第1章 教材拓展1 基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

基本不等式链、三元基本不等式与柯西不等式

一、基本不等式链、三元基本不等式

【教材母题】

1.(北师必修一P28练习T5)

设a＞0，b＞0，求证：≥．

2.(北师必修一P30A组T5(2)，(4))

求证下列不等式：

(2)x2＋y2≥；

(4)≥(x＞0，y＞0)．

【知能拓展】

1.基本不等式链

若a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立，其中和分别叫作a，b的调和平均数和平方平均数．

2.三元基本不等式

(1)三元基本不等式：当a＞0，b＞0，c＞0时，a3＋b3＋c3≥3abc，≥．

(2)推广：n元基本不等式：≥(a1，a2，…，an均为正实数)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．

【典例应用】

(1)(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　　)

A．a2＋b2＞2ab B．＋≥

C．a＋b＞ D．＋≤

(2)(多选)判断下列不等式成立的有(　　)

A．若x＞0，则x2＋≥3

B．若0＜x＜1，则x2(1－x)≤

C．若x＞0，则2x＋≥3

D．若0＜x＜1，则x(1－x)2≤

答案：(1)C　(2)AC

解析：(1)对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确.故选C.

(2)对于A，因为x＞0，所以x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为0＜x＜1，则x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤·()3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x＞0，则2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为0＜x＜1，则x(1－x)2＝·2x(1－x)(1－x)≤·()3＝，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误.故选AC.

【教师备选】　已知x＞0，y＞0，且xy＋2y2－36＝0，则xy2的最大值为(　　)

A．12 B．6

C．36 D．24