第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第9讲　函数的对称性及其应用

【课程标准】　1.能通过平移，分析得出一般的中心对称和轴对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题．

1.两个函数图象的对称性

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称．

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称．

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．

2.函数自身的对称性

(1)轴对称

①偶函数关于y轴对称．

②若f(x＋2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝2，一般地，若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称．

(2)中心对称

①奇函数关于原点对称．

②若f(x＋2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(2，0)，一般地，若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称．

［微提醒］　函数自身对称性的表达式与周期性表达式外表很像，应注意区分，为避免混淆出错，可以用口诀“和定对称，差定周期”来判断是对称性还是周期性．

［常用结论］

1.对称性的三个常用结论

(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点(，0)对称．特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．

(3)［教材知识纵向延伸］①若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

②若y＝f(x)与y＝g(x)关于x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)；若y＝f(x)与y＝g(x)关于点(a，b)对称，则g(x)＝2b－f(2a－x)．

2.函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期)

(1)若函数f(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2|b－a|．

(2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2|b－a|．

(3)若函数f(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4|b－a|．

可以简记为：双对称见周期，周期为同类对称2倍差，异类对称4倍差．

【自测诊断】

1.(多选)下列结论正确的是(　　)

A．函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

B．函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

C．若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称

D．若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称

答案：AD

2.函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)

A．(0，0) B．(0，1)

C．(1，0) D．(1，1)

答案：B

解析：因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋.又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B.

3.设函数y＝f(x)定义在R上，则函数y＝f(x－1)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　　)

A．直线x＝0对称 B．直线y＝0对称

C．直线x＝1对称 D．直线y＝1对称

答案：C

解析：令g1(x)＝f(x－1)，g2(x)＝f(1－x)，因为f(1－x)＝f［(2－x)－1］，即g2(x)＝g1(2－x)，所以g1(x)与g2(x)的图象关于直线x＝1对称，故选C．

4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈［2，3］时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝　　　　．

答案：5

解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)．由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.

学生用书⬇第32页

考点一　两个函数图象的对称                                                                                    自主练透

1.函数y＝ex与函数y＝e－x的图象(　　)

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称