第1章 第1讲 集 合(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源 【知识构建】 【命题趋势】 　　本章内容隶属预备知识，全面考查基础知识，检验学生的知识掌握程度，引导中学注重概念教学，夯实学习基础．本章托底基础知识考查，为试卷知识结构的稳定、难度的稳定筑牢地基．集合作为高中数学的预备知识内容，高考考查趋于稳定性和基础性，且题号比较靠前［2025全国一卷T2，2025全国二卷T3］，常与一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式以及指数函数、对数函数等结合命题．常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，高考主要考查充分条件与必要条件，基础性和综合性题目，可提升考生的逻辑思维能力和逻辑推理素养．不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现［2025全国二卷T4］，这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力． 1.题型设置：主要以选择题、填空题为主． 2.内容考查：集合间的基本关系、集合的基本运算、充分必要条件的判断和含有一个量词命题的否定、不等式的性质、基本不等式、不等式的解法及不等式恒成立等问题，时常与函数、导数、数列等知识交汇命题． 3.能力考查：运算求解能力及逻辑推理能力． 【备考策略】 　　根据近三年的高考试卷命题特点和规律，本章在复习备考时要注意以下几个方面： 1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：元素、子集、真子集、空集、交集、并集、补集、充要条件等，掌握不等式的性质，基本不等式等，这是解决此类问题的关键． 2.重视本章内容的工具性作用：集合的思想、充要条件的理念、不等式的性质和解不等式的方法贯穿高中数学学习的全过程，是解决其他数学问题的预备知识，是重要的解题工具． 3.重视知识的交汇与联系：既要关注各分支知识本身的纵向延伸，又要增强知识分支间的横向拓展．在本章中集合与函数、不等式、方程、解析几何等都有密切的联系，函数与方程、不等式的关系及它们的相互转化也是解题的常用思想． 4.重视思想方法的应用：(1)方程思想：涉及元素与集合的关系及集合相等的题目，可以利用集合中元素间的相等关系，列出方程或方程组求解． (2)数形结合思想：集合与不等式、方程、函数交汇考查是集合题型常见的考查模式，解决此类问题时，要重视Venn图、数轴等工具的应用，目的是形象直观地表示题目条件，全面准确理解题意，避免丢分．还有利用函数图象解决不等关系问题，也是数形结合思想方法的体现． (3)化归与转化思想：充分条件、必要条件的判断问题，通常要转化为集合包含关系的判断；全称量词命题(或存在量词命题)与其否定真假性相反，解题时应注意此结论的应用． (4)分类与整合思想：在集合间关系的判断、集合运算、充分条件、必要条件的判断、含参不等式的解法等问题中，若出现参数，常对参数进行分类讨论． 第1讲　集　合 【课程标准】　1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的关系；针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义．　3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．　4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．　5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 1.元素与集合 ［微提醒］　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 ［微提醒］　A⊆B包含哪两层含义？解题注意点是什么？ 提示：A⊆B包含的两层含义：A⫋B或A＝B．解题注意点是要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽略A＝∅的情况． 3.集合的基本运算 运算 交集 并集 补集 自然 语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由U中所有不属于A的元素组成的集合 符号 语言 A⋂B＝{x|x∈A，且x∈B} A⋃B＝{x|x∈A，或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} Venn 图 运算 性质 A⋂B＝B⋂A A⋂B⊆A A⋂B⊆B A⋂A＝A A⋂∅＝∅ A⋃B＝B⋃A A⊆A⋃B B⊆A⋃B A⋃A＝A A⋃∅＝A A⋃(∁UA)＝U A⋂(∁UA)＝∅ ∁U(∁UA)＝A ［常用结论］ 1.子集个数的确定：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2.等价关系：A⊆B⇔A⋂B＝A⇔A⋃B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 学生用书⬇第2页 3.［教材知识纵向延伸］ (1)(德摩根定律)∁U(A⋂B)＝(∁UA)⋃(∁UB)，∁U(A⋃B)＝(∁UA)⋂(∁UB)． (2)(容斥原理)①一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A⋃B)＝card(A)＋card(B)－card(A⋂B)． ②一般地，对任意三个有限集合A，B，C，有card(A⋃B⋃C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A⋂B)－card(B⋂C)－card(C⋂A)＋card(A⋂B⋂C)． 【自测诊断】 1.(多选)下列结论错误的是(　　) A．集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1} B．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1} C．若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1 D．对任意集合A，B，都有(A⋂B)⊆(A⋃B) 答案：ABC 2.(链接北师必修一P7例4)已知集合A＝{x|x2－4x＜0，x∈N＋}，则集合A真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 答案：C 解析：A＝{x|x2－4x＜0，x∈N＋}＝{1，2，3}，所以集合A真子集的个数为23－1＝7个．故选C． 3.(链接北师必修一P10例8)设集合U＝R，M＝{x|x＞1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≤－1}＝(　　) A．∁U B．∁U C．M⋃ D．N⋃ 答案：B 解析：依题意，M∩N＝，M∪N＝，所以∁U＝{x｜x≤1，或x≥2}，故A错误；∁U＝，故B正确；∁UN＝{x｜x≤－1，或x≥2}，M∪＝，或，故C错误；∁UM＝，N∪＝，故D错误.故选B. 4.(链接北师必修一P12A组T10)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，且A⋃B＝A，则实数a的值为　　　　． 答案：2 解析：因为A⋃B＝A，所以B⊆A，则a＋2＝3，或a＋2＝a2，解得a＝1，或a＝2，或a＝－1.当a＝1时，集合A＝{1，3，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去．当a＝2时，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．当a＝－1时，集合A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，舍去．综上a＝2. 考点一　集合的基本概念 自主练透 1.已知集合A＝，且－3∈A，则a等于(　　) A．－3或－1 B．－3 C．1 D．3 答案：B 解析：因为集合A＝，且－3∈A，则a－2＝－3或a2＋4a＝－3，所以a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，a－2＝a2＋4a不合题意舍；当a＝－3时，A＝符合题意．故选B． 2.(2025·福建福州模拟)已知集合A＝，B＝，则C＝中的元素个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：由题意，x＝2a－b，当a＝1，b＝3时，x＝2a－b＝－1，当a＝1，b＝5时，x＝2a－b＝－3，当a＝2，b＝3时，x＝2a－b＝1，当a＝2，b＝5时，x＝2a－b＝－1，当a＝3，b＝3时，x＝2a－b＝3，当a＝3，b＝5时，x＝2a－b＝1，由集合中元素满足互异性，所以C＝{－3，－1，1，3}．故选B． 3.(2025·江苏南通模拟)已知实数集合A＝，B＝，若A＝B，则a2 026＋b2 027＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：当a2＝1，ab＝b时，b＝0，a＝－1或b任意，a＝1(不符合集合元素的互异性，舍)；当a2＝b，ab＝1时，a＝1，b＝1，不符合集合元素的互异性，所以b＝0，a＝－1，a2 026＋b2 027＝1.故选C． 4.(易错题)已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝　　　　． 答案：1或 解析：①若a2－1＝0，则a＝±1.当a＝1时，x＝－}，符合题意；当a＝－1时，A＝∅，不符合题意．②若a2－1≠0，则Δ＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝，此时A＝{－}，符合题意.综上所述，a＝1或. 解决集合含义的关键点 关键点1：明确集合中的代表元素，确定构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合． 关键点2：确定元素的限制条件，准确把握集合的含义． 关键点3：遵循互异性，含字母时务必代入验证． 考点二　集合间的基本关系 师生共研 (1)(一题多变)(多选)(2025·江苏南京模拟)若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是(　　) A．M＝{0，2，4，6}，N＝ B．M＝{x|x2＜1}，N＝{x|x＞1} C．M＝{x|y＝lg}，N＝ D．M＝{|x2＝y2}，N＝{|y＝x} 答案：AD 解析：由Venn图可知N⊆M，对于A，满足N⊆M，故A正确；对于B，M＝{x｜x2＜1}＝{x｜－1＜x＜1}，N＝{x｜x＞1}，此时M，N不满足N⊆M，故B错误；对于C，M＝{x｜y＝lg}＝，因为ex＞0，ex＋≥2，当且仅当x＝0取等号，故N＝＝，此时M⊆N，故C错误；对于D，M＝{｜x2＝y2}＝，或，N＝{｜y＝x}，故N⊆M，故D正确.故选AD. 【教师备选】　设M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M⋂N＝∅ 答案：A 解析：因为M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}＝{x|x＝2(2k－1)－1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以M⊆N．故选A． (2)(一题多变)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 答案：B 解析：因为A⊆B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝，B＝，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝，B＝，符合题意；综上所述a＝1.故选B． ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变条件)已知集合A＝，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，则m的可能取值组成的集合为　　． 答案： 解析：因为B⊆A，所以当B＝∅时，m＝0；当－1∈B时，m＝1；当2∈B时，m＝－，所以m的值为0，1，－，所以m的值组成的集合为． 2.(变条件)已知集合A＝，B＝{x｜x≥1}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案： 解析：x≥1⇒0＜x≤.因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a＋2 026≤0，即a≤－2 026. 学生用书⬇第3页 【教师备选】　(2025·安徽安庆二模)已知集合A＝{x|0＜x＜a＋1}，B＝，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：B＝．又B⊆A＝{x|0＜x＜a＋1}，所以a＋1≥2，得a≥1.故选C． 1.判断两集合关系的方法 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． ［注意］　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论． 对点练1.设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A⋂B＝A 答案：B 解析：因为集合A＝，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}＝，故B⊆A．故选B． 对点练2.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}，则集合B的真子集个数为(　　) A．4 B．7 C．8 D．15 答案：B 解析：由题意得B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}＝{－1，0，1}，故集合B的真子集个数为23－1＝7.故选B． 考点三　集合的基本运算 多维探究 角度1　集合的运算(高考超重点) (1)(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 答案：C 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素．故选C． 【溯源教材1】 溯源 (北师必修一P10例7)设全集U＝{x|x是小于10的正整数}，A＝{2，4，6，8}，B＝{2，3，5，7}，求∁UA，∁UB． (人教A必修一P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB． 透视 高考试题与课本例题均围绕集合补集运算，以“小于某数的正整数构成全集，给定子集求补集”为框架，属于同类型集合补集考查题，关联度高．所以在备考中要立足课标，重视教材，注意高考真题与教材的关联，只有走进教材，吃透教材，才能走向高考 预测 已知集合A＝，B＝，则集合A⋂B中元素的个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1 C．2　　　　　　　　D．3 答案：C 解析：因为圆x2＋y2＝1的圆心O＜1，所以直线与圆相交，所以集合A⋂B中元素的个数为2.故选C． (2)(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}⋃{x|x＝3k＋1，k∈Z}⋃{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(A⋃B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A． 【教师备选】　已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x－3)＞0}，B＝{x|log2(x－1)＜2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A．{x|3≤x＜5} B．{x|0≤x≤3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x≤3} 答案：D 解析：由Venn图可知阴影部分对应的集合为B⋂(∁UA)．由x(x－3)＞0，解得x＜0或x＞3，所以A＝{x|x＜0，或x＞3}，∁UA＝{x|0≤x≤3}．由log2(x－1)＜2＝log24，得0＜x－1＜4，解得1＜x＜5，所以B＝{x|1＜x＜5}，所以B⋂(∁UA)＝{x|1＜x≤3}．故选D． 角度2　利用集合的运算求参数的值(范围) (1)(2025·山东济宁模拟)设集合S＝{x|x＜－1，或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S⋃T＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)⋃(－1，＋∞) B．(－3，－1) C．(－∞，－3］⋃［－1，＋∞) D．［－3，－1］ (2)(2025·江苏南通模拟)已知集合A＝{－2，1，3，4}，B＝{x‖x－2|＜m，x∈R}，若A⋂∁RB＝∅，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：(1)B　(2)(4，＋∞) 解析：(1)因为S＝{x|x＜－1，或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，且S⋃T＝R，所以解得－3＜a＜－1.故选B． (2)由A⋂∁RB＝∅得，B≠∅，m＞0.