第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性及其应用核心考点，系统梳理两个函数图象对称及函数自身轴/中心对称的判定、性质与推论，构建对称性与周期性的内在联系。通过教材梳理夯实基础，自测诊断查漏补缺，分考点探究（含自主练透、师生共研、规律方法总结），配合真题训练，帮助学生突破对称问题的分析与转化难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出“多想少算”解题策略与一题多解（如典例1三种方法对比），结合教材溯源深化理解，培养学生数学思维与模型意识。例如证明函数中心对称时，通过构造奇函数转化问题，强化逻辑推理能力。分层练习（基础巩固、能力提升）与即时反馈保障复习效果，助力学生高效掌握对称问题解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第9讲　函数的对称性及其应用 【课程标准】　1.能通过平移，分析得出一般的中心对称和轴对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题． 1.两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 2.函数自身的对称性 (1)轴对称 ①偶函数关于y轴对称． ②若f(x＋2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝2，一般地，若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称． (2)中心对称 ①奇函数关于原点对称． ②若f(x＋2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(2，0)，一般地，若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． ③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． ［微提醒］　函数自身对称性的表达式与周期性表达式外表很像，应注意区分，为避免混淆出错，可以用口诀“和定对称，差定周期”来判断是对称性还是周期性． ［常用结论］ 1.对称性的三个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点(，0)对称．特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． (3)［教材知识纵向延伸］①若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． ②若y＝f(x)与y＝g(x)关于x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)；若y＝f(x)与y＝g(x)关于点(a，b)对称，则g(x)＝2b－f(2a－x)． 2.函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2|b－a|． (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2|b－a|． (3)若函数f(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4|b－a|． 可以简记为：双对称见周期，周期为同类对称2倍差，异类对称4倍差． 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 答案：AD 2.函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 答案：B 解析：因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋.又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. 3.设函数y＝f(x)定义在R上，则函数y＝f(x－1)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　　) A．直线x＝0对称 B．直线y＝0对称 C．直线x＝1对称 D．直线y＝1对称 答案：C 解析：令g1(x)＝f(x－1)，g2(x)＝f(1－x)，因为f(1－x)＝f［(2－x)－1］，即g2(x)＝g1(2－x)，所以g1(x)与g2(x)的图象关于直线x＝1对称，故选C． 4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈［2，3］时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝　　　　． 答案：5 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)．由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 学生用书⬇第32页 考点一　两个函数图象的对称 自主练透 1.函数y＝ex与函数y＝e－x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：B 2.下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是(　　) A．y1＝－2x＋cos x B．y1＝2－x－cos (－x) C．y1＝－2－x＋cos (－x) D．y1＝－2－x－cos (－x) 答案：C 解析：令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－［2－x－cos (－x)］＝－2－x＋cos (－x)．故选C． 3.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 答案：A 解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． 4.函数y＝f(x)与函数y＝h(x)的图象关于x轴对称，且函数y＝f＋b是奇函数，则函数y＝h(x)图象的对称中心是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为y＝f＋b是奇函数，f＋b＋f＋b＝0，即f＋f＝－2b，所以f(x)关于对称．由于函数y＝f(x)与函数y＝h(x)的图象关于x轴对称，所以y＝h(x)的中心对称点为．故选B． 破解两个函数图象对称的方法 1.利用结论“函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝． 2.利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用． 考点二　函数自身轴对称问题高考超重点，师生共研 (1)(一题多解)已知函数f(x)＝(1－x2)·(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则ab＝　　　　． 答案：120 解析：法一：因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)，即所以ab＝120. 法二：令f(x)＝0，可得1－x2＝0，解得x＝－1，或x＝1.由对称性知，方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x＝－3，或x＝－5.由根与系数的关系可得所以ab＝120. 法三：因为函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－2＋x)＝f(－2－x)，整理可得所以ab＝120. ［注］　从本题的三种方法中很好地体现了多想少算的解题策略，只有平时多练习思考，从中对比优劣，才能拓展思维广度，才能在考试的时候可以灵活选择． 