第2章 第7讲 函数的单调性和最值(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第7讲　函数的单调性和最值

【课程标准】　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义．　2.掌握函数单调性的简单应用．

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

	增函数	减函数
定 义	设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D
	当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增	当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减
图 象 描 述	自左向右看图象是上升的	自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作函数y＝f(x)的单调区间．

［微提醒］　一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“⋃”连接．

2.函数的最值

前提	设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足

条件	(1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M	(1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论	M为函数y＝f(x)的最大值	M为函数y＝f(x)的最小值

［常用结论］

1.函数单调性的两个等价结论

(1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＞0⇔f(x)在区间I上单调递增．

(2)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＜0⇔f(x)在区间I上单调递减．

2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数．

3.复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减．

4.(1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调性：在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减.

(2)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的单调递增区间是(－∞，－］和［，＋∞)，单调递减区间是［－，0)和(0，］.

【自测诊断】

1.(多选)下列结论错误的是(　　)

A．因为f(x)在［－3，2］上是增函数，则f(－3)＜f(2)

B．函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3)

C．若函数f(x)在区间(1，2］和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数

D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)⋃(0，＋∞)

答案：BCD

学生用书⬇第24页

2.(链接北师必修一P65A组T2)y＝在［3，4］上的最大值为(　　)

A．2 B．

C． D.4

答案：A

解析：y＝＋1，因为y＝＋1在［3，4］上单调递减，所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.故选A．

3.(链接北师必修一P65B组T3)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　)

A．f(m)＜f(1) B．f(m)＞f(1)

C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1)

答案：B

解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)＞f(1)．故选B．

4.(链接北师必修一P64练习T2)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在［5，20］上单调，则实数k的取值范围是　　　　　　　　．

答案：(－∞，5］⋃［20，＋∞)

解析：因为函数f(x)＝x2－2kx＋4在［5，20］上单调，所以k≤5或k≥20.

考点一　函数的单调性                                                                                               多维探究

角度1　求函数的单调区间(自主练透)