由B＝{x‖x－2|＜m，x∈R}得，B＝{x|2－m＜x＜2＋m}，所以∁RB＝{x|x≤2－m，或x≥2＋m}，所以解得m＞4. 角度3　Venn图的应用 (1)(多选)已知集合A，B，C是全集为U的非空真子集，且满足A⋂B＝A，A⋃C＝A，则下列选项正确的是(　　) A．C⊆B B．A⋂(∁UB)＝∅ C．C⊆(∁UA) D．(∁UA)⋃B＝U (2)(多选)某校五一田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1 500米都参加的有3人，400米和1 500米都参加的有3人，则下列说法正确的是(　　) A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人 答案：(1)ABD　(2)ABD 解析：(1)因为A⋂B＝A，A⋃C＝A，所以A⊆B，C⊆A，所以C⊆A⊆B，如图用Venn图表示，由图可知C⊆B，故A正确；A⋂(∁UB)＝∅，故B正确；C⋂(∁UA)＝∅，故C错误；(∁UA)⋃B＝U，故D正确．故选ABD． (2)设参加100米、400米、1 500米三个项目的集合分别为A，B，C，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，card(A⋂B)＝4，card(A⋂C)＝3，card(B⋂C)＝3，则由Venn图知card(A⋂B⋂C)＝12－［(8＋7＋5)－(4＋3＋3)］＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人．故选ABD． 学生用书⬇第4页 1.集合运算的关键环节 2.涉及抽象集合的运算问题，可利用集合的包含关系或Venn图，结合Venn图求解． 对点练3.(2025·江苏无锡模拟)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝，B＝，则＝(　　) A．A⋂(∁UB) B．A⋃(∁UB) C．(∁UA)⋃(∁UB) D．(∁UA)⋂(∁UB) 答案：D 解析：A⋃B＝．故选D． 对点练4.已知A＝{x|x＜－1，或x＞3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，若(∁RA)⋂B≠∅，则实数m的取值范围是　　　　． 答案： 解析：由A＝{x|x＜－1，或x＞3}，可得∁RA＝［－1，3］．因为(∁RA)⋂B≠∅，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，所以3≥m－2且－1≤m＋2，解得－3≤m≤5. 对点练5.已知全集U＝{x∈N|0＜x＜8}，A⋂(∁UB)＝{1，2}，∁U(A⋃B)＝{5，6}，B⋂(∁UA)＝{4，7}，则集合A为(　　) A．{1，2，4} B．{1，2，7} C．{1，2，3} D．{1，2，4，7} 答案：C 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，根据题意得到如图所示的Venn图，所以A＝{1，2，3}．故选C． 考点四　集合新定义问题 师生共研 (1)若集合A＝{x|3x2－8x－3≤0}，B＝{x|x＞1}，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝　　　　． (2)(多选)已知非空数集S满足：对任意给定的x，y∈S(x，y可以相同)，有x＋y∈S且x－y∈S．则下列选项正确的是(　　) A．0∈S B．若2∈S，且5∈S，则Z⊆S C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则S＝{x|x＝5k，k∈Z} 答案：(1)　(2)ABD 解析：(1)由3x2－8x－3≤0得－≤x≤3，则A＝．又A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝． (2)对于A，令a是非空数集S的元素，则0＝a－a∈S，故A正确；对于B，由2∈S，得－2＝0－2∈S，可推得2n∈S，n∈Z，即{2n|n∈Z}⊆S．又5∈S，则1＝6－5∈S，从而2n＋1∈S，则{2n＋1|n∈Z}⊆S，因此Z⊆S，故B正确；对于C，S＝{0}符合要求，此集合为有限集，故C错误；对于D，由S中最小的正数为5，－5＝0－5∈S，可推得5k∈S，k∈Z，假设S里有形如5k＋r，k∈Z，r∈{1，2，3，4}，那么(5k＋r)－5k＝r∈S，与5是集合中的最小正数矛盾，因此S＝{x|x＝5k，k∈Z}，故D正确．故选ABD． 解决集合新定义的思维路径 对点练6.定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为　　　　． 答案：18 解析：当x＝0时，y＝2，3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2，3，对应的z＝6，12，即集合A⊙B＝{0，6，12}，故集合A⊙B的所有元素之和为18. 【教师备选】　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；现有两个数域E＝{a＋b|a，b∈Q}与F＝．下列关于这两个数域的命题中是真命题的为(　　) A．数域E，F中均含的元素0，1 B．有理数集Q⊆E C．E⋃F是一个数域 D．整数集Z⊆ 答案：ABD 解析：对于A，根据定义，由a∈P，则a－a＝0∈P，＝1∈P，则0，1是任何数域中的元素，故A正确；对于B，当b＝0时，a＋b＝a∈Q，故B正确；对于C，取x＝1＋∈E，y＝1＋∈F，则x－y＝－∉(E∪F)，则E∪F不是一个数域，故C错误；对于D，由0，1是任何数域中的元素可得1＋1＝2∈P，0－1＝－1∈P依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则Z⊆E，Z⊆F，则整数集Z⊆，故D正确.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $