第2章 第13讲 对数函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦对数函数高考核心考点，涵盖概念、图象与性质、反函数及与指数函数的关系，按“概念梳理-性质探究-综合应用”逻辑架构知识体系。通过教材梳理明确基础要求，自测诊断夯实基础，考点探究结合典例精讲、规律方法总结及分层对点练，帮助学生系统突破对数函数图象识别、大小比较、不等式求解等难点。 资料突出多维探究与溯源教材特色，如比较对数大小时结合换底公式和中间量推理，培养学生数学思维；复合函数单调性问题中强调定义域优先与“同增异减”原则，发展数学眼光。设置一题多变、真题链接等教学活动，助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供精准复习节奏把控的实用教学资源。

第13讲　对数函数 【课程标准】　1.通过具体实例，了解对数函数的概念．　2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 1.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在定义域(0，＋∞)上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 2.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．它们的定义域和值域正好互换． ［常用结论］ 对数函数图象的特点 (1)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y＝logax与y＝logx(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴对称． (3)如图给出4个对数函数的图象 则b＞a＞1＞d＞c＞0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 【自测诊断】 1.(多选)下列结论正确的是(　　) A．函数y＝log2(x＋1)是对数函数 B．函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同 C．当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b D．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，，函数图象只在y轴右侧 答案：BD 学生用书⬇第47页 2.(链接北师必修一P116A组T3)函数y＝的定义域是(　　) A．(－2，＋∞) B．［－2，＋∞) C．［－2，1)⋃(1，＋∞) D．(－2，1)⋃(1，＋∞) 答案：D 解析：依题意，得解得x∈(－2，1)⋃(1，＋∞)．故选D． 3.(一题多解)(链接北师必修一P114例7)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 答案：A 解析：法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象． 由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c．故选A． 法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即a＞b＞c．故选A． 4.(链接北师必修一P127B组T2)若log2a＋loga2＝2，则a＝(　　) A． B.1 C.2 D.4 答案：C 解析：由log2a＋loga2＝2有log2a＋＝2，令t＝log2a，则t＋＝2⇒t2－2t＋1＝0⇒＝0⇒t＝1，所以t＝log2a＝1⇒a＝2.故选C. 考点一　对数函数的图象及应用 自主练透 1.(2026·湖南长沙模拟)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 答案：B 解析：由lg a＋lg b＝0可知＝b，故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B． 2.(2026·江西南昌模拟)设f(x)＝，如果0＜a＜b＜c，且f(a)＞f＞f，则有(　　) A．＞0 B．ac＞1 C．ac＝1 D．ac＜1 答案：D 解析：作出f(x)＝图象，如图.因为0＜a＜b＜c，且f(a)＞f＞f，可得0＜a＜1＜c，则－log2a＞log2c，log2＜0，所以0＜ac＜1.故D正确.故选D. 3.若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围是　　　　． 答案： 解析：若方程4x＝logax在(0，］上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤. 与对数函数图象有关问题的策略 ［注意］　对于函数f(x)＝|logax|(a＞0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)，则必有mn＝1.［属于等高线问题，第15讲重点讲］ 考点二　对数函数的性质及应用 多维探究 角度1　比较对数式的大小 (1)(2026·天津河西二模)设a＝log0.30.4，b＝log0.31.1，c＝log0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)(2020·全国Ⅲ卷)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)易知log0.31＜a＝log0.30.4＜log0.30.3，即0＜a＜1；而b＝log0.31.1＜log0.31＝0，即b＜0.又c＝log0.40.3＞log0.40.4＝1，因此c＞1，所以b＜a＜c．故选D． (2)因为a＝log32＝lo23＝log98＜1，所以a＜.因为b＝log53＝lo33＝log2527＞1，所以b＞.又c＝，所以a＜c＜b.故选A. 【溯源教材6】 溯源 (北师必修一P128C组T3)已知x＝ln π，y＝log52，z＝. (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 透视 高考试题与课本习题核心考点一致、方法同源，课本习题为高考题提供基础训练，高考题在其基础上增加参数混合(对数与分数)，是课本习题的拓展与综合，但本质思路相同，突出对数运算和放缩技巧的灵活应用 预测 设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c　　　　　　B．a＜c＜b C．b＜a＜c　　　　　　D．c＜b＜a 答案：D 解析：a＝log23＝log2＝1＋log2＝1＋，b＝log812＝log8＝1＋log8＝1＋，c＝lg 15＝log10＝1＋log10＝1＋.因为0＜lo2＜lo8＜lo10，所以a＞b＞c.故选D. 学生用书⬇第48页 角度2　解对数方程、不等式 (1)已知函数f(x)＝logax(a＞1)，若f(4)－＝－，则a＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.8 (2)已知函数f(x)＝则不等式f((log2x)2－3)＜4f(log2x)的解集为　　　　． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由f(4)－＝－，得loga4－＝－，整理可得6＋7×loga2－3＝0，解得loga2＝，或loga2＝－.因为a＞1，所以loga2＝，则＝2，所以a＝8.故选D. (2)当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在［0，＋∞)上单调递增．当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增．所以f(x)在R上有4f(x)＝f(2x)，且函数f(x)是R上的增函数，于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，即(log2x)2－2log2x－3＜0，即(log2x＋1)(log2x－3)＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8. 1.比较大小时，若底数相同，真数不同直接利用单调性；若底数不同，真数相同利用换底公式化同底或利用图象比较；若底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较． 2.解对数不等式时，常用化同底后利用单调性的方法；若底数a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．有些对数型不等式也可用数形结合法解决． 对点练1.(2026·广东广州开学考)若x＝y＝10，z＝logyx，则(　　) A．y＞z＞x B．x＞y＞z C．z＞x＞y D．y＞x＞z 答案：D 解析：由＝＝10，z＝logyx，得x＝lo10＝，y＝lo10＝.又1＜＜＜10，即有0＜lg＜lg＜1，所以y＞x＞1，因此z＝logyx＜logyy＝1，所以y＞x＞z.故选D. 对点练2.(2026·广东深圳模拟)已知实数a＞1，且满足loga＋log2aa＝，则a＝　　　　． 答案：2 解析：设loga＝t，则t＝loga2＋1，因为a＞1，所以t＞1.由t＋＝⇒t＝2或t＝(舍去).所以loga2＋1＝2⇒a＝2. 对点练3.(2026·上海模拟)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f＞f(a)，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：⋃ 解析：当0＜a＜1时，函数f(x)＝logax在上单调递减，若f＞f(a)，则0＜3a－1＜a，解得＜a＜；当a＞1时，函数f(x)＝logax在上单调递增，若f＞f(a)，则3a－1＞a＞0，解得a＞1，所以实数a的取值范围是∪. 考点三　对数型函数的综合问题 师生共研 (一题多变)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值． 解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域是(－1，3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1］上单调递增，在［1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(－1，1］，单调递减区间是［1，3)． (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有． ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变条件，变结论)若已知函数f(x)在区间［－1，1］上单调递增，求实数a的取值范围． 解：令g(x)＝ax2＋2x＋3，所以f(x)＝log4g(x)． 当a＝0时，g(x)＝2x＋3在区间［－1，1］上单调递增，且g(x)＞0. 又y＝log4x在定义域上单调递增，所以函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间［－1，1］上单调递增，所以a＝0符合题意． 当a＞0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间［－1，1］上单调递增， 得解得0＜a≤1. 当a＜0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间［－1，1］上单调递增， 得解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是(－1，1］． 2.(变条件，变结论)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)在区间上有最大值或最小值，求实数a的取值范围． 解：要使函数f(x)在区间上有最大值或最小值，由于y＝x2－ax＋1开口向上， 故需函数y＝x2－ax＋1在区间上有最小值，且y＞0. 该函数图象的对称轴为直线x＝， 所以 所以＜a＜2，且a≠1， 即实数a的取值范围是． 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题需关注三点 1.遵循定义域优先的原则，所有问题都必须在定义域内讨论． 2.底数与1的大小关系． 3.复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性． 对点练4.(多选)(2026·湖北孝感模拟)已知函数f(x)＝loga在区间上单调递增，则(　　) A.0＜a＜1 B．a＞1 C．f＞f D．f＜f 答案：AC 解析：f(x)＝loga的定义域是∪.设z＝，可得函数z＝上单调递减，在上单调递增，根据复合函数的单调性可得0＜a＜1，故A正确，B错误；由0＜a＜1，可得2 026＜a＋2 026＜2 027，又f(x)在上单调递减，则f＞f，故C正确，D错误.故选AC. 对点练5.(多选)(2026·陕西汉中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ln (6－x)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象是轴对称图形 B．f(x)在(0，3)上单调递增 C．f(x)的值域为(0，2ln 3］ D．f(x)恰有两个零点 答案：ABD 解析：对于A，函数f(x)的定义域是(0，6).因为f(6－x)＝ln (6－x)＋ln (6－(6－x))＝ln (6－x)＋ln x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝3对称，故A正确；对于B，由f(x)＝ln x＋ln (6－x)＝ln，因为t＝－x2＋6x在(0，3)上单调递增，且y＝ln t在其定义域内单调递增，所以f(x)在(0，3)上单调递增，故B正确；对于C，当x∈(0，6)时，t＝－x2＋6x∈(0，9]，故f(x)的值域为(－∞，2ln 3]，故C错误；对于D，令f(x)＝0，则－x2＋6x＝1，解得x＝3±2，则f(x)＝0有两解，且这两个解均在(0，6)内，故D正确.故选ABD. 【教师备选】　(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为1 B．f(x)在区间(0，2)上单调递增 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．f(x)的图象关于点(2，0)对称 答案：BC 解析：对于A，函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2［－(x－2)2＋4］(0＜x＜4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，故A错误；对于B，f(x)＝log2(4x－x2)(0＜x＜4)可以看作是由函数y＝log2u，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)复合而成，而y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0＜x＜4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故B正确；对于C，因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，故C正确；对于D，因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故D错误．故选BC． 学科网（北京）股份有限公司 $