第2章 第10讲 简单的幂函数与几类常见的特殊函数(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数与特殊函数”专题，依据课程标准梳理幂函数定义、图像性质及对勾函数、高斯函数等几类特殊函数的核心考点，对接高考评价体系，分析性质辨析、图像应用、不等式恒成立等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点分层突破+高考真题演练+素养提升”策略，通过幂函数性质对比表培养数学思维，以对勾函数在区间上的最值问题为例指导解题技巧，帮助学生掌握得分要点。教师可据此系统开展复习教学，助力学生高效备战高考。

第10讲　简单的幂函数与几类常见的特殊函数 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象， 理解它们的变化规律，了解幂函数． 2.了解一次分式函数、对勾函数、飘带函数、新定义函数(高斯函 数、狄利克雷函数和最值函数)的图象与性质． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.幂函数 (1)定义：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 幂函数 y＝x y＝x－1 y＝x2 y＝ y＝x3 图象           定义域 R ___________ R ____________ R 值域 R {y|y∈R且y≠0} ____________ ［0，＋∞) R 单调性 增 __________________ ________________ x∈［0，＋∞)增， x∈(－∞，0)减 增 增 奇偶性 奇函数 ________ 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 (2)简单幂函数的图象和性质 {x|x≠0} ［0，＋∞) ［0，＋∞) x∈(－∞，0)减， x∈(0，＋∞)减 奇函数 2.对勾函数、飘带函数   对勾函数 飘带函数 解析式 y＝ax＋(a＞0，b＞0) y＝ax－(a＞0，b＞0)   对勾函数 飘带函数 图象     定义域 ___________ __________ {x|x≠0} {x|x≠0}   对勾函数 飘带函数 单调性 单增区间：_______________________； 单减区间：________________________ 单增区间：(－∞，0)，(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 ____函数 渐近线 y＝ax和x＝0 _____________ 说明 关注北师教材必修一P64例5、P69T3(4) 关注北师教材必修一P73B组T5 (－∞，－)，(，＋∞) ， 奇 y＝ax和x＝0   一次分式函数 高斯函数 解析式 y＝(a≠0，ad≠bc) y＝［x］ (不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］，又叫取整函数) 图象     定义域 R 3.一次分式函数、高斯函数   一次分式函数 高斯函数 值域 Z 性质 (1)单调性：当ad＞bc时，单减区间：(－∞，－)，(－，＋∞)； 当ad＜bc时，单增区间：(－∞，－)，(－，＋∞) (2)对称性：对称中心________ (3)渐近线方程：x＝－和y＝ 不具有单调性、奇偶性、周期性、对称性 说明 关注北师教材必修一P72A组T3，P73B组T4 关注北师教材必修一P57例4，必修二P2例1、例2 (－，) 4.最值函数、狄利克雷函数 (1)设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． (2)狄利克雷函数D(x)＝的性质 ①定义域R；值域{0，1}．②奇偶性：偶函数． ③周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． ④无法画出函数的图象，但其图象客观存在． 常用结论 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质． (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)的极值与极值点可利用基本不等式求得． √ √ 自测诊断 1.(多选)下列结论正确的有 A．函数y＝2x是幂函数 B．当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数 C．当n是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数 D．函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－)，(，＋∞) 2.(2025·河南驻马店模拟)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴无公共点，则m＝ A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 √ 因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.