第2章 第11讲 指数与对数运算(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与对数运算核心考点，依据课程标准要求，从根式、分数指数幂到对数概念、性质及运算性质层层递进，构建完整知识体系。通过教材梳理夯实基础，自测诊断检测漏洞，考点探究结合规律方法指导与真题训练，帮助学生系统突破运算难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计“概念辨析-性质应用-实际建模”三阶教学活动，如典例1综合指数对数运算训练化同底、逆用法则能力，考点三通过保鲜时间等实例培养模型意识。设置分层练习与真题精讲，确保学生提升运算与应用能力，为教师提供清晰复习路径，助力高效备考。

第11讲　指数与对数运算 【课程标准】　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 1.根式的概念及性质 2.分数指数幂 概念 正数的正分数指数幂：a＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1且m，n互素 正数的负分数指数幂：a－＝＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aαaβ＝aα＋β；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα a＞0，b＞0，α，β∈R 3.对数 概念 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．以10为底的对数叫作常用对数，记作lg N．以e为底的对数叫作自然对数，记作ln N．(e＝2.718 281…) 性质 ①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． 续表 运算 法则 loga(MN)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab＝(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1) 学生用书⬇第42页 ［常用结论］ 1.lg 2＋lg 5＝1. 2.换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)． (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)． 3.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)． 【自测诊断】 1.下列说法中正确的是(　　) A．＝()n＝a B．log4.2＝m⇔()m＝4.2 C．分数指数幂a可以理解为个a相乘 D．若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN 答案：B 2.(链接北师必修一P105例4)已知2a＝5，log89＝b，则43b－3·4a＝(　　) A.6 B.4 C.2 D.1 答案：A 解析：因为3b＝3log89＝log29，所以23b＝9，所以43b＝2＝81.又4a＝2＝25，所以43b－3·4a＝81－75＝6.故选A． 3.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　． 答案：e 解析：由ff＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23.因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 4.(链接北师必修一P127T12)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH值来表示溶液的酸碱度．pH的计算公式为pH＝－lg，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度≈×10－7摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的pH值约为　　　　．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 答案：7.48 解析：依题意，可知渭河咸阳段水溶液的pH值为pH＝－lg＝7＋lg 3≈7＋0.48＝7.48. 考点一　指数幂、对数的简单运算 自主练透 1.(2026·河南新乡模拟)＝(　　) A.16 B.8 C.32 D.16 答案：A 解析：＝＝＝24＝16.故选A. 2.(2026·浙江杭州模拟)若xlog34＝1，则4x＋4－x＝(　　) A.0 B.1 C． D． 答案：D 解析：因为xlog34＝1，所以x＝＝log43，故4x＋4－x＝＋＝3＋＝.故选D. 3.(2026·山西临汾模拟)已知＝3，log55b＝2，则a－b＝(　　) A.3 B.1 C．－1 D．－3 答案：B 解析：由＝3，log55b＝2可得＝a＝3，log55b＝b＝2，则a－b＝1.故选B. 4.(多选)已知a＋a－1＝3，下列结论正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C．＋＝± D．a＋＝2 答案：ABD 解析：由a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7，故A正确；由a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18，故B正确；由(＋)2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为＞0，＞0，所以＋＝，故C错误；由a＋＝＋＝(＋)(a－1＋a－1)＝×(3－1)＝2，故D正确.故选ABD. 1.指数幂运算：先将根式与分数指数幂统一为分数指数幂． 2.对数运算：先借幂运算变底数或真数为最简底数的分数指数幂，再用对数法则化简合并． 考点二　指数幂、对数的运算性质的应用　　 师生共研 计算： (1)＋0.1－2＋－3π0＋； (2)log23·log34＋＋lg 5·lg 20＋lg 16－； (3)(×(－0.12＋lg 5＋lg 2＋log354－log36. 解：(1)＋0.1－2＋－3π0＋＝＋102＋－3＋ ＝＋100＋－3＋＝3＋97＝100. (2)log23·log34＋＋lg 5·lg 20＋lg 16－ ＝·＋lg 5·＋2lg 2－3＝2＋lg 5·lg 100＋2lg 2－3＝2＋2－3＝2＋2－3＝1. (3)(×(－0.12＋lg 5＋lg 2＋log354－log36 ＝(26×(22－(0.53＋lg (5×2)＋log3＝22×2－1－0.5－1＋1＋log39＝4×－2＋1＋2＝3. 学生用书⬇第43页 1.指数幂运算：底数为负时先定符号再化正，结果需避免根号与分数指数共存、分母与负指数共存； 2.对数运算：(1)化同底对数为和差倍数，逆用对数法则．(2)用换底公式转异底为同底，注意公式正用、逆用及变形． 对点练1.(1)计算：2－－2. (2)已知3a＝5，log32＝b，求＋的值． 解：(1)－－ ＝－lo52×－ ＝＋2log35×＋－log35×log35－＝2. (2)＋＝＋＝(32a＋2·3a＋4)＋2log23 ＝52＋10＋4＋2log23＝39＋2log23. 考点三　指数与对数运算的实际应用 师生共研 (1)(2026·广东汕头模拟)某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是168小时，在20 ℃的保鲜时间是42小时，则该食品在30 ℃的保鲜时间是(　　) A.21小时 B.22小时 C.23小时 D.24小时 (2)(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A.2 B.4 C.20 D.40 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)当x＝0时，eb＝168，当x＝20时，e20k＋b＝42，所以e20k＝＝，e10k＝；当x＝30时，e30k＋b＝·＝×168＝21.故选A. (2)设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2＝k，T3＝klog2＝klog2＝k(12＋6log210).因为T2－T1＝k－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.故选B. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 对点练2.(2026·河南许昌模拟)放射性物质的衰变规律为：M＝M0×，其中M0指初始质量，t为衰变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1，T2(单位：天)，若两种物质的初始质量相同，1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则－＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：依题意，得M0×＝8M0×，即＝－3，即－＝.故选A. 对点练3.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．＝ D．＝ 答案：D 解析：依题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15 ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $