第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性及其应用”专题，依据课程标准要求梳理了两个函数图象对称、函数自身轴对称与中心对称、对称性与周期性关系三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“自身对称性质应用”“对称中心/轴求解”等高频考点，归纳选择、填空、解答题三大常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+一题多解+规律建模”的备考策略，如以2024新课标Ⅰ卷函数中心对称证明题为例，通过“构造奇函数”“定义域对称性分析”培养数学思维与逻辑推理素养。总结“和定对称，差定周期”等口诀，配套课时分层测评，助力学生掌握对称问题转化技巧，教师可据此实现精准复习与高效备考。

第9讲　函数的对称性及其应用 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.能通过平移，分析得出一般的中心对称和轴对称公式和推论． 2.会利用对称公式解决问题． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称． y轴 x轴 原点 2.函数自身的对称性 (1)轴对称 ①偶函数关于_____对称． ②若f(x＋2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为______，一般地，若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称． ③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线_____对称． y轴 x＝2 x＝a x＝a (2)中心对称 ①奇函数关于______对称． ②若f(x＋2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为________，一般地，若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点________对称． ③若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称． 原点 (2，0) (a，0) (a，0) 微提醒 函数自身对称性的表达式与周期性表达式外表很像，应注意区分，为避免混淆出错，可以用口诀“和定对称，差定周期”来判断是对称性还是周期性．　 常用结论 1.对称性的三个常用结论 (1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点(，0)对称．特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． (3)［教材知识纵向延伸］①若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． ②若y＝f(x)与y＝g(x)关于x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)；若y＝f(x)与y＝g(x)关于点(a，b)对称，则g(x)＝2b－f(2a－x)． 2.函数对称性与周期性的关系(双对称问题求周期) (1)若函数f(x)的图象关于x＝a和x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为 2|b－a|． (2)若函数f(x)的图象关于(a，0)和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2|b－a|． (3)若函数f(x)的图象关于x＝a和(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4|b－a|． 可以简记为：双对称见周期，周期为同类对称2倍差，异类对称4倍差． √ √ 自测诊断 1.(多选)下列结论正确的是 A．函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称 D．若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称 2.函数f(x)＝图象的对称中心为 A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) √ 因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋.又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称.故选B. 3.设函数y＝f(x)定义在R上，则函数y＝f(x－1)与函数y＝f(1－x)的图象关于 A．直线x＝0对称 B．直线y＝0对称 C．直线x＝1对称 D．直线y＝1对称 √ 令g1