第1章 教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦基本不等式链、三元及n元基本不等式、柯西不等式等高考核心考点，以教材母题为起点，通过知能拓展构建知识网络，再经典例应用和分层练习深化理解。教学流程涵盖考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统掌握不等式应用技巧，突破高考难点。 资料特色在于立足教材拓展延伸，融合真题讲解与分层练习，如通过特殊值验证法培养数学思维，模仿构造法提升创新意识。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式 一、基本不等式链、三元基本不等式 【教材母题】 1.(北师必修一P28练习T5) 设a＞0，b＞0，求证：≥． 2.(北师必修一P30A组T5(2)，(4)) 求证下列不等式： (2)x2＋y2≥； (4)≥(x＞0，y＞0)． 【知能拓展】 1.基本不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中和分别叫作a，b的调和平均数和平方平均数． 2.三元基本不等式 (1)三元基本不等式：当a＞0，b＞0，c＞0时，a3＋b3＋c3≥3abc，≥． (2)推广：n元基本不等式：≥(a1，a2，…，an均为正实数)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立． 【典例应用】 (1)(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　　) A．a2＋b2＞2ab B．＋≥ C．a＋b＞ D．＋≤ (2)(多选)判断下列不等式成立的有(　　) A．若x＞0，则x2＋≥3 B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤ C．若x＞0，则2x＋≥3 D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤ 答案：(1)C　(2)AC 解析：(1)对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确.故选C. (2)对于A，因为x＞0，所以x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，则x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤·()3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，则2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，则x(1－x)2＝·2x(1－x)(1－x)≤·()3＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误.故选AC. 【教师备选】　已知x＞0，y＞0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为(　　) A．12 B．6 C．36 D．24 答案：D 解析：由xy＋2y2－36＝0，得xy＝36－2y2，则x＝－2y，36－2y2＞0.因为x＞0，y＞0，所以xy2＝y2(－2y)＝y＝＝≤×＝24.故选D. 对点练1.(多选)(2026·福建福州模拟)设正实数a，b满足a＋b＝2，则下列说法正确的是(　　) A．＋的最小值为3 B．＋的最小值为2 C．ab的最大值为1 D．a2＋b2的最小值为2 答案：ACD 解析：对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝2，则b＝2－a，所以＋＝＋－1＝(＋)(a＋b)－1＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝b＝1时，取等号，故A正确；对于B，因为＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，当且仅当a＝b＝1时，取等号，得到＋≤2，故B错误；对于C，因为2＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时，取等号，得到ab≤1，故C正确；对于D，因为a2＋b2＝－2ab＝4－2ab≥4－2＝2，当且仅当a＝b＝1时，取等号，故D正确.故选ACD. 对点练2.(2026·江苏苏州模拟)某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：≤．小明由此得到启发，在求x3－3x，x∈的最小值时，小明给出的解法是：x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3－3x－2＝3x－3x－2＝－2，当且仅当x＝1时，有最小值－2. (1)请你模仿小明的解法，得出x4－4x，x∈上的最小值为　　　　　． (2)当a＞0时，x3－ax，x∈的最小值为　　　　　． 答案：(1)－3　(2)－ 解析：(1)由x∈知：x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4－4x－3＝4x－4x－3＝－3，当且仅当x＝1时，取到最小值－3. (2)由a＞0，x∈知：x3－ax＝x3＋＋－ax－≥3－ax－＝ax－ax－＝－，当且仅当x3＝＝时，取到最小值－. 二、柯西不等式 【教材母题】 (人教A必修二P37T16)用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)·(c2＋d2)． 上述不等式就是二维形式的柯西不等式，其证明的向量方法为教材P19数量积的性质(4)：|a·b|≤|a||b|． 【知能拓展】 1.二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2.三维形式的柯西不等式 (＋＋)(＋＋)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当＝＝时，等号成立． 学生用书⬇第13页 【典例应用】 (1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为　　　　． (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为　　　　． 答案：(1)13　(2) 解析：(1)由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2，所以x2＋y2≥13，当且仅当，即x＝2，y＝3时取等号． (2)由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c＝时，＋＋的最大值为. 对点练3.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋y的最小值为(　　) A．－5 B．－6 C．3 D．4 答案：A 解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以＝1，所以(16＋9)≥(2x＋y)2，即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y，即时，右边取等号，所以z＝2x＋y的最小值是－5.故选A． 对点练4.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) A．14 B． C．29 D． 答案：B 解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥时等号成立．故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $