第2章 第11讲 指数与对数运算(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第11讲　指数与对数运算

【课程标准】　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

1.根式的概念及性质

2.分数指数幂

概念	正数的正分数指数幂：a＝	a＞0，m，n∈N*，n＞1且m，n互素
	正数的负分数指数幂：a－＝＝
	0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运算 性质	aαaβ＝aα＋β；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα	a＞0，b＞0，α，β∈R

3.对数

概念	一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真

	数．以10为底的对数叫作常用对数，记作lg N．以e为底的对数叫作自然对数，记作ln N．(e＝2.718 281…)
性质	①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

续表

运算 法则	loga(MN)＝logaM＋logaN	a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
	loga＝logaM－logaN
	logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底 公式	logab＝(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1)
学生用书⬇第42页

［常用结论］

1.lg 2＋lg 5＝1.

2.换底公式的变形

(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)．

(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)．

3.换底公式的推广

logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)．

【自测诊断】

1.下列说法中正确的是(　　)

A．＝()n＝a

B．log4.2＝m⇔()m＝4.2

C．分数指数幂a可以理解为个a相乘

D．若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN

答案：B

2.(链接北师必修一P105例4)已知2a＝5，log89＝b，则43b－3·4a＝(　　)

A.6 B.4

C.2 D.1

答案：A

解析：因为3b＝3log89＝log29，所以23b＝9，所以43b＝2＝81.又4a＝2＝25，所以43b－3·4a＝81－75＝6.故选A．

3.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　．

答案：e

解析：由ff＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23.因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e.

4.(链接北师必修一P127T12)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH值来表示溶液的酸碱度．pH的计算公式为pH＝－lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度≈×10－7摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的pH值约为　　　　．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)

答案：7.48

解析：依题意，可知渭河咸阳段水溶液的pH值为pH＝－lg＝7＋lg 3≈7＋0.48＝7.48.