当m＝－2时，f(x)＝x－2＝，图象与坐标轴无公共点，符合题意；当m＝1时，f(x)＝x，其图象与坐标轴有公共点，不合题意．综上，m＝－2.故选A． 3.(链接北师必修一P64例5)函数f(x)＝x＋在上的最小值为 A．4 B． C． D．5 √ 由对勾函数的单调性知，函数f(x)＝x＋上单调递增，所以f(x)min＝f．故选B． 4.(链接北师必修一P59B组T2)函数f(x)＝［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如，［－3.5］＝－4，［2.1］＝2，则函数g(x)＝x－［x］的值域为_________． ［0，1) 设x＝a＋b，其中a＝［x］，b为x的小数部分，则0≤b＜1，则g(x)＝x－［x］＝b∈，所以函数g(x)的值域为． 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　幂函数的图象和性质 自主练透 √ 1.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象：当n＞0时，n越大，y＝xn递增速度越快，所以曲线C1的n＝2，C2的n＝；当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，C4的n＝－2.故选B． √ 2.(2026·上海模拟)幂函数y＝xa在上是严格减函数，且经过，则a的值可能是 A．－ B．－ C． D．3 因为幂函数y＝xa在上是严格减函数，所以a＜0，故C错误，D错误；对于A，若a＝－，则y＝，当x＝－1时，y＝＝＝＝1，所以幂函数y＝过点，故A错误；对于B，若a＝－，则y＝，当x＝－1时，y＝＝＝－1，所以幂函数y＝过点，故B正确.故选B. √ 3.(2026·河北石家庄模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为 A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 由a＝，b＝，c＝，得a＝，b＝，c＝.因为幂函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增，且＜＜，所以＜＜，即c＜a＜b.故选D. √ 4.(多选)已知函数f(x)＝xα，则下列说法正确的是 A．∀α∈，f＝1 B．∃α∈，f(0)＝0 C．两个幂函数的图象最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当x∈时，α越小，f(x)越大 √ 对于A，对任意α∈，f＝1α＝1，恒成立，故A正确；对于B，α∈时，f(0)＝0α无意义，故B错误；对于C，两个幂函数y＝xa和y＝xb的交点满足xa＝xb，解得x＝0(仅当指数非负时)、x＝1、x＝－1(可能不存在).实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错误；对于D，当x∈时，f(x)＝xα的值随α的减小而增大，如＝＜＝1＜＝2，故D正确.故选AD. 1.对于幂函数的图象先画出其第一象限内的部分，再依奇偶性补全其余象限． 2.比较幂值大小，根据幂值特点选合适的函数，借助单调性判断． 规律方法 考点二　对勾函数、飘带函数与一次分式函数 师生共研 典例1 已知函数f(x)＝＋． (1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集； 解：当a＝0时，f(x)＝≥0， 得x＞0或解得x＞0或x≤－2， 所以x∈． (2)若对于一切x∈，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围． 解：由题设条件，即＋≥1， 当a≤0时，x－a＋≥1，x＋－1≥a， 因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号， 所以a≤3，所以a≤0符合题意. 当a＞0时，f(x)＝ ①当x≥a时，x＋－a≥1，即a≤x＋－1. 设g(x)＝x＋－1，函数g(x)在上单调递减，在上单调 递增. 当0＜a≤2时，a≤g＝3，所以0＜a≤2， 当a＞2时，a≤g(a)＝a＋－1，所以a≤4，即2＜a≤4. ②当0＜x＜a时，－x＋＋a≥1，即a≥x－＋1，所以a≥a－＋1，a≤4. 综上，实数a的取值范围是. 　　对于对勾函数、飘带函数与一次分式函数，要利用其性质(对称性、奇偶性、单调性以及渐近线)解决问题． 规律方法 对点练1.已知函数y＝(常数a∈Z)．有如下三个条件：(1)在区间(1， ＋∞)上是严格增函数；(2)在定义域上函数值恒为负值；(3)对称中心为 (1，a)． 问：是否存在整数a，使该函数满足条件(1)、(2)、(3)中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：y＝＝a＋＝f(x)，当a＋2≠0时，函数值域. 所以(2)成立只能a＝－2. 要使得y＝a＋在区间(1，＋∞)上是严格增函数，则a＋2＜0，a＜－2； 因为f(x)＋f(－x＋2)＝a＋＋a＋＝2a，所以函数f(x)的对称中心为(1，a)， 由(1)(3)得a＜－2，a∈Z．由(2)(3)可得a＝－2. 综上所述，a≤－2且a∈Z． √ 教师备选 (多选)已知函数f(x)＝x－，下面结论中正确的有 A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．方程f(x)＝3的解集为{－1，4} D．∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，不等式＞0恒成立 √ √ 函数f(x)的定义域是{x|x≠0}．因为f(－x)＝－x－()＝－(x－)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确，B错误；令f(x)＝x－＝3，得x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以解集为{－1，4}，故C正确；在(0，＋∞)内任取x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－－(x2－)＝(x1－x2)＋()＝(x1－x2)·()．因为0＜x1＜x2，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不等式＞0恒成立，故D正确．故选ACD． 考点三　高斯函数、狄利克雷函数与最值函数 多维探究 典例2 √ 角度1　高斯函数 (多选)(2026·山西太原模拟)函数f(x)＝［x］的函数值表示不超过x的最大整数，例如，＝－4，＝2，函数g(x)＝x－［x］，下列说法正确的是 A．函数g(x)的最小正周期为1 B．函数g(x)为奇函数 C．函数g(x)的值域为 D．函数g(x)的单调递增区间为，n∈Z √ √ 对于g(x)＝x－［x］，当n≤x＜n＋1，n∈Z时，［x］＝n，所以g(x)＝x－［x］＝x－n，n≤x＜n＋1，n∈Z，作出g(x)＝x－［x］＝的部分图象，如图． 对于A，函数f(x)每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以函数g(x)的最小正周期为1，故A正确；对于B，结合图象可知，g(x)不是奇函数，故B错误；对于C，结合图象可知，g(x)的值域为，故C正确；对于D，结合图象可知，g(x)的单调递增区间为，n∈Z，故D正确.故选ACD. √ 角度2　狄利克雷函数 (多选)(2026·山东滨州模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为D(x)＝x∈R，其中Q为有理数集，则下列结论正确的为 A．狄利克雷函数是偶函数 B．狄利克雷函数是周期函数，无最小正周期 C．不等式D(x)≥x2的解集为 D．函数f(x)＝x2－2D(x)·x－3有四个不同的零点 典例3 √ √ 对于A，x是有理数时，－x是有理数，x是无理数时，－x也是无理数，因此总有D(－x)＝D(x)，故A正确；对于B，对任意的有理数T，x是有理数时，x＋T是有理数，x是无理数时，x＋T也是无理数，因此D(x＋T)＝D(x)，所以非零有理数都是其周期，但没有最小正周期，故B正确；对于C，当x∈Q时，不等式D(x)≥x2为1≥x2，此时－1≤x≤1，因此［－1，1］上的所有有理数都是不等式的解，同样当x∉Q时，不等式D(x)≥x2为0≥x2，无实解，故C错误；对于D，当x∈Q时，f(x)＝x2－2D(x)·x－3＝x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1，当x∉Q时，f(x)＝x2－2D(x)·x－3＝x2－3＝0，x＝±，所以f(x)有4个零点，故D正确．故选ABD． √ 角度3　最值函数 (多选)(2025·江苏苏州模拟)定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f(x)＝min{x2－3x＋3，3－|x－3|}，则 A．f(x)有且仅有一个极小值点为 B．f(x)有且仅有一个极大值点为3 C．∀x∈⋃，f(x)≤1 D．∃k∈R，f(x)≤k恒成立 典例4 √ √ 依题意，函数f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示.由图象知，f(x)有且仅有一个极小值点为，故A正确；函数有两个极大值点1和3，故B错误； 令f(x)≤1，可得解得x≤2或x≥5，即当x∈∪时，f(x)≤1，故C正确；由图象知，当x＝3时，函数f(x)的最大值f(3)＝3，所以存在实数k≥3，使得f(x)≤k恒成立，故D正确.故选ACD. 1.处理取整函数和狄利克雷函数这类特殊函数时，先明确函数的核心定义(如取整、分段规则)，再结合其独有的性质(奇偶性、定义域分段性)，将问题转化为可操作的步骤(补全图象、解不等式组、分类验证)，避免脱离定义的盲目运算． 2.最值函数的本质是“分段函数”，需先通过分界点拆分为基础函数，分段分析函数的图象，再研究最值函数的单调性、奇偶性、值域等性质． 规律方法 √ 对点练2.(多选)(2026·山东青岛模拟)已知狄利克雷函数D(x)＝设函数f(x)＝D(x)·sin πx，则 A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数 C．f(x)的值域是［－1，1］ D．f(x)在区间［－1，1］上的有理数零点恰有3个 √ √ D(x)的定义域是R，当x为有理数时，－x是有理数，则D(－x)＝D(x)＝1，当x为无理数时，－x是无理数，则D(－x)＝D(x)＝0，即D(x)为偶函数，故f(－x)＝sin·D(－x)＝－sin πx·D(x)＝－f(x)，f(x)是奇函数，故A正确；对于任意的整数2k，k∈Z，当x为有理数时，x＋2k也是有理数，则D＝D(x)＝1，当x为无理数时，x＋2k也是无理数，则D＝D(x)＝0，f＝D·sin＝D(x)·sin πx＝f(x)，即函数f(x)是周期函数，故B正确；函数D(x)的值域为，当x为无理数时，f(x)＝0，当x为有理数时，f(x)＝sin πx，πx不能取到一个周期所有实数，所以f(x)＝sin πx取不到[－1，1]全部，故C错误；f(x)＝D(x)·sin πx＝0，当x为有理数时，f(x)＝sin πx，得出在区间[－1，1]上有－1，0，1，3个有理数零点，故D正确.故选ABD. 对点练3.(2026·安徽合肥模拟)高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称．函数f(x)＝［x］称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x的最大整数，例如，＝－4，［2.1］＝2，＝3.若＋＋＋＋…＋＋＝114，则实数a的取值范围是______________． ［10.3，10.4) 由114÷11＝10，得10＜a＜11.又114＝10×7＋11×4，则［a］＝［a＋0.1］＝［a＋0.2］＝…＝［a＋0.6］＝10，［a＋0.7］＝［a＋0.8］＝［a＋0.9］＝［a＋1］＝11，因此解得10.3≤a＜10.4，所以实数a的取值范围是［10.3，10.4)． 对点练4.(2026·广西柳州模拟)记实数x1，x2，…，xn的最小数为min，若f(x)＝min，则函数f(x)的最大 值为____． 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数y1＝x ＋1，y2＝x2－2x＋1，y3＝－x＋8的图象.而f(x)＝ min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}的图象即是图中的实 线部分，要求的函数f(x)的最大值即图中最高点A的纵 坐标.由联立解得故所求函数f(x)的最大值为. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·黑龙江大庆模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(4，2)，则f(3)的值为 A． B． C．3 D．9 √ 设f(x)＝xα，则2＝4α，所以α＝，即f(x)＝x．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.若函数y＝x－＋在上单调递增，则实数k的取值范围是 A． B． C． D． √ 当k＞0时，y＝x－＋上单调递增，满足题意，当k＝0时，y＝x，满足题意，当k＜0时，y＝x＋＋.由对勾函数的性质知，若满足题意则≤1，解得－1≤k＜0.综上k≥－1.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 3.min表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 作出f(x)的图象，由图象可知，f(x)＝由图可知f(x)的最大值为8.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 4.(2026·江西南昌模拟)若直线y＝t(0＜t＜1)与幂函数y＝x3，y＝，y＝的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则＝ A．－t2 B．－t3 C．－ D．－t2 当y＝t时，由y＝x3，得x＝；由y＝，得x＝t2；由y＝，得x＝．因为0＜t＜1，所以y＝tx是关于x的减函数．又－1＜＜2，所以＞t2，所以－t2.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 5.(多选)(2026·湖北黄冈模拟)已知幂函数f(x)＝xm－2，则下列结论不正确的是 A．f(x)为奇函数 B．f(x)在其定义域上单调递减 C．f(m＋1)＞f(2) D．f(m－1)＜f(－2) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为f(x)＝(2m＋m)xm－2是幂函数，根据幂函数的定义可知2m＋m＝1，当m＝0时，20＋0＝1，等式成立，因为y＝2m＋m在R上单调递增，故m＝0为唯一解.此时f(x)＝x－2＝，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).对于A，f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A错误；对于B，函数f(x)＝在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在其定义域上不单调递减，故B错误；对于C，m＋1＝1，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(1)＞f(2)，即f(m＋1)＞f(2)，故C正确；对于D，m－1＝－1，f(x)在(－∞，0)上单调递增，－2＜－1，所以f＜f，即f(m－1)＞f(－2)，故D错误.