【教师备选】　试求函数f(x)的最大值？ 解：把a＝8，b＝15代入f(x)，得f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)， 所以f(x)＝－(x2－1)(x2＋8x＋15)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5) ＝－［(x＋1)(x＋3)］［(x－1)(x＋5)］＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)． 令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，所以h(t)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t2－2t－15)＝－(t－1)2＋16， 所以t＝1∈［－4，＋∞)时，函数f(x)的最大值为16. (2)(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b，使得函数y＝f()关于直线x＝b对称． 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋)＝(x＋a)ln， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)，［破题点］ 即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln， 于是 当a＝，b＝－时，g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln＝(－x－)ln ＝(x＋)ln＝(x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意． 故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－. 轴对称问题的常用性质 1.设P(x0，y0)为y＝f(x)图象上任一点，若y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔点Q(2a－x0，y0)在y＝f(x)的图象上． 2.(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 对点练1.已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x，则函数f(x)关于直线　　　　对称． 答案：x＝2 解析：由|x－2|＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域是(－∞，2)⋃(2，＋∞)．因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． 【教师备选】　函数f(x)＝ln图象的对称轴方程是　　　　． 答案：x＝ 解析：因为内层函数t＝的对称轴是直线x＝，所以函数f(x)＝ln图象的对称轴方程是x＝. 对点练2.(多题同解)(1)若函数f(x)＝(x－1)·(－1)的图象关于直线x＝1对称，则b＝　　　　． (2)(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝ex＋1＋ea－x＋(x＋b)2关于直线x＝2对称，则a＋b＝　　． 答案：(1)2　(2)3 解析：(1)因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)对x∈R恒成立，所以(x－1)＝(2－x－1)恒成立，所以(x－1)＝(1－x)(－1)恒成立，所以－1＝－＋1恒成立，＋＝2恒成立，所以b(＋)＝2恒成立，所以b(＋)＝2恒成立，所以b＝2. (2)依题意，函数f(x)＝ex＋1＋ea－x＋(x＋b)2关于直线x＝2对称，故f＝f(x)，即e5－x＋ea－4＋x＋(4－x＋b)2＝ex＋1＋ea－x＋(x＋b)2，即e5－x(1－ea－5)＋ex＋1(ea－5－1)＋(4＋2b)(4－2x)＝0，即(1－ea－5)(e5－x－ex＋1)＋(4＋2b)(4－2x)＝0，故需满足1－ea－5＝0且4＋2b＝0，即a＝5，b＝－2，则a＋b＝3. 【教师备选】　函数f(x)＝ex＋e－x－2图象的对称轴方程是　　　　． 答案：x＝－1 解析：由f(x)＝ex＋e－x－2得，f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1)．因为函数y＝ex＋1＋e－x－1是由偶函数y＝ex＋e－x向左平移一个单位长度得到［破题点：利用奇偶性判断函数对称性是首选策略］，所以函数f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1)图象的对称轴是直线x＝－1. 对点练3.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在［2，＋∞)上恒有＜0，则不等式f(ln x)＞f(1)的解集为　　　　． 答案：(e，e3) 解析：因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．因为f(x)在［2，＋∞)上恒有，所以f(x)在［2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)＞f(1)需满足|ln x－2|＜|1－2|⇒1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3. 【教师备选】　(开放题)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝　　　　　． ①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值． 答案：x2－2x(答案不唯一) 解析：取f(x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f(1－x)＝f(1＋x)，令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f(x)至少有两个零点，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f(x)min＝－1，满足③f(x)有最小值．(答案不唯一)． 学生用书⬇第33页 考点三　函数自身中心对称问题高考超重点，师生共研 (1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)对称 B．函数f(x)满足f为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f＋1过定点(1，2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 答案：ABC 解析：对于A，f(x)＝＝2－，所以该函数图象的对称中心为(－2，2)，故A正确；对于B，因为f为奇函数，所以f＝－f，所以f＝－f，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，故B正确；对于C，函数y＝f＋1的图象是由函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到.因为函数y＝f(x)过定点(0，1)，所以函数y＝f＋1过定点(1，2)，故C正确；对于D，因为y＝＝＝1＋，所以该函数图象的对称中心为(b，1)，由已知可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4，故D错误.