第2章 第7讲 函数的单调性与最值(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”专题，依据课程标准要求，系统梳理单调函数定义、单调区间、最值条件等核心考点，对接高考评价体系，明确单调性应用（比较大小、解不等式、求参数范围）为高频考点，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融入与分层训练设计，如以2023新课标卷求参数范围题为例，通过“定义法+导数法”突破单调性判断，培养数学思维与数学语言素养。特设易错点分析（如单调区间用“和”连接），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第7讲　函数的单调性与最值 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 微提醒　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.例如对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，].(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.　 单调递增 单调递减 2.函数的最大(小)值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃x0∈D，使得___________ (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃x0∈D，使得___________ 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 常用结论 1.函数单调性的两个等价定义 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则： (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在I上单调递增； (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在I上单调递减. 2.若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都单调递增(减)时，f(x)＋g(x)单调递增(减)； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 3.对于复合函数y＝f(g(x))，若u＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(u)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也是单调函数，则y＝f(g(x))在(a，b)上的单调性为“同增异减”. 4.(1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调性：在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减. (2)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的单调递增区间是(－∞，－］和［，＋∞)，单调递减区间是［－，0)和(0，］. 自测诊断 1.(多选)下列结论错误的是 A.因为f(x)在[－3，2]上是增函数，则f(－3)＜f(2) B.函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C.若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) √ √ √ 2.(多选)(链接人教A必修一P86T3)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是 A.y＝－x B.y＝x2－x C.y＝－x2－2x D.y＝ex √ √ 3.(链接人教A必修一P81例5)函数f(x)＝在区间[1，5]上的最大值为____，最小值为____. 3 返回 4.(链接人教A必修一P86T7(1))函数y＝的单调递减区间是_____________. 根据题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x≥0，解得x≤ －2或x≥0.又由t＝x2＋2x在(－∞，－2]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－2]. (－∞，－2] 考点探究　能力提升 返回 考点一　函数的单调性 多维探究 由x2－2x－8＞0，得f(x)的定义域是{x｜x＞4，或x＜－2}.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内).因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在 (－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的增区间是(4，＋∞).故选D. √ 角度1　求函数的单调区间(自主练透) 1.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是 A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 因为3－2x－x2＞0，所以－3＜x＜1.由二次函数图象结合复合函数的单调性，可知f(x)的单调递减区间是(－3，－1]，单调递增区间是[－1，1). 2.(双空题)函数f(x)＝的单调递减区间是_____________，单调递增区间是__________. (－3，－1] [－1，1) 作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞). 3.函数y＝｜－x2＋2x＋1｜的增区间是____________________________. [1－，1]，[1＋，＋∞) 角度2　判断或证明函数的单调性 (一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 典例1 解：法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a(1＋)＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法二(导数法)：f'(x)＝＝＝－. 故当a＞0时，f'(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f'(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 1.判断函数单调性(或求单调区间)的方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法(见常用结论). 2.抽象函数单调性的判断策略 (1)若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2). (2)若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 注意：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 规律方法 对点练1.(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈， ＜0的是 A.f(x)＝－2(x－1)2－2 B.f(x)＝3x＋5 C.f(x)＝1＋ D.f(x)＝｜x－4｜ √ √ 由题意可知，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减.对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上 单调递减，满足题意；对于D，f(x)＝｜x－4｜＝显然 f(x)在(1，4)上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，不满足题意.故选AC. 对点练2.设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m) ≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.求证： (1)f(0)＝1； 证明：根据题意，令m＝0， 可得f(0＋n)＝f(0)·f(n). 因为f(n)≠0，所以f(0)＝1. (2)x∈R时，恒有f(x)＞0； 证明：由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1； 当x＝0时，f(0)＝1＞0； 当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1. 因为f(x＋(－x))＝f(x)·f(－x)， 所以f(x)·f(－x)＝1，所以f(x)＝＞0. 故x∈R时，恒有f(x)＞0. (3)f(x)在R上是减函数. 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]. 由(2)知f(x1)＞0， 又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1， 故f(x2)－f(x1)＜0，故f(x)在R上是减函数. 考点二　函数的最值 师生共研 因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝－log2在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f＝－log2＝9－1＝8. (1)函数f(x)＝－log2在区间[－2，2]上的最大值为___. 典例2 8 ＋ ＋ 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. (2)(一题多解)对于任意实数a，b，定义min＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值为_____. 1 法二：依题意h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 求函数最值的三种常用方法 注意：对于较复杂的函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 规律方法 因为函数y＝x，y＝－在区间[1，2]上均单调递增，故函数f(x)在[1，2]上单调递增，当x∈[1，2]时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1. 对点练3.(1)函数f(x)＝x－(x∈[1，2])的最大值为_____. 1 当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x＝时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. (2)设函数f(x)＝则f(x)的最小值为__________. 2－3 考点三　函数单调性的应用 多维探究 易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞＞＞1，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a.故选D. 角度1　利用单调性比较大小 已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞a＞b D.c＞b＞a 典例3 √ 典例4 角度2　利用单调性解函数不等式 (1)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是_______________________. 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－＜x＜－2或2＜x＜. (－，－2)∪(2，) (2)(双空题)函数y＝f(x)满足f(t＋1)＜f(2t)，若函数f(x)是定义在R上的减函数，则实数t的取值范围是___________；若函数f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，则实数t的取值范围是___________. 第一空：根据题意得2t＜t＋1，即t＜1，所以实数t的取值范围是(－∞，1). 第二空：根据题意得⇒－1≤t＜1.所以实数t的取值范 围是[－1，1). (－∞，1) [－1，1) 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞).故选D. 角度3　利用单调性求参数的取值范围(高考超重点) (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则实数a的取值范围是 A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) 典例5 √ 因为f在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln单调递增，则 需满足解得－1≤a≤0，即实数a的取值范围是[－1， 0].故选B. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递 增，则实数a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) √ 溯源教材3 溯源 (北师必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围. 透视 高考题与教材习题“考点同源、逻辑同构、形式呼应”，都是以分段函数为载体考查单调性的应用，共同强化对“分段函数单调条件”的掌握.高考题可视为教材习题的深化(函数复杂化)，印证了“同一主题跨模块联系”的重要性 预测 已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，则实数a的取值范围是 A.[2，＋∞) B.(，2］ C.(，1］ D.[1，2] √ 解析：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，所以函数f(x) ＝在R上是增函数，所以＜a≤1，所以实数a的取值范围是(，1］.故选C. 1.比较函数值的大小：先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.解与抽象函数有关的不等式：由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，需要注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数的取值(范围)：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，既要保证每一段函数的单调性，还要注意衔接点的取值. 规律方法 函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数，所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数，所以f(｜x｜)＜f(－3x2＋4)⇔｜x｜＜－3x2＋4，即3｜x｜2＋｜x｜－4＜0，(｜x｜－1)(3｜x｜＋4)＜0，得0≤｜x｜＜1，解得－1＜x＜1，所以实数x的取值范围是(－1，1).故选C. 对点练4.已知函数f(x)＝ex－e－x，则使f(｜x｜)＜f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是 A.(－1，0) B.(－1，＋∞) C.(－1，1) D.(1，＋∞) √ 对点练5.设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单 调递增，则实数a的取值范围是 A.(－∞，1] B.[4，＋∞) C.(－∞，1)∪(4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞) 函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.故选D. √ 由分段函数解析式知，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在 [－1，1]上单调递增，由f(x)在[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈(1，3]. 已知函数f(x)＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________. 教师备选 (1，3] 对点练6.(2025·山东泰安一模)若＋log5a＝16b＋2log25，则 A.a＜b8 B.a＞b8 C.a＞8b D.a＜8b 由题意可得a，b＞0，则16b＋2log25＝24b＋log5＜24b＋log5，即＋log5a＜24b＋log5，令f＝2x＋log5(2x)，y＝f在R上单调递增，则f＝＋log5a，f＝24b＋log5，即f＜f，故＜4b，即a＜8b.故选D. √ 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是 A.y＝－x2＋1 B.y＝ C.y＝ D.y＝3－x √ y＝－x2＋1在区间(0，1)上单调递减，故A不符合题意；y＝是[0， ＋∞)上的增函数，所以在区间(0，1)上单调递增，故B符合题意；y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0，1)上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间(0，1)上单调递减，故D不符合题意.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.函数f(x)＝在 A.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C.(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D.(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 √ 函数f(x)的定义域是{x｜x≠1}.f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2，6]上的最大值为 A. B.3 C.4 D.5 √ 因为f(x)＝＝2＋在[2，6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝4.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.已知函数f(x)＝＋2x，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是 A.(－∞，)∪(2，＋∞) B.(0，］∪[2，6) C.[2，6) D.(0，6) √ 由题意可知，函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增.