第2章 第7讲 函数的单调性和最值(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性和最值”专题，依据新课标要求梳理了单调性定义、单调区间、最值求法及应用等核心考点，通过分析近三年高考真题明确单调性判断、参数范围问题等高频考点分布，归纳选择、填空、解答题三类常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法归纳+分层训练”，如以2023新课标Ⅰ卷复合函数单调性题为例，用“同增异减”法则结合导数法突破，培养学生数学思维和符号表达能力。特设易错点分析（如单调区间用“和”连接），帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第7讲　函数的单调性和最值 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值， 理解它们的作用和实际意义． 2.掌握函数单调性的简单应用． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上__________ 当x1＜x2时，都有___________，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上__________ f(x1)＜f(x2) 单调递增 f(x1)＞f(x2) 单调递减   增函数 减函数 图 象 描 述   自左向右看图象是上升的   自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作函数y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 微提醒 一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“⋃”连接．　 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃x0∈D，使得___________ (1)∀x∈D，都有__________； (2)∃x0∈D，使得___________ 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 常用结论 1.函数单调性的两个等价结论 (1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＞0⇔f(x)在区间I上单调递增． (2)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＜0⇔f(x)在区间I上单调递减． 2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 3.复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减． 4.(1)对勾函数y＝x＋(a＞0)的单调性：在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减. (2)对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)的单调递增区间是(－∞，－］和［，＋∞)，单调递减区间是［－，0)和(0，］. √ √ √ 自测诊断 1.(多选)下列结论错误的是 A．因为f(x)在［－3，2］上是增函数，则f(－3)＜f(2) B．函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2，3) C．若函数f(x)在区间(1，2］和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)⋃(0，＋∞) 2.(链接北师必修一P65A组T2)y＝在［3，4］上的最大值为 A．2 B． C． D．4 √ y＝＋1，因为y＝＋1在［3，4］上单调递减，所以当x＝3时，y取得最大值，最大值为＋1＝2.故选A． 3.(链接北师必修一P65B组T3)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是 A．f(m)＜f(1) B．f(m)＞f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)＝f(1) √ 因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)＞f(1)．故选B． 4.(链接北师必修一P64练习T2)已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在［5，20］上单调，则实数k的取值范围是_______________________． (－∞，5］⋃［20，＋∞) 因为函数f(x)＝x2－2kx＋4在［5，20］上单调，所以k≤5或k≥20. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数的单调性 多维探究 √ 角度1　求函数的单调区间(自主练透) 1.函数f(x)＝－的单调递增区间是 A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C． D．(－∞，2)，(2，＋∞) 函数f(x)＝－，所以f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，2)，(2，＋∞)．故选D． √ 2.函数y＝lo的单调递减区间是 A． B． C． D． 依题意，知x2－3x＋2＝＞0，可得函数y＝lo的定义域是∪.y＝lo可分解为y＝lot和t＝x2－3x＋2，因为函数y＝lot在上单调递减，且t＝x2－3x＋2在上单调递减，在上单调递增，综上函数y＝lo的单调递减区间是.故选D. √ 3.函数g(x)＝x＋1的单调递减区间是 A． B． C． D．⋃ 当x≥－1时，g(x)＝x＋1＝x2＋x＋1，则g(x)在单调递减，在(－，＋∞)单调递增；当x＜－1时，g(x)＝－x＋1＝－x2－x＋1，则g(x)在单调递增，所以g(x)＝的单调递减区间是［－1，－］.故选B. √ 角度2　判断或证明函数的单调性 (1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 典例1 对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝＝＝，f(1)＝3｜1－1｜＝30＝1，f(2)＝3｜2－1｜＝3，显然f(x)＝3｜x－1｜在(0，＋∞)上不单调，故D错误.故选C. (2)(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：法一(定义法)：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a． 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 法二(导数法)：f′(x)＝ ＝． 故当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 函数单调性的判断方法 1.定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—作差(作商)—变形—判断符号—下结论”进行判断． 2.图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． 3.直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 规律方法 √ 对点练1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是 A． B． C．和 D．和 因为函数y＝x2－5x＋6的对称轴为直线x＝，由x2－5x＋6＝0可得x＝2或x＝3，作出函数f(x)＝的图象如图所示.由图可知，函数f(x)的单调递增区间是.故选C. √ 对点练2.(多选)(2026·四川绵阳模拟)下列函数中，是增函数的是 A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝x3＋x D．f(x)＝x－cos x √ √ 对于A，易知f(x)＝2x－2－x的定义域是R，是由函数y＝2x和y＝－2－x组成，易知y＝2x为单调递增函数，y＝－2－x为单调递增函数，故A正确；对于B，对勾函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)和上单调递增，故B不符合题意；对于C，易知f(x)＝x3＋x的定义域是R，由幂函数性质可得其在定义域内单调递增，故C正确；对于D，函数f(x)＝x－cos x的定义域为R，则f′(x)＝1＋sin x≥0恒成立，所以函数f(x)＝x－cos x在定义域内单调递增，故D正确．故选ACD． 考点二　函数的最值(值域) 师生共研 角度1　求函数的最值(值域) (1)(双空题)函数f(x)＝x－(x∈［1，2］)的最大值为_____．函数f(x)＝的最小值为__________． 1 2－3 典例2 第一空：因为函数y＝x，y＝－在区间［1，2］上均单调递增，故函数f(x)在［1，2］上单调递增，当x∈［1，2］时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1. 第二空：当x≥1时，f(x)＝x＋－3在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x＝时取得最小值，即f(x)min＝2－3；当x＜1时，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以f(x)在x＝0时取得最小值，即f(x)min＝1.综上，f(x)的最小值为2－3. (2)(一题多解)对于任意实数a，b，定义min＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值为_____． 1 法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：根据题意h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. √ 角度2　由函数的最值(值域)求参数 (2026·江西新余模拟)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 典例3 根据题意知，f(x)＝log2x＋2x在区间上单调递增，所以f(x)在区间上的值域为.x≤2时，f(x)＝ax2＋2ax＋4a＋6＝a＋3a＋6，其对称轴为x＝－1，要使f(x)的值域为R，则f(x)在区间上的值需取遍区间内所有值，所以解得－≤a＜0.故选C. 求函数最值(值域)的三种常用方法 规律方法 注意　(1)对于较复杂的函数，可运用导数求最值．(2)对于分段函数，应先求出每一段上的最值，其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．(3)关于分式函数与根式函数的最值(值域)见教材拓展3. 规律方法 √ 对点练3.(2025·重庆模拟)函数f(x)＝2x＋的值域为 A． B． C． D． 函数f(x)＝2x＋的定义域是.又y＝2x与y＝上均单调递增，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝1，故f(x)的值域为.故选D. √ 对点练4.(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝有最大值，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 当x＜1时，f(x)＝ex＜0，当x≥1时，f(x)＝ax＋1，若a＞0，f(x)＝ax＋1在上单调递增，此时f(x)没有最大值；若a＜0，f(x)＝ax＋1在上单调递减，函数要有最大值，则a＋1≥0，解得－1≤a＜0；若a＝0，ax＋1＝1，函数有最大值1，符合题意；故实数a的取值范围是.故选A. 教师备选 (2026·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝若f(x)在区间(a，b)上既有最大值，又有最小值，则b－a的最大值为___． 3 当x≤0时，f(x)＝x2－x＋1＝2＋，则f(x)在 上单调递减，此时f(x)≥f(0)＝1，当x＞0时， f(x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，则函数f(x)在 上单调递增，此时1＜f(x)≤2，在［1，＋∞) 上单调递减，此时f(x)≤2，当x≤0时，由f(x)＝2，即x2－x＋1＝2，得x＝－1，当x＞0时，由f(x)＝1，即－x2＋2x＋1＝1，得x＝2，画出函数的图象，如图．若f(x)在区间(a，b)上既有最大值，又有最小值，得－1≤a＜0，1＜b≤2，因此1＜b－a≤3，则b－a的最大值为3. 考点三　函数单调性的应用 多维探究 √ 角度1　利用单调性比较大小 已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 典例4 易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又＞1，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a．故选D． 角度2　利用单调性解函数不等式 (1)(双空题)函数y＝f(x)满足f(t＋1)＜f(2t)，若函数f(x)是定义在R上的减函数，则实数t的取值范围是__________；若函数f(x)是定义在［－2，2］上的减函数，则实数t的取值范围是___________． 典例5 (－∞，1) ［－1，1) 第一空：依题意，得2t＜t＋1，即t＜1. 第二空：依题意，得⇒－1≤t＜1. (2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是________ ________________． (－， －2)⋃(2，) 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2.由f(x2－4)＜2，得f(x2－4)＜f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－． √ 角度3　利用单调性求参数的取值范围(高考超重点) (1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 A．(－∞，－2］ B．［－2，0) C．(0，2］ D．［2，＋∞) 典例6 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2.故选D. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A．(－∞，0］ B．［－1，0］ C．［－1，1］ D．［0，＋∞) √ 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在［0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.故选B． 溯源教材3 溯源 (北师必修一P73C组T3)已知函数f(x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 透视 高考题与教材习题“考点同源、逻辑同构、形式呼应”，都是以分段函数为载体考查单调性的应用，共同强化对“分段函数单调条件”的掌握．高考题可视为教材习题的深化(函数复杂化)，印证了“同一主题跨模块联系”的重要性 预测 已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，则实数a的取值范围是 A．［2，＋∞) B．(，2］ C．(，1］ D．［1，2］ √ 对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有＞0成立，所以函数f(x)＝在R上是增函数，所以解得＜a≤1.故选C. 1.比较函数值大小：转化到同一单调区间，用单调性判断． 2.解函数不等式：脱“f”转化为自变量关系，注意定义域． 3.单调性求参数：建参数满足的方程、不等式(或结合图象)，分段函数关注衔接点． 规律方法 √ 对点练5.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2．记a＝f()，b＝f()，c＝f()，则 A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1.因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7＞0，所以－1－(1－)＝－＞0，即－1＞1－.由二次函数的性质知g()＜g()，因为－1－(1－)＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)＜0，即－1＜1－，所以g()＞g()，综上，g()＜g()＜g()，又y＝ex为增函数，故a＜c＜b，即b＞c＞a.故选A. √ 对点练6.已知函数f(x)＝ex－e－x，则使f(|x|)＜f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是 A．(－1，0) B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．(1，＋∞) 函数y＝ex为增函数，函数y＝e－x为减函数，所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数，所以f(|x|)＜f(－3x2＋4)⇔|x|＜－3x2＋4，即3|x|2＋|x|－4＜0，(|x|－1)(3|x|＋4)＜0，得0≤|x|＜1，解得－1＜x＜1.故选C． 对点练7.已知函数f(x)＝若f(3－a2)＜f(2a)，则实数a的取值范围是__________． (－3，1) 根据所给的分段函数，画出图象如图． 已知函数在整个定义域上是单调递减，由f(3－a2)＜f(2a)可知，3－a2＞2a，解得－3＜a＜1. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·北京顺义模拟)下列函数中，单调递增且值域为的是 A．y＝x2 B．y＝ C．y＝3x－1 D．y＝log2x √ 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性；对于B，函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意；对于C，函数在R上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件；对于D，函数在上单调递增，值域为R，故D函数的值域不满足条件.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.函数f(x)＝x2－4＋3的单调递增区间是 A． B．和 C． D．和 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为f(x)＝x2－4作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知：函数f(x)的单调递增区间是(－2，0)和(2，＋∞)．故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 3.(2026·陕西西安模拟)若函数f(x)＝2x2＋ax－3在上单调，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝x2＋ax－3在上为减函数，在上为增函数，且函数f(x)＝上单调，根据复合函数的单调性，可得－≤1，即a≥－2.