故选ABC. (2)(一题多解)(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：法一(奇函数角度)：因为f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)， 所以f(x＋1)＝ln＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1)．－－－－－－－－－－［破题点］ 令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln＋ax＋bx3，x∈(－1，1)， 则g(－x)＝ln－ax－bx3＝－ln－ax－bx3＝－g(x)， 所以g(x)为定义域是(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称． 又因为f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(1，a)． 法二(结论角度)：因为f(x)的定义域是(0，2)，关于x＝1对称，－－－－－－－－－－［破题点：函数定义域的对称性是解决函数图象自身对称问题的突破口］ 所以f(x)＋f(2－x)＝［ln＋ax＋b(x－1)3］＋［ln＋a(2－x)＋b(1－x)3］ ＝(ln＋ln)＋ax＋a(2－x)＋[b(x－1)3＋b(1－x)3]＝2a，所以f(x)＋f(2－x)＝2a， 所以曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(1，a)． 【溯源教材5】 溯源 (人教A版必修一P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 透视 高考题是将课本中“中心对称的推广结论”作为工具，用于解决一个更复杂的函数证明问题，两题核心理论同源、解题逻辑一致、思想方法共通，都体现了构造新函数、从特殊到一般的数学推广思想，考查了对该理论的理解与应用能力．从本高考题可以看出，一是函数与导数中的解答题不再局限于导数问题，纯函数问题成为新的命题方向；二是函数图象的对称性问题体现了高考“反套路”的命题导向，在近三年高考试题解答题中多次出现．所以高三备考中在立足基础复习的策略下，还要强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系，将各个模块的知识有机结合并综合应用 续表 预测 (1)函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是　　　　． 答案：(1，－2) 解析：法一(常规法)：设对称中心为(a，b)，则f(a＋x)＋f(a－x)＝2b对任意的x均成立，所以(a＋x)3－3(a＋x)2＋(a－x)3－3(a－x)2＝2b，整理得，2a3＋6ax2－6a2－6x2＝2b，即a3＋3ax2－3a2－3x2＝b，所以a3－3a2＝b，且3a－3＝0，所以a＝1，且b＝－2，故对称中心为(1，－2)． 法二(导数法)：因为f(x)＝x3－3x2，所以f′(x)＝3x2－6x．由f′(x)＝3x2－6x＝0得，x＝0，x＝2．因为三次函数都是中心对称图形，所以对称中心中x＝＝1，可求对称中心中y＝13－3×12＝－2，故对称中心为(1，－2)． 【教师备选】　法三(导数法)：因为三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都是中心对称图形，都关于点(－))对称，所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是(1，－2)． (2)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－3)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：因为f(x)的定义域是(2，4)，关于x＝3对称，－－－－－－－－－－［破题点］ 所以f(x)＋f(6－x)＝［ln＋ax＋b(x－3)3］＋［ln＋a(6－x)＋b(3－x)3］ ＝(ln＋ln)＋ax＋a(6－x)＋[b(x－3)3＋b(3－x)3]＝6a， 所以f(x)＋f(6－x)＝6a， 所以曲线y＝f(x)关于点(3，3a)中心对称， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(3，3a)． 中心对称问题的常用性质 1.设P(x0，y0)为y＝f(x)图象上任一点，若y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔点Q(2a－x0，2b－y0)在y＝f(x)的图象上． 2.(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． ［注意］　(1)对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2(2)关于点(，)，也就是对称． (2)三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都是中心对称图形，都关于点(－，f(－))对称． 对点练4.已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2 026的图象(　　) A．关于点(2，2 026)对称 B．关于点(2，－2 026)对称 C．关于点(－2，2 026)对称 D．关于点(－2，－2 026)对称 答案：A 解析：因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2 026的图象关于点(2，2 026)对称．故选A． 对点练5.(多题同解)(1)(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)＝x3－x，则函数y＝f＋2的图象的对称中心是　　　　． (2)(一题多解)函数f(x)＝ln＋(x－1)3＋3图象的对称中心是　　　　． 答案：(1)　(2)(1，3) 解析：(1)因为f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f＋2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，所以函数y＝f＋2的图象关于点(－2，2)对称. (2)法一：因为f(x)的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)，关于x＝1对称，所以f(x)＋f(2－x)＝［ln＋(x－1)3＋3］＋［ln＋(1－x)3＋3］＝(ln＋ln)＋[(x－1)3＋(1－x)3]＋6＝6，所以f(x)＋f(2－x)＝6，所以曲线y＝f(x)关于点(1，3)中心对称. 法二：因为f(x)＝ln＋(x－1)3＋3，所以f(x)＝ln＋(x－1)3＋3.令g(x)＝ln＋x3，可判定g(x)是奇函数，函数f(x)是由函数g(x)向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度变换而成，所以函数f(x)图象的对称中心是(1，3). 对点练6.已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为　　　　． 答案：6 解析：因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称．又y＝的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $