第2章 第7讲 函数的单调性和最值(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义围绕函数单调性和最值高考核心考点，按定义、单调区间、最值求法及单调性应用的逻辑层次构建知识体系，通过教材梳理夯实基础，自测诊断查漏补缺，考点探究结合规律方法指导与真题训练，帮助学生系统突破难点。 资料采用多维探究与分层训练策略，如单调性判断融合定义法与导数法培养数学思维，最值求法通过分段函数实例强化数学语言表达，设置基础自测与对点练保障效果，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第7讲　函数的单调性和最值 【课程标准】　1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值，理解它们的作用和实际意义．　2.掌握函数单调性的简单应用． 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作函数y＝f(x)的单调区间． ［微提醒］　一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“⋃”连接． 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 ［常用结论］ 1.函数单调性的两个等价结论 (1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＞0⇔f(x)在区间I上单调递增． (2)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＜0⇔f(x)在区间I上单调递减． 2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 3.复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减． 4.(1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调性：在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减. (2)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的单调递增区间是(－∞，－］和［，＋∞)，单调递减区间是［－，0)和(0，］. 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．因为f(x)在［－3，2］上是增函数，则f(－3)＜f(2) B．函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C．若函数f(x)在区间(1，2］和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)⋃(0，＋∞) 答案：BCD 学生用书⬇第24页 2.(链接北师必修一P65A组T2)y＝在［3，4］上的最大值为(　　) A．2 B． C． D.4 答案：A 解析：y＝＋1，因为y＝＋1在［3，4］上单调递减，所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.故选A． 3.(链接北师必修一P65B组T3)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A．f(m)＜f(1) B．f(m)＞f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1) 答案：B 解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)＞f(1)．故选B． 4.(链接北师必修一P64练习T2)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在［5，20］上单调，则实数k的取值范围是　　　　　　　　． 答案：(－∞，5］⋃［20，＋∞) 解析：因为函数f(x)＝x2－2kx＋4在［5，20］上单调，所以k≤5或k≥20. 考点一　函数的单调性 多维探究 角度1　求函数的单调区间(自主练透) 1.函数f(x)＝－的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C． D．(－∞，2)，(2，＋∞) 答案：D 解析：函数f(x)＝－，所以f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，2)，(2，＋∞)．故选D． 2.函数y＝lo的单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：依题意，知x2－3x＋2＝＞0，可得函数y＝lo的定义域是∪.y＝lo可分解为y＝lot和t＝x2－3x＋2，因为函数y＝lot在上单调递减，且t＝x2－3x＋2在上单调递减，在上单调递增，综上函数y＝lo的单调递减区间是.故选D. 3.函数g(x)＝x＋1的单调递减区间是(　　) A． B． C． D．⋃ 答案：B 解析：当x≥－1时，g(x)＝x＋1＝x2＋x＋1，则g(x)在单调递减，在(－，＋∞)单调递增；当x＜－1时，g(x)＝－x＋1＝－x2－x＋1，则g(x)在单调递增，所以g(x)＝的单调递减区间是［－1，－］.故选B. 角度2　判断或证明函数的单调性 (1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 答案：C 解析：对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝＝＝，f(1)＝3｜1－1｜＝30＝1，f(2)＝3｜2－1｜＝3，显然f(x)＝3｜x－1｜在(0，＋∞)上不单调，故D错误.故选C. (2)(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a． 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 法二(导数法)：f′(x)＝ ＝． 故当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 函数单调性的判断方法 1.定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—作差(作商)—变形—判断符号—下结论”进行判断． 2.图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． 3.直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 对点练1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A． B． C．和 D．和 答案：C 解析：因为函数y＝x2－5x＋6的对称轴为直线x＝，由x2－5x＋6＝0可得x＝2或x＝3，作出函数f(x)＝的图象如图所示.由图可知，函数f(x)的单调递增区间是.故选C. 对点练2.(多选)(2026·四川绵阳模拟)下列函数中，是增函数的是(　　) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝x3＋x D．f(x)＝x－cos x 答案：ACD 解析：对于A，易知f(x)＝2x－2－x的定义域是R，是由函数y＝2x和y＝－2－x组成，易知y＝2x为单调递增函数，y＝－2－x为单调递增函数，故A正确；对于B，对勾函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)和上单调递增，故B不符合题意；对于C，易知f(x)＝x3＋x的定义域是R，由幂函数性质可得其在定义域内单调递增，故C正确；对于D，函数f(x)＝x－cos x的定义域为R，则f′(x)＝1＋sin x≥0恒成立，所以函数f(x)＝x－cos x在定义域内单调递增，故D正确．故选ACD． 考点二　函数的最值(值域) 师生共研 角度1　求函数的最值(值域) (1)(双空题)函数f(x)＝x－(x∈［1，2］)的最大值为　　　　．函数f(x)＝的最小值为　　　　． (2)(一题多解)对于任意实数a，b，定义min＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值为　　　　． 