第2章 第12讲 指数函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦指数函数高考核心考点，涵盖概念、图象及性质、指数型函数综合应用，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破图象应用、性质辨析等难点。 资料采用多维探究与分层训练结合的教学策略，如比较大小考点中引导学生通过单调性分析和中间量引入发展数学思维，综合应用中用换元法转化问题培养数学语言表达能力。设置自测诊断、对点练等分层练习，配合规律方法总结，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第12讲　指数函数 【课程标准】　1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 2.指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 ［常用结论］ 1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． 2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 3.如图所示是指数函数 (1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c＞d＞1＞a＞b＞0. 【自测诊断】 1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A．不确定 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1.由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.故选C． 2.(链接北师必修一P95B组T2)已知函数f(x)＝为奇函数，则f(a)＝(　　) A． B． C． D.2 答案：C 解析：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝2－x＝＝－f(x)＝ax，所以a＝，f＝.故选C. 3.(链接北师必修一P89练习T2)已知关于x的不等式≥3－2x，则该不等式的解集为(　　) A．［－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4，1］ 答案：A 解析：不等式≥3－2x，即34－x≥3－2x.由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞).故选A. 4.(链接北师必修一P90例5)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案：C 解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a．故选C． 考点一　指数函数的图象及应用 自主练透 1.(2026·河北石家庄模拟)若函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　) A.0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C.0＜a＜1，且b＜0 D．a＜1，且b＞0 答案：C 解析：已知函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得0＜a＜1，指数函数y＝ax过定点，则函数y＝ax＋b－1过定点，即.因为函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与y轴的交点在y轴负半轴上，即a0＋b－1＜0⇒b＜0综上分析，可得故选C. 2.(多选)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b，下列各式可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 B．a＜b＜0 C.0＜a＜b D.0＜b＜a 答案：ABD 解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故选ABD． 3.已知函数f(x)＝的图象经过坐标原 学生用书⬇第45页 点，且当x趋向于正无穷大时，f(x)的图象无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，则a＝　　． 答案：－1 解析：当x趋向于正无穷大时，f(x)的图象无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，可知b＝－2或b＝2.又图象经过坐标原点，则b＝2不满足条件，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1. 4.直线y＝3a与函数y＝(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是　　． 答案：(0，) 解析：a＞1时，作出函数y＝的图象，如图①.此时在x≤－1时，0≤y＜1，而3a＞3＞1，因此y＝3a与函数y＝的图象只有一个交点，不合题意；0＜a＜1时，作出函数y＝的图象，如图②.此时在x≥－1时，0≤y＜1，因此y＝3a与函数y＝的图象有两个交点，则0＜3a＜1，解得0＜a＜.综上所述，a∈(0，). 与指数函数图象有关问题的策略 考点二　指数函数的性质及应用 多维探究 角度1　比较大小 (1)(2025·上海卷)设a＞0，s∈R，下列各项中，能推出as＞a的一项是(　　) A．a＞1，且s＞0 B．a＞1，且s＜0 C．0＜a＜1，且s＞0 D．0＜a＜1，且s＜0 (2)(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足＜，则下列关系式中恒成立的是(　　) A．e2x＋1＞e2y＋1 B．sin x＞sin y C．x3＞y3 D.2x－2y＞3－x－3－y 答案：(1)D　(2)ACD 解析：(1)当a＞1时，as＞a⇔s＞1；当0＜a＜1时，as＞a⇔s＜1.结合选项可知只有D选项能推出as＞a．故选D． (2)因为＜，所以x＞y.对于A，y＝ex在R上是增函数，故e2x＋1＞e2y＋1，故本关系式恒成立；对于B，当x＝π，y＝0时，显然符合x＞y，但是sin x＞sin y不成立，故本关系式不恒成立；对于C，因为y＝x3在R上是增函数，所以x3＞y3，故本关系式恒成立；对于D，由于y＝2x为单调递增函数，y＝3－x为单调递减函数，故y＝2x－3－x为R上的单调递增函数，由x＞y可得2x－3－x＞2y－3－y，故2x－2y＞3－x－3－y，故本关系式恒成立.