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 6.(多选)(2026·重庆模拟)设函数f(x)＝则下列结论正确 的是 A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域为 C．f(x)是偶函数 D．f(x)是单调函数 √ √ 根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为，故A、B正确；当x是有理数时，－x是有理数，f(－x)＝f(x)＝1，当x是无理数时，－x是无理数，f(－x)＝f(x)＝0，所以f(x)是偶函数，故C正确；因为f(0)＝f(2)＝1，f()＝0，所以f(x)不是单调函数，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 7.因函数f(x)＝x＋(t＞0)的图象形状像对勾，我们称形如“f(x)＝x＋(t＞0)”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数，若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0)对于任意的k∈Z，都有 f(k－)≤f(k＋)，则实数t的最大值为____． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为f(k－)≤f(k＋)，则f(k－)－f(k＋)≤0，k－＋－k－－＝－1≤0，即≤1，当k2－＜0，即－＜k＜，因为k∈Z，则k＝0，t≥－.又t＞0，所以t＞0，当k2－＞0，即k＞或k＜－时，t≤k2－恒成立，所以t≤＝.综上0＜t≤，所以实数t的最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.定义［x］表示不超过x的最大整数，＝x－［x］．例如：＝ －4，＝0.8，则方程2x－x－1＝0的所有实根之和是______． －1 对于2x－x－1＝0，显然x＝0不是方程的解，可化为2＝1＋.作出函数y＝2和y＝1＋的大致图象，除了外，其余点关于点对称，从而和为零，故总和为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 9.(10分)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，例如＝1. (1)若∀x∈R，求的值； 解：由取整函数定义可知y＝x－［x］∈＝0. 故的值为0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)已知f(x)＝，x∈⋃(2，＋∞)，求函数f(x)的值域． 解：设g(x)＝，则g(x)＝＝2－. 当x＜－3时，x＋1＜－2，－＜＜0，0＜－＜，2＜2－＜； 当x＞2时，x＋1＞3，0＜＜，－1＜－＜0，1＜2－＜2. 所以g(x)∈∪，所以f(x)＝＝＝， 故函数f(x)的值域为{1，2，3}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.(多选)(2026·福建厦门模拟)分别用m(x)，M(x)表示f(x)，g(x)中的最小者和最大者，记为m(x)＝min，M(x)＝max．若f(x)＝x＋，g(x)＝x－，则 A．m(1)＋M(－1)＝0 B．函数y＝m(x)－2x有2个零点 C．函数y＝m(x)M(x)的图象关于y轴对称 D．关于x的方程(m(x)－)(M(x)－)＝0的所有解的乘积为－1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 依题意，f(x)－g(x)＝，当x＜0时，f(x)＜g(x)；当x＞0时，f(x)＞g(x)，则m(x)＝M(x)＝对于A，m(1)＋M(－1)＝0＋0＝0，故A正确；对于B，m(x)－2x＝由m(x)－2x＝0，解得x＝－1，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于C，m(x)M(x)＝x2－，令h(x)＝x2－，h(－x)＝(－x)2－＝h(x)，函数h(x)是偶函数，故C正确；对于D，由(m(x)－)(M(x)－)＝0，得m(x)＝或M(x)＝，而≥0，则m(x)＝⇔x－＝(x＞0)，即x2－x－1＝0，该方程有且仅有一个正根x1，M(x)＝⇔x－＝(x＜0)或x＋＝(x＞0)，x－＝(x＜0)⇔x2－x－1＝0(x＜0)，该方程有且仅有一个负根x2，且x1x2＝－1，x＋＝(x＞0)⇔x2－x＋1＝0(x＞0)，该方程要么无解，要么一解x0＝1，要么两个正根x3，x4，且x3x4＝1，所以关于x的方程(m(x)－)(M(x)－)＝0的所有解的乘积为－1，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.