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 4.(2026·陕西渭南模拟)定义一种运算a△b＝则函数f(x)＝x△21－x的最大值为 A．1 B．2 C．0 D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 记g(x)＝x－21－x＝x－2·，由y＝x为定义域上的单调递增函数，y＝2·为定义域上的单调递减函数，由单调性的性质可知g(x)为定义域上的单调递增函数.又g＝1－20＝0，故由x≤21－x可得g(x)≤0＝g，解得x≤1；由x＞21－x可得g(x)＞0＝g，解得x＞1.所以f(x)＝x△21－x＝当x≤1时，f(x)＝x∈；当x＞1时，则1－x＜0，f(x)＝21－x∈.综上所述，当x＝1时函数f(x)取到最大值为1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 5.(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是 A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4］⋃［4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 当a＞0时，f(x)＝x－，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在 (－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，在定义域上不单调，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知B、C正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 6.(新定义)(多选)(2026·安徽马鞍山模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＞0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有 A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝x2＋x √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 依题意可得，当x1≠x2时，恒有＞0.令x1＞x2，故x2f(x1)－x1f(x2)＞0.又f(x)定义在(0，＋∞)上，故＞，即在(0，＋∞)上单调递增.对于A，＝在(0，＋∞)上单调递减，故A不正确；对于B，＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C不正确；对于D，＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 7.(开放题)(2026·陕西宝鸡模拟)若一个函数的定义域是R，值域为，则它的解析式可能为_____________________． y＝2x＋1(答案不唯一) 函数的定义域是R，值域为，所以可取y＝2x＋1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.(2026·江西瑞金模拟)已知函数y＝2x＋22－x的最小值为a，则f(x)＝的值域为_______________________． ⋃ 因为2x＋22－x≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，所以a＝4，f(x)＝.易知f(x)的定义域是∪，当x＞0时，3x－1＞0，则＞0；当x＜0时，－1＜3x－1＜0，则＜－4，所以f(x)的值域为(－∞，－4)∪(0，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 9.(10分)(2026·江西九江模拟)已知f(x)＝是定义在［－2，2］上的函数，若满足f(x)＋f(－x)＝0且f(1)＝． (1)求f(x)的解析式； 解：x∈［－2，2］，且f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(x)为奇函数． 将x＝0代入f(x)＋f(－x)＝0可得f(0)＝0， 即＝0，所以c＝0， 即f(x)＝，因为f(1)＝， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 所以f(－1)＝－，代入可得 解得故f(x)＝. 因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，函数为奇函数，满足题意，故f(x)＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)(一题多解)设函数g(x)＝x2－2mx＋4(m∈R)，若对任意x1，x2∈［1，2］，都有g(x2)＜f(x1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：由题意可知，g(x2)max＜f(x1)min，设1≤a＜b≤2， 则f(b)－f(a)＝ ＝． 因为1≤a＜b≤2，所以b－a＞0，4－ab＞0，所以f(b)－f(a)＞0，即f(b)＞f(a)， 故函数f(x)＝在[1，2]上单调递增，最小值为f(1)＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 法一：g(x)＝x2－2mx＋4＜在[1，2]上恒成立，只要2m＞， y＝x＋上单调递减，在上单调递增， 当x＝1时，x＋＝， 当x＝2时，x＋＝＜， 故当x＝1时，＝，所以m＞. 所以实数m的取值范围为(，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 法二：g(x)＝x2－2mx＋4＝＋4－m2，x∈[1，2]， 当m≤时，g(x)max＝g(2)＜，即4－4m＋4＜，解得m＞，舍去； 当m＞时，g(x)max＝g(1)＜，即1－2m＋4＜，解得m＞，因此m＞. 综上所述，实数m的取值范围为(，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.(2025·山东泰安一模)若＋log5a＝16b＋2log25，则 A．a＜b8 B．a＞b8 C．a＞8b D．a＜8b √ 依题意，得a，b＞0，则16b＋2log25＝24b＋log5＜24b＋log5，即＋log5a＜24b＋log5，令f(x)＝2x＋log5(2x)，y＝f(x)在R上单调递增，则f＝＋log5a，f＝24b＋log5，即f＜f，故＜4b，即a＜8b.