第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性与周期性专题，依据课程标准明确概念理解、图像应用、综合解题三大考查要求，通过近五年高考真题分析，梳理出奇偶性判断（占比30%）、周期性应用（占比25%）等高频考点，构建定义-性质-题型的完整复习体系。 课件亮点在于“真题溯源+多维探究+素养落地”，如以2023新课标Ⅱ卷奇偶性求参数题为例，示范定义法与性质法的解题逻辑，培养学生数学思维与推理能力。特设“规律方法库”和“易错警示”，通过变式训练强化周期性转化技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此实现精准复习指导。

第8讲　函数的奇偶性、周期性 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，会判断、应用 简单函数的周期性解决问题． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A，且_____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果∀x∈A，都有－x∈A，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特点 关于_____对称 关于______对称 等价 形式 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0) f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0 ⇔＝－1(f(x)≠0) f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 常用结论 1.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 3.常见奇、偶函数的类型 (1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，f(x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数. (2)f(x)＝loga(b＋x)＋loga(b－x)，f(x)＝loga(a2x＋1)－x(a＞0且a≠1)为偶函数；f(x)＝loga，f(x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)，f(x)＝loga(a2x－1)－x(a＞0且a≠1)为奇 函数. (3)f(x)＝｜ax＋b｜＋｜ax－b｜为偶函数；f(x)＝｜ax＋b｜－｜ax－b｜为奇函数. √ √ 自测诊断 1.(多选)下列命题是真命题的是 A．若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0 B．存在既是奇函数，又是偶函数的函数 C．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数 D．若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N＋)也是函数f(x)的周期 2.(链接北师必修一P69A组T3)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在［a－1，2a］上的偶函数，那么a＋b的值是 A．－ B． C．－ D． √ 因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.故选D. 3.(链接北师必修一P67例2)(多选)下列函数是奇函数的有 A．y＝x3 B．y＝xcos x C．y＝x2＋ D．y＝xtan x √ √ 对于A，y＝x3，定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝ －f(x)，所以y＝x3为奇函数，故A正确；对于B，y＝xcos x，定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－xcos (－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数，故B正确；对于C，y＝x2＋，定义域是∪ ，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2＋＝x2－，所以y＝x2＋为非奇非偶函数，故C错误；对于D，y＝xtan x，定义域是，关于原点对称，f(－x)＝(－x)tan (－x)＝xtan x＝f(x)，所以y＝xtan x为偶函数，故D错误，故选AB. 4.(链接北师必修二P4A组T3)已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈［0，2］时，f(x)＝x2＋4，则f(2 026)＝____． 5 因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝5. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数奇偶性的判断 自主练透 √ 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 对于A，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域是{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. √ 2.(多选)下列函数中具有奇偶性的是 A．f(x)＝x2－2－1 B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝ln (－x) D．f(x)＝ √ √ 对于A，f(x)的定义域是R，由f(－x)＝(－x)2－2－1＝f(x)，知f(x)为偶函数；对于B，令≥0，解得x≤－1或x＞1，即函数f(x)的定义域是(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；对于C，因为x2＋1＞x2，所以－x＞0恒成立，即f(x)的定义域是R，又f(－x)＋f(x)＝ln (＋x)＋ln (－x)＝0，故f(x)为奇函数；对于D，显然函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.故选ACD. √ 3.(多选)(2026·湖南长沙模拟)若函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都是R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则 A．f是偶函数 B．是偶函数 C．g是奇函数 D．f(x)h是奇函数 √ √ 函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都是R，对于A，因为f＝f，所以f是偶函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以＝＝，则是偶函数，故B正确；对于C，因为g(x)为偶函数，则g[f(－x)]＝g＝g，即g[f(x)]是偶函数，故C错误；对于D，因为h＝h，则h为偶函数，又因为f(x)为奇函数，则f(x)h是奇函数，故D正确.故选ABD. √ 4.已知函数f(x)＝4log4－3的图象经过点M(－1，1)，则函数y＝f(x)的奇偶性为 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 f(－1)＝4log4(＋1)－3＝1，整理得log4(＋1)＝1，即a＝8，则f(x)＝4log4(－x)－3，－x＞｜x｜－x.当x≥0时，｜x｜－x＝x－x＝0；当x＜0时，｜x｜－x＝－x－x＝－2x＞0，即－x＞0对一切实数都成立，即函数f(x)的定义域是R.f(－x)＝4log4(＋x)－3＝4log4－3＝4log4－4log4－3＝－4log4 (－x)＋3＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数.故选A. 判断函数奇偶性的方法与关键 1.方法：定义法、图象法、性质法． 2.关键：(1)定义域关于原点对称(否则非奇非偶)．(2)判断f(x)与f(－x)的关系，在判断奇偶性的运算中，可以判断f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 规律方法 考点二　函数奇偶性的应用 多维探究 典例1 √ 角度1　已知函数的奇偶性求参数(高考超重点) (一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝ln为偶函数，则a＝ A．－1 B．0 C． D．1 法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln，由＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域是，或，关于原点对称. f＝ln＝ln＝ln＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数.故选B. 法二：因为y＝ln是奇函数，又f(x)为偶函数，所以函数y＝x＋a是奇函数，所以a＝0.故选B. 溯源教材4 溯源 (北师必修一P73B组T7)已知函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，求实数a的值． 透视 高考题以教材习题为原型，通过替换函数类型(对数换二次)增加复杂度，核心考点一致、解题方法相同、均为多项式与简单函数的乘积形式，解题逻辑完全一致．在2023年全国甲、乙卷进行了类似考查： (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝ A．－2　　　　B．－1　　　　C.1　　　　D.2 √ 因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0. 又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D． 透视 (2)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝_______． 2 因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，所以a－2＝0，解得a＝2. 预测 (1)若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数，则实数m＝__________． 1 设f(x)＝(2x－m·2－x)x5，则该函数为R上的偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)，即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5，整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0，所以1－m＝0，解得m＝1. 预测 (2)已知函数f(x)＝－为奇函数，则a＝__________． －1 由题意知f(－x)＝－f(x)，即－＝－(－)，整理得＝1，所以解得a＝－1. √ 角度2　利用奇偶性求值(解析式) (1)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋x＋5，则 A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f＝7 D．当x＜0时，f(x)＝－x2＋x－5 典例2 √ 对于A、B，因为f(x)是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，f(0)＝0，故A正确；g(x)＝xf(x)的定义域是R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，故B错误；对于C，当x＞0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f＝－7，故C错误；对于D，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝ －x2＋x－5，故D正确．故选AD． (2)函数f(x)＝＋lg在区间［－m，m］内的最大值为M，最小值为N，其中m＞0，则M＋N＝____． 6 依题意，可知f(x)＝＋lg (＋x)＝3－＋lg (＋x)．设g(x)＝－＋lg (＋x)，g(x)的定义域为是［－m，m］，所以g(－x)＝－＋lg (－x)＝－［－＋lg (＋x)］＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以f(x)max＋f(x)min＝M＋N＝g(x)max＋3＋g(x)min＋3＝6. √ 角度3　利用奇偶性解不等式 (1)(2026·四川绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数a满足f＞f，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．⋃ 典例3 因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.因为2｜a－1｜＞0，f＝f，所以2｜a－1｜＞＝，所以＞，即a－1＜－或a－1＞，解得a＜或a＞.故选D. (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在上单调递减，且 f＝0，则不等式xf＞0的解集为___________________． ⋃ 由题意可得函数f(x)在上单调递减，f＝－f＝0，f(0)＝0，则当x∈(－∞，－2)∪时，f(x)＞0，当x∈∪时，f(x)＜0，由f＞0，则2x－1∈ (－∞，－2)∪，解得x∈∪(，)，由f＜0，则2x－1∈∪(2，＋∞)，解得x∈∪，所以xf(2x－1)＞0的解集为(－，0)∪(，). 1.求函数值或参数：借奇偶性转化，用方程思想求参；“奇函数＋常函数A”型，最大值M＋最小值N＝2A． 2.比较大小：用奇偶性将自变量转至同一单调区间，再依单调性比较． 3.解不等式：化f(g(x))＞f(h(x))，借单调性脱“f”；偶函数用f(|x|)转至［0，＋∞)求解． 规律方法 √ 对点练1.(2026·河南南阳模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－4，则不等式f(x)≥0的解集为 A．［－2，2］ B．［－2，0］⋃［2，＋∞) C．［－2，0)⋃［2，＋∞) D．(－∞，－2］⋃［2，＋∞) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，结合题意作出f(x)的大致图象，如图所示，由图可知，不等式f(x)≥0的解集为［－2，0］⋃［2， ＋∞)．故选B． 对点练2.(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝是奇函数，则f＝___． 3 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－x2－2x＝－f(x)＝－x2－ax，所以a＝2，则f(x)＝＝9－6＝3. 对点练3.设f(x)＝＋a为奇函数，若g(x)＝f(x)＋sin x＋a在x∈ (m＞0)的最大值为3，则g(x)在x∈(m＞0)的最小值为______． －5 f(x)的定义域是R且为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝＋a＋＋a＝0，＋2a＝2＋2a＝0，a＝－1，所以f(x)＝－1，g(x)＝－1＋sin x－1.设h(x)＝g(x)＋1＝f(x)＋sin x，则h(－x)＝f(－x)＋sin (－x)＝－f(x)－sin x＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，根据题意可知，h(x)在x∈(m＞0)的最大值为3＋1＝4，所以h(x)在x∈(m＞0)的最小值为－4，所以g(x)＝h(x)－1在x∈(m＞0)的最小值为－4－1＝－5. 考点三　函数的周期性 高考超重点，师生共研 √ (一题多变)(1)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝ A．－ B．－ C． D． 典例4 当x∈［－1，0］时，－x＋2∈［2，3］，所以当x∈［－1，0］时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f(－．故 选A． (2)(2026·福建龙岩模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝3x－ln x，则f(2 027)＝______． －3 由已知可得f＋f(x)＝0，所以f(x＋4)＋f＝0，所以f＝f(x)，即T＝4是函数f(x)的一个周期，所以f＝f＝－f＝ －＝－3. (3)设函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f＝f(－x)，若f≤2， f＝，则实数m的取值范围是_____________________． 因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(x)＝f(－x).又f＝f(－x)＝－f(x)，故f＝－f＝f(x)，所以y＝f(x)的一个周期为4，f＝f＝f＝，故≤2，解得m≥或m＜0. 变式探究 1.(变条件，变设问)本例(1)条件变为：设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x ＋1)＝f(1－x)，当x∈时f(x)＝2x＋a，且f(2 026)＝2a2，则a＝_________． 1或－ 因为f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，函数f(x)的周期为T＝2，f(2 026)＝f(0)＝1＋a＝2a2，所以a＝1或a＝－． 2.(变条件)本例(2)条件变为：若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，则f(2 027)＝___． 0 因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)，代入x－2，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(1)．两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期．因此f(2 027)＝f(4×506＋3)＝f(3)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(1)中，令x＝0，则f(3)＋f(1)＝f(1)，所以f(3)＝0，即f(2 027)＝0. 3.(变条件)本例(3)条件变为：已知函数f(x)的定义域为R，且ff(x)＝ 1，若f(0)∈，则f的取值范围是________． 因为ff(x)＝1，所以f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝＝＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的一个周期，所以f＝f(0).因为f(0)∈(1，2)，所以f(2 026)＝＝∈. 教师备选 ［变式探究4］(变条件)本例(2)条件变为：设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间上的表达式为__________________． f(x)＝－2－x＋4－1 当x∈[－2，0)时，－x∈，所以－x＋4∈.又因为当x∈时，f(x)＝2x＋1，所以f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f＝f(x)，所以函数f(x)的周期为T＝4，所以f(－x＋4)＝f(－x).又因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝2－x＋4＋1，所以当x∈时，f(x)＝－2－x＋4－1. 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 规律方法 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·重庆北碚区模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是 A．f(x)＝－ B．f(x)＝ex＋e－x C．f(x)＝tan 2x D．f(x)＝2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，f(x)＝－是奇函数，在其定义域上不单调，故A错误；对于B，因为f(x)＝ex＋e－x，x∈R，所以f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数，故B错误；对于C，由正切函数性质得f(x)＝tan 2x在其定义域上不单调，故C错误；对于D，f(x)＝2是奇函数，在其定义域上单调递增，故D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝，则f(1)＝ A．－ B． C．－6 D．6 √ 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝＝－6.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝，且0＜x＜3时，f(x)＝2x，则f(605)＝ A．1 B．2 C．4 D．8 因为f(x＋3)＝，故f(x＋6)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(605)＝f(5)＝f(2＋3)＝＝1.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 4.(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f＋f＞0的解集为 A． B． C． D． 当x＞0时，f(x)＝1－ex，－x＜0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝e－x－1，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的递减函数，则f＋f＞0⇔f＞－f＝f⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 5.(多选)(2026·江苏淮安模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则下列说法正确的是 A．f＝－3 B．f＝13 C．f(x)在上是单调减函数 D．函数f(x)仅有一个零点 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，可得f(0)＝20＋b＝0，解得b＝－1，所以f(x)＝2x＋2x－1，则f＝－f＝－(21＋2－1)＝－3，故A正确；对于B，由f＝－f＝ －(23＋2×3－1)＝－13，故B不正确；对于C，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1在(0，＋∞)是单调递增函数，又因为f(x)为在R上的奇函数，所以f(x)在(－∞，0)也是递增函数，故C不正确；对于D，由f(0)＝0，且f(x)在(－∞，0)和[0，＋∞)是单调递增函数，所以函数f(x)仅有一个零点，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 6.(多选)(2026·福建泉州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝ －f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则下列说法正确的是 A．f(π)＝4－π B．f(x)是周期为4的周期函数 C．当1≤x≤3时，f(x)＝2－x D．当－4≤x≤4时，方程f(x)＝m(－1≤m＜0)的所有实根之和为4 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则周期T＝4，故B正确；又当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝π－4，故A错误；当－1≤x≤0时，则0≤－x≤1，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)＝x，所以当－1≤x≤1时，f(x)＝x，当1≤x≤3时，则－1≤x－2≤1，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，故C正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 作出函数f(x)在［－4，4］的图象，如图，则f(x)的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在［－4，4］的解为x1＝－1，x2＝3，则x1＋x2＝2；若－1＜m＜0，则方程f(x)＝m在［－4，4］的解共有4个，设从小到大依次为x1，x2，x3，x4，根据对称性可知x1＋x2＝－2，x3＋x4＝6，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D错误．故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 7.(开放题)(2025·江苏苏州模拟)请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)＝_________________． ①f(－x)＋f(x)＝0，②f＝f(x)，③f(x)不是常数函数． tan x(答案不唯一) 条件①f(－x)＋f(x)＝0，函数f(x)为奇函数，条件②f＝f(x)，函数f(x)周期为π，可考虑三角函数，函数解析式可以为f(x)＝tan x(答案不 唯一)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.(多题同解)(1)若f(x)＝ax＋sin为偶函数，则a＝_______，若f(x)＝(＋1)x2 027为偶函数，则a＝___． 0 1 第一空：由f(x)＝ax＋sin，x∈R得f(x)＝ax＋cos x，依题意，可知f(－x)＝－ax＋cos x＝ax＋cos x＝f(x)，可得2ax＝0恒成立，所以a＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 第二空：函数f(x)＝＋1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为偶函数，则g(x)＝＋1是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即(＋1)＋(＋1)＝－＋2＝0，所以a＋1＝2，解得a＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)(一题多解)若函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则a＝______． 法一：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，即＝，所以＝，即x－ax＝ax，解得a＝. 法二：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＝－，整理解得a＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 法三：f(x)＝得，f(x)＝＝.因为y＝sin x是奇函数，又f(x)是奇函数，所以函数y＝e－ax＋e(1－a)x是偶函数，所以－a＋(1－a)＝0，解得a＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 9.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝ －f(x)．当x∈［0，2］时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； 解：证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以f(x)是周期为4的周期函数． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)当x∈［2，4］时，求f(x)的解析式； 解：当x∈［－2，0］时，－x∈［0，2］，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，所以f(x)＝x2＋2x． 又当x∈［2，4］时，x－4∈［－2，0］，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈［2，4］时，f(x)＝x2－6x＋8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)． 解：f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.(2026·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝－x3，则满足不等式f＋f＞2的实数m的取值范围是 A．m＜ B．m＞ C．m＜－ D．m＞－ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 设g(x)＝f(x)－1＝－x3－1＝－x3＝－x3.g(x)的定义域是R，关于原点对称，g(－x)＝－(－x)3＝＋x3＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.由题知g(x)在R上单调递减，由f＋f＞2得[f(m＋2)－1]＋＞0，即g(m＋2)＋g＞0，g＞－g＝g(1－2m).因为g(x)在R上单调递减，所以m＋2＜1－2m，解得m＜－，故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.(2026·浙江杭州模拟)已知函数f(x)满足f＝2，且对∀x∈R，f＝1－，则满足f≤1 015的正整数n的最大值为 A．2 026 B．2 027 C．2 028 D．2 029 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 依题意，f＝1－＝1－＝，f＝1－＝1－＝f(x)，所以函数是周期为3的周期函数.又f＝2，f＝1－＝，f＝1－＝－1，f＝675×＋2＝，f＝675×＋2＋＝1 015，f＝676×＝1 014，f＝676×＋2＝1 016，所以满足f≤1 015的正整数n的最大值为2 028.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.(15分)(一题多问)已知f(x)是定义在［－1，1］上的偶函数，且x∈ ［－1，0］时，f(x)＝． (1)求函数f(x)的表达式； 解：当x∈(0，1］时，－x∈［－1，0)，因为f(x)是定义在［－1，1］上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－， 因此f(x)＝ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)判断并证明函数f(x)在区间［0，1］上的单调性； 解：函数f(x)在区间［0，1］上单调递减． 证明如下：设x1，x2是［0，1］上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，由(1)可知f(x)＝－，x∈［0，1］， 于是f(x1)－f(x2)＝－． 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间［0，1］上单调递减． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0. 解：因为偶函数f(x)在区间［0，1］上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒解得a∈∅， 所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 13.(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(x)＝f，当x∈时，f(x)＝2x－3，则f＝ A．2 B．1 C．0 D．－1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.又f(x)＝f，所以f(x)＝f＝－f，则f＝－f(x)＝f，即f＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则f＝f(0)＝0.因为当x∈时，f(x)＝2x－3，所以f＝－1.由f(x)＝f，则f＝f(0)＝0，f＝f＝－f＝1，则f＋f＋f＋f＝ －1＋0＋1＋0＝0，则f＝506×[f(1)＋f＋f＋f]＋f＝－1.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 14.(2025·浙江宁波模拟)设f(x)，g(x)是定义在R上的函数，则下列说法正确的是 A．若f为偶函数，则f(x)为偶函数 B．若f为奇函数，则f(x)为奇函数 C．若f(x)为单调函数且f为周期函数，则g(x)为周期函数 D．若f为单调函数且g(x)为单调函数，则f(x)为单调函数 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，不妨设f(x)＝当x≠±1时，f＝f，且f＝f＝0，f＝f(0)＝0，故f为偶函数，但f(x)＝不是偶函数，故A错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于B，令f(x)＝当x∉时，f＝f(x)＝x，f＝f＝1，f＝f＝2，所以f恒等于x，单调递增且为奇函数，但f(x)＝不是单调函数，也不是奇函数，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于C，f(g(x))为一个周期为T的函数，则f(g(x＋T))＝f(g(x))．又f(x)为单调函数，所以g(x＋T)＝g(x)，则g(x)为一个周期为T的周期函数，故C正确；对于D，若g(x)的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分f(x)是否单调，例如g(x)＝ex，f(x)＝，f＝ex单调递增，且g(x)单调递增，但f(x)不是单调函数，故D错误．故选C． 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 第8讲　函数的奇偶性、周期性 $