答案：(1)1　2－3　(2)1 解析：(1)第一空：因为函数y＝x，y＝－在区间［1，2］上均单调递增，故函数f(x)在［1，2］上单调递增，当x∈［1，2］时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1. 第二空：当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x＝时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. (2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：根据题意h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 学生用书⬇第25页 角度2　由函数的最值(值域)求参数 (2026·江西新余模拟)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析： 根据题意知，f(x)＝log2x＋2x在区间上单调递增，所以f(x)在区间上的值域为.x≤2时，f(x)＝ax2＋2ax＋4a＋6＝a＋3a＋6，其对称轴为x＝－1，要使f(x)的值域为R，则f(x)在区间上的值需取遍区间内所有值，所以解得－≤a＜0.故选C. 求函数最值(值域)的三种常用方法 ［注意］　(1)对于较复杂的函数，可运用导数求最值．(2)对于分段函数，应先求出每一段上的最值，其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．(3)关于分式函数与根式函数的最值(值域)见教材拓展3. 对点练3.(2025·重庆模拟)函数f(x)＝2x＋的值域为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：函数f(x)＝2x＋的定义域是.又y＝2x与y＝上均单调递增，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝1，故f(x)的值域为.故选D. 对点练4.(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝有最大值，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：当x＜1时，f(x)＝ex＜0，当x≥1时，f(x)＝ax＋1，若a＞0，f(x)＝ax＋1在上单调递增，此时f(x)没有最大值；若a＜0，f(x)＝ax＋1在上单调递减，函数要有最大值，则a＋1≥0，解得－1≤a＜0；若a＝0，ax＋1＝1，函数有最大值1，符合题意；故实数a的取值范围是.故选A. 【教师备选】　(2026·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝若f(x)在区间(a，b)上既有最大值，又有最小值，则b－a的最大值为　　． 答案：3 解析：当x≤0时，f(x)＝x2－x＋1＝2＋，则f(x)在上单调递减，此时f(x)≥f(0)＝1，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，则函数f(x)在上单调递增，此时1＜f(x)≤2，在［1，＋∞)上单调递减，此时f(x)≤2，当x≤0时，由f(x)＝2，即x2－x＋1＝2，得x＝－1，当x＞0时，由f(x)＝1，即－x2＋2x＋1＝1，得x＝2，画出函数的图象，如图．若f(x)在区间(a，b)上既有最大值，又有最小值，得－1≤a＜0，1＜b≤2，因此1＜b－a≤3，则b－a的最大值为3. 考点三　函数单调性的应用 多维探究 角度1　利用单调性比较大小 已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 答案：D 解析：易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞1，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a．故选D． 角度2　利用单调性解函数不等式 (1)(双空题)函数y＝f(x)满足f(t＋1)＜f(2t)，若函数f(x)是定义在R上的减函数，则实数t的取值范围是　　　　；若函数f(x)是定义在［－2，2］上的减函数，则实数t的取值范围是　　． (2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是　　　　　　　　． 答案：(1)(－∞，1)　［－1，1)　(2)(－，－2)⋃(2，) 解析：(1)第一空：依题意，得2t＜t＋1，即t＜1. 第二空：依题意，得⇒－1≤t＜1. (2)因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－． 角度3　利用单调性求参数的取值范围(高考超重点) (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2］ B．［－2，0) C．(0，2］ D．［2，＋∞) (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0］ B．［－1，0］ C．［－1，1］ D．［0，＋∞) 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2.故选D. (2)因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在［0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.故选B． 【溯源教材3】 溯源 (北师必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 续表 透视 高考题与教材习题“考点同源、逻辑同构、形式呼应”，都是以分段函数为载体考查单调性的应用，共同强化对“分段函数单调条件”的掌握．高考题可视为教材习题的深化(函数复杂化)，印证了“同一主题跨模块联系”的重要性 预测 已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．［2，＋∞)　　　　B．(，2］ C．(，1］　　　　　　D．［1，2］ 答案：C 解析：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，所以函数f(x)＝在R上是增函数，所以解得＜a≤1.故选C. 学生用书⬇第26页 1.比较函数值大小：转化到同一单调区间，用单调性判断． 2.解函数不等式：脱“f”转化为自变量关系，注意定义域． 3.单调性求参数：建参数满足的方程、不等式(或结合图象)，分段函数关注衔接点． 对点练5.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2．记a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案：A 解析：令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1.因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7＞0，所以－1－(1－)＝－＞0，即－1＞1－.由二次函数的性质知g()＜g()，因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)＜0，即－1＜1－，所以g()＞g()，综上，g()＜g()＜g()，又y＝ex为增函数，故a＜c＜b，即b＞c＞a.故选A. 对点练6.已知函数f(x)＝ex－e－x，则使f(|x|)＜f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数，所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数，所以f(|x|)＜f(－3x2＋4)⇔|x|＜－3x2＋4，即3|x|2＋|x|－4＜0，(|x|－1)(3|x|＋4)＜0，得0≤|x|＜1，解得－1＜x＜1.故选C． 对点练7.已知函数f(x)＝若f(3－a2)＜f(2a)，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：(－3，1) 解析：根据所给的分段函数，画出图象如图． 已知函数在整个定义域上是单调递减，由f(3－a2)＜f(2a)可知，3－a2＞2a，解得－3＜a＜1. 学科网（北京）股份有限公司 $