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.(2026·安徽淮北模拟)已知函数f(x)＝则不等式f≥ f的解集为 A． B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 当2a－1≥0，即a≥，又可得a2≥0，当x≥0时，f(x)＝上单调递增，由f≥f，可得a2≥2a－1，解得a≥；当－1≤2a－1＜0，即0≤a＜时，由f≥f(2a－1)，可得a≥－，所以4a2－7a＋2≤0，解得≤a＜；当2a－1＜－1，即a＜0，由f≥f，得－a≥－，所以4a2－5a＋2≤0，因为Δ＝－4×4×2＜0，所以不等式4a2－5a＋2≤0无解.综上所述：不等式f≥f的解集为.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.(15分)(一题多问)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋的定义域为(1，＋∞)． (1)求f(2)的值(用含a的式子表示)； 解：由函数f(x)＝x2＋可得，f(2)＝22＋＝4＋. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； 解：任取x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝(＋)－＝(－)＋＝(x1－x2)·. 因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)＞0. 因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2＞0， 所以(x1＋x2)x1x2－a＞0，即a＜(x1＋x2)x1x2恒成立． 因为x1＞x2＞1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1，所以(x1＋x2)x1x2＞2，所以a≤2. 故实数a的取值范围是(－∞，2］． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (3)在(2)的条件下，若对(1，＋∞)内的任意实数x，不等式f＞4＋恒成立，求实数a的取值范围． 解：由(1)可知f(2)＝4＋， 所以不等式f＞4＋可化为f(ex－)＞f(2). 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以ex－＞2恒成立， 即a＜(ex)2－2ex在(1，＋∞)上恒成立． 记g(x)＝(ex)2－2ex，x∈(1，＋∞)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 令t＝ex，则t＞e， 所以y＝t2－2t＝(t－1)2－1在(e，＋∞)上单调递增， 所以y＞e2－2e，所以a≤e2－2e． 故实数a的取值范围是(－∞，e2－2e］． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 13.(5分)已知函数f(x)的定义域为D，若∀x∈D，都有f(x＋t)＞f(x)，t∈N*，则称函数f(x)为“t距”增函数．若函数f(x)＝2x2＋a|x|(a∈R)，且f(x)是 (－1，＋∞)上的“3距”增函数，则实数a的取值范围是 A．(－1，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－∞，－2) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为函数f(x)＝2x2＋a|x|(a∈R)，且f(x)是(－1，＋∞)上的“3距”增函数，所以当x＞－1时，f(x＋3)＞f(x)恒成立．又因为y＝2x为增函数，所以(x＋3)2＋a(x＋3)＞x2＋a|x|．当x≥0时，(x＋3)2＋a(x＋3)＞x2＋ax，即2x＋a＋3＞0恒成立，于是a＋3＞0，解得a＞－3；当－1＜x＜0时，(x＋3)2＋a(x＋3)＞x2－ax，即2ax＋6x＋3a＋9＞0恒成立，整理得(2x＋3)(a＋3)＞0，解得a＞－3．综上，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 14.(15分)(新定义)(2026·广东韶关期末)设函数f(x)的定义域为D，对于区间I＝［a，b］(a＜b，I⊆D)，若满足以下两条性质之一，则称I为f(x)的一个“Ω区间”． 性质1：对任意x∈I，有f(x)∈I； 性质2：对任意x∈I，有f(x)∉I． (1)分别判断区间［1，4］是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由． ①y＝－x＋5，②y＝． 解：对于①，由一次函数y＝－x＋5的性质，得它在［1，4］上单调递减， 所以当x∈［1，4］时，y∈［1，4］，故区间［1，4］是y＝－x＋5的“Ω区间”． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于②，由反比例函数y＝的性质得它在［1，4］上单调递减， 所以当x∈［1，4］时，y∈，此时不满足任意y∈［1，4］，也不满足任意y∉［1，4］， 故区间［1，4］不是y＝的“Ω区间”． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若［0，2］是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，求实数m的取值范围． 解：依题意，知［0，2］是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，f(0)＝0＋0＝0，所以f(x)＝－x2＋2mx满足性质1， ①若m≤0时，且x∈［0，2］，可知f(x)＝－x2＋2mx在x∈［0，2］上单调递减，所以解得m不存在，故舍去． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ②若0＜m＜2时， f(x)在x∈上单调递增， 在x∈上单调递减，所以f(x)max＝f(m)， ． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ③若m≥2时，f(x)在x∈［0，2］上单调递增， 解得m不存在，故舍去． 综上可知，若［0，2］是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，实数m的取值范围是． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 第7讲　函数的单调性和最值 $