(2026·辽宁鞍山模拟)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为M(x)＝min{f(x)，g(x)}，设函数f(x)＝ex－1＋2x－3，g(x)＝－x2＋ax－a，若∀x∈R，M(x)≤0，则实数a的取值范围为__________． 因为f(x)＝ex－1＋2x－3在上单调递增，又f＝e0＋2－3＝0，所以当x≤1时，f(x)≤f＝0，所以x≤1时M(x)≤0成立.当x＞1时，f(x)＞f＝0.又因为对∀x∈R，M(x)≤0，所以x＞1时，g(x)≤0恒成立.即x＞1时，a≤x2，a≤，设t＝x－1＞0，则＝＝t＋＋2≥4，当且仅当t＝1时取等号，所以a≤4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.(15分)对于一个实数x，［x］表示不超过x的最大整数，也就是实数x的整数部分，对应的x的小数部分可以用表示，即定义“取小数函数”：＝x－［x］． (1)求，的值； 解：＝π－3，＝2e－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)定义： min＝‖x‖＝min，求p＝min的最大值． 解：依题意，得0≤＜1， 则 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 所以＝ ①当0≤； ②当， 所以当增大时， 增大， 减小， 所以当＝ 时，p取得最大值， 由＝1－2，解得＝，此时pmax＝； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 ③当－1， 当增大时， 减小， 增大， 所以当＝ 时，p取得最大值，由1－＝2－1，解得＝，此时pmax＝； ④当≤＜1时， ＝1－， ＝1－＝2≥1－， 所以p＝1－≤；综上，pmax＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 13.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，他的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D(x)＝，有以下四个命题，其中假命题是 A．函数D(x)是奇函数 B．∃x，y∈R，D(xy)＝D(x)＋D(y) C．函数D(D(x))是偶函数 D．∀x∈R，∀a∈Q，D(a＋x)＝D(a－x) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，若x是有理数，则－x也是有理数，则D(x)＋D(－x)＝1＋1＝2≠0，因此D(x)不是奇函数，故A符合题意；对于B，当x＝，y＝时，D(xy)＝D(×)＝D()＝0，D(x)＝D()＝0，D＝D＝0，此时D＝D(x)＋D，故B不符合题意；对于C，若x是有理数，则D(x)＝1，D＝D＝1；若x是无理数，D(x)＝0，D＝D(0)＝1，所以∀x∈R，D＝1.又－x∈R，则D＝1，因此D＝D，所以函数D是偶函数，故C不符合题意；对于D，若x是有理数，a∈Q，则a＋x，a－x均是有理数，则D＝D＝1；若x是无理数，a∈Q，则a＋x，a－x均是无理数，则D＝D＝0，因此∀x∈R，a∈Q，D＝D，故D不符合题意.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 14.(多选)(2026·湖南永州模拟)已知f(x)的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质： ①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x＋y)≥min{f(x)，f(y)}；③当f(x)≠f(y)时，f(x＋y)＝min，其中min＝下列说法正确的是 A．若f(x)＞r，f(y)＞r，则f(x－y)＞r B．f(x)＝0恰有两个整数解 C．若x＋y＋z＝0，xyz≠0，则f(x)，f(y)，f(z)中至少有两个相等 D．若f(2)＝1，则f(240)＝3 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，令x＝y＝1，有f＝f＋f，即f＝0；令x＝y＝－1，有f＝f＋f，即f＝0；令y＝－1，有f(－x)＝f(x)＋f＝f(x)，即f(x)是偶函数.因为f＝f≥min{f(x)，f(－y)}＝min，f(x)＞r，f＞r，所以f＞r，故A正确；对于B，假设选项正确，对于任意除1和－1以外的整数a，有f(a)≠ 0，即f≠0，f≠0，而f＝f≥min{f(1)，f}≥0，且f≠0，所以f＞0，f＝f＝min＝0，矛盾，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于C，x＋y＋z＝0⇒x＋y＝－z⇒f＝f＝f，所以f≥ min，若f(x)＝f，结论显然成立；若f(x)≠f，则f＝min，即f＝f(x)或f＝f，结论依然成立，故C正确；对于D，f＝f＝min＝f＝0，f＝f＝min＝f＝0，f＝f＝f＋f＋f＝4f＝4，故D错误.故选AC. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 第10讲 简单的幂函数与几类常见的特殊函数 $