因为f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，所以2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤.故 选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)下列说法中，正确的是 A.若对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上单调递增 B.函数y＝x2在R上是增函数 C.函数y＝－在定义域上是增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则有f(x1)＜f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确；对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是 A.函数f(x)是减函数 B.f(－5)＜f(0)＜f(1) C.f(0)＝0 D.不等式f(2x－1)＜f(3－x)的解集为 √ √ 由x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，因此f(x)是增函数，故A错误；由－5＜0＜1，得f(－5)＜f(0)＜f(1)，故B正确；不一定有f(0)＝0，如f(x)＝2x在R上为增函数，f(0)＝1，故C错误；由f(2x－1)＜f(3－x)，得2x－1＜3－x，解得x＜，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)＞0，g(x)＞0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有 A.g(x)＋f(x)是增函数 B.f(x)－g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 √ √ 教师备选 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，若g(x)＝2x，f(x)＝()x，则g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝，故g(x)＋f(x)不一定为增函数，故A错误；而f(x)·g(x)＝1不是增函数，故C错误；对于B，因为g(x)是增函数，所以－g(x)为减函数.又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，故B正确；对于D，因为 g(x)是增函数，且g(x)＞0，所以＞0且是减函数.又f(x)＞0，且f(x)为减函数，所以＝f(x)×为减函数，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.(双空题)函数y＝－x2＋2｜x｜＋1的单调递增区间是__________________ _______，单调递减区间是_____________________. 由于y＝ 即y＝ 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是(－1，0)和(1，＋∞). (－∞，－1]和 [0，1] (－1，0)和(1，＋∞) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是_________. 因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，所以解得0＜a≤. (0，］ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)已知f(x)＝. (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 解：证明：当a＝－2时，f(x)＝. 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f－f＝－ ＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f－f＝－ ＝. 因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是 A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 √ 不妨令x1＜x2，所以x1－x2＜0，＞－1⇔f－f＜－(x1－x2)⇔f＋x1＜f＋x2.令g(x)＝f(x)＋x，所以g(x1)＜g(x2).又x1＜x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(多选)已知函数f(x)＝x－，下列说法正确的是 A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f(x)的值域为R √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在 (－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋的定义域是(1，＋∞). (1)求f(2)的值(用含a的式子表示)； 解：由函数f(x)＝x2＋可得，f(2)＝22＋＝4＋. (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； 解：任取x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝－＝(－)＋＝(x1－x2)·. 因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)＞0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2＞0， 所以(x1＋x2)x1x2－a＞0，即a＜(x1＋x2)x1x2恒成立. 因为x1＞x2＞1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1， 所以(x1＋x2)x1x2＞2，所以a≤2. 故实数a的取值范围是(－∞，2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (3)在(2)的条件下，若对(1，＋∞)内的任意实数x，不等式f＞4＋恒成立，求实数a的取值范围. 解：由(1)可知f(2)＝4＋， 所以不等式f＞4＋可化为f＞f(2). 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以ex－＞2恒成立， 即a＜(ex)2－2ex在(1，＋∞)上恒成立. 记g(x)＝(ex)2－2ex，x∈(1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 令t＝ex，则t＞e， 所以y＝t2－2t＝(t－1)2－1在(e，＋∞)上单调递增， 所以y＞e2－2e，所以a≤e2－2e. 故实数a的取值范围是(－∞，e2－2e]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函 数sin hx＝，双曲余弦函数cos hx＝，双曲正切函数tan hx＝.则 A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tan h＝ √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，令f＝sin hx＝，则f'(x)＝＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g＝cos hx＝，则g'＝，由选项A知，g'为增函数，又g'＝＝0，故当 x∈时，g'＜0，当x∈时，g'＞0，故g上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C， tan hx＝＝＝＝＝1－，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1＞1，故tan hx＝1－是增函数，故C正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于D，由C知tan hx＝，则tan h＝， ＝＝ ＝＝＝， 故tan h＝，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(双空题)已知函数f(x)＝若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2 都有＜0，则实数a的取值范围是____________；若f(x)在[－1，t)上的值域为[0，4]，则实数t的取值范围是________. (－∞，0] (2，4] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 第一空：若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有＜0，则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0].第二空：当a＞0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0，4]，则f＝－＝ 4，解得a＝4或a＝－4(舍去).又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2＜t≤4；当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意，所以实数t的取值范围是(2，4]. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 函数的单调性与最值 $