，令x＝0，则f(3)＋f(1)＝f(1)，所以f(3)＝0，即f(2 027)＝0. 0 对点练4.设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为__________________________. 根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x).又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 返回 对点练5.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有_____个. 5 当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2.又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点. 课 时 分 层 测 评 返回 1.已知函数f(x)＝x3－，则f(x) A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 √ f(x)的定义域是{x｜x≠0}，f(－x)＝－(x3－)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，当x＞0时，y＝x3单调递增，y＝－单调递增.故函数f(x)＝x3－在x＞0时单调递增.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则 f(2 025)＝ A.－ B. C.－1 D.1 √ 由f(x＋3)＝得f(x)的周期T＝6，f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝.故 选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝x3－2 026sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)＝ A.0 B.1 C.2 D.不能确定 √ 由题意得a－4＋2a－2＝0，解得a＝2，由f(0)＝b＋2＝0，得b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3) √ 因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)已知f(x)＝cos 2 027x·g(x)为定义在R上的奇函数，则函数g的解析式可以为 A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x)＝＋ D.g(x)＝ln √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为f(x)＝cos 2 027x·g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是定义在R上的奇函数.对于A，定义域是(－1，1)，所以不满足题意；对于B，定义域是R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意；对于C，定义域是R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意；对于D，定义域为R，g(－x)＝ln，而g(－x)＋g(x)＝ln＋ln＝0，符合题意.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 026)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 027]内有1 013个零点 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A正确；f(2 026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 025)＝f(2 027)＝0，于是函数f(x)在[0，2 027]内有1 014个零点，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.(多题同解)(1)若f(x)＝(＋1)x2 027为偶函数，则a＝___. 函数f(x)＝(＋1)x2 027的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为偶函数，则g(x)＝＋1是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即(＋1)＋(＋1)＝－＋2＝0，所以a＋1＝2，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)(一题多解)若函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则a＝____. 法一：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝ －，即＝，所以＝＝，即x－ax＝ax，解得a＝. 法二：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＝－，整理解得a＝.经验证，当a＝时，f(x)是奇函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 法三：f(x)＝＝＝.因为y＝sin x是奇函数，又f(x)是奇函数，所以函数y＝e－ax＋e(1－a)x是偶函数，所以－a＋(1－a)＝0，解得a＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝_____. 因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为2，所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，故f(99)＋f(100)＝8. 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝ －f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； 解：证明：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； 解：当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， 所以f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， 所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4) ＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026). 解：f(0)＝0， f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.若函数f(x)＝m(ex－e－x)＋nln(x＋)＋1(m，n为常数)在[1，3]上有最大值7，则函数f(x)在[－3，－1]上 A.有最小值－5 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值－7 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设g(x)＝f(x)－1＝m(ex－e－x)＋nln(x＋)，因为＞＝ ｜x｜，所以x＋＞0恒成立，所以g(x)的定义域是R，关于原点对称.又g(－x)＝m(－ex)＋nln(－x＋)＝－m(ex－)＋nln ＝－[m(ex－)＋nln(x＋)]＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.因为f(x)在[1，3]上有最大值7，所以g(x)在[1，3]上有最大值6，所以g(x)在[－3，－1]上有最小值－6，所以f(x)在[－3，－1]上有最小值－5.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(多选)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，则函数f(x)满足 A.f(0)＝0 B.y＝f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x－1)＋f(x2－1)＞0的解集为{x｜－2＜x＜1} √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数，故B错误；对于C，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2).因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，所以f(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)＞0，可得f(x－1)＞－f(x2－1)＝f(1－x2).又函数f(x)在R上单调递减，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f(x－1)＋f(x2－1)＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f(x)＝. (1)求函数f(x)的表达式； 解：当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，因为f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－，因此f(x)＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)判断并证明函数f(x)在区间[0，1]上的单调性； 解：函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 证明如下：设x1，x2是[0，1]上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，易知当x∈[0，1]时，f(x)＝－， 于是f(x1)－f(x2)＝－－(－)＝. 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递减. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0. 解：因为偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒解得 a∈⌀， 所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.已知函数f(x)＝x3＋，若f(a)＋f(a－2 026)＝0，则实数a＝_______. 1 013 因为f(x)＝x3＋，定义域是R，所以f(－x)＝－x3－＝－f(x)，即f(x)为奇函数.因为f(x)＝x3＋在R上单调递增，若f(a)＋f(a－2 026)＝0，则f(a)＝－f(a－2 026)＝f(2 026－a)，所以a＝2 026－a，即a＝1 013. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.若函数f(x)＝log4(＋1)＋(x＋a)2满足f(｜x｜)＋｜x｜＝f(x)＋x，则a ＝_____. －1 函数f(x)满足f(｜x｜)＋｜x｜＝f(x)＋x，则y＝f(x)＋x是偶函数，所以f(x)－f(－x)＋2x＝0，即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0，所以a＝－1. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 函数的奇偶性、周期性 $