故选ACD. 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若≤，则函数y＝2x的值域为(　　) A． B． C． D．［2，＋∞) (2)(2026·江苏无锡模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x＋1(e为自然对数的底数)，若f＋f＞2，则该不等式的解集为　　　　． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，所以≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为.故选B. (2)f(－x)＋f(x)＝e－x－ex＋1＋ex－e－x＋1＝2，则f＋f＝2，f＋f(4－x2)＞2⇒f＋f＞f＋f，故f＞f.f(x)＝ex－e－x＋1在R上单调递增，所以4－x2＞1－2x，解得－1＜x＜3. 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小． 2.指数方程(不等式)的求解：主要利用指数函数的单调性进行转化． 对点练1.(2026·河北衡水模拟)若＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 答案：C 解析：若＜＜＜1，且∈，由函数f(x)＝在R上为减函数，f＜f＜f(a)＜f(0)，则0＜a＜b＜1.又函数y＝ax在R上为减函数，则ab＜aa.又函数y＝xa在上为增函数，则aa＜ba，因此可得ab＜aa＜ba.故选C. 对点练2.(2026·湖南长沙模拟)设函数f(x)＝＋1，则使得f＜f(－x)成立的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为f(x)＝＋1，所以f＝＋1＝＋1＝f(x)，即函数f(x)关于x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝ex－1＋1单调递增，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.因为f＜f(－x)，所以＜，解得x＞.故选B. 考点三　指数型函数的综合应用 师生共研 (2026·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数(a＞0，b＞0)． (1)求f(x)的解析式； (2)求当x∈时，函数g(x)＝f(x)·＋9x－1的值域． 解：(1)由函数f(x)＝是R上的奇函数，则有f(0)＝＝0，解得a＝3， 所以f(x)＝. ∀x∈R，f(－x)＝＝ ＝－＝－f(x)， 即∀x∈R，b·3x＋1＝3x＋b，解得b＝1， 经验证得a＝3，b＝1时，f(x)是奇函数，所以f(x)＝. (2)由(1)知，g(x)＝f(x)·＋9x－1＝3－3x＋1＋9x－1＝－3×3x＋2＝－. 令t＝3x，x∈，则1≤t≤3， 于是函数g(x)变为y＝t2－3t＋2，t∈[1，3]， 对称轴为t＝，所以y＝t2－3t＋2在［1，］单调递减，在［，3］单调递增， 因此当t＝3x＝时，g(x)min＝－， 当t＝3x＝3时，g(x)max＝2， 所以函数g(x)的值域为. 【教师备选】　设a∈R，函数f(x)＝． (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； (2)若f(x)关于点(0，2)中心对称，求a的值； (3)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围． 解：(1)由f(x)为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)， 即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1， 当a＝1时，f(x)＝(x≠0)，f(－x)＝＝＝－f(x)对一切非零实数x恒成立， 故a＝1时，y＝f(x)为奇函数． (2)由f(x)关于点(0，2)中心对称， 得f(x)＋f(－x)＝4， 所以＋＝4，即＝4， 解得a＝－3. (3)由f(2)＝a，可得＝a，解得a＝2， 所以f(x)＞a⇔＜0⇔1＜2x＜4， 解得0＜x＜2， 所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2)． 　　求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． ［注意］　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论． 学生用书⬇第46页 对点练3.已知ln a2－ln a＝1，则函数f(x)＝ax2－2x的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0］ B．(－∞，1］ C．［0，＋∞) D．［1，＋∞) 答案：D 解析：因为ln a2－ln a＝1，所以ln a＝1，所以a＝e，所以f(x)＝ex2－2x．函数y＝ex在R上单调递增，函数y＝x2－2x在区间(－∞，1］单调递减，在区间［1，＋∞)单调递增，根据复合函数的单调性法则知，函数f(x)＝ax2－2x的单调递增区间是［1，＋∞)．故选D． 对点练4.已知函数f(x)＝3x＋·3－x为奇函数． (1)求实数k的值，判断函数f(x)的单调性(无需证明)，并求不等式f－f＞0的解集； (2)若对∀x∈，不等式f(x)＋m×3x≤6恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝3x＋·3－x(x∈R)为奇函数， 所以f(0)＝1＋·1＝0，所以k＝1，所以f(x)＝3x－3－x． 因为f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，所以符合函数是奇函数，所以k＝1. 因为y＝3x单调递增，y＝3－x单调递减，所以f(x)＝3x－3－x单调递增． 因为f－f＞0，所以f＞f， 所以3x－2＞x＋1，所以x＞， 所以原不等式的解集为． (2)∀x∈，f(x)＋m×3x≤6，所以3x－3－x＋m×3x≤6， 所以m＋1≤＝＋6×. 令＝t，所以m＋1≤t2＋6t，t∈，m＋1≤， 当t＝3时，＝27，所以m＋1≤27，即m≤26. 所以实数m的取值范围是(－∞，26]. 学科网（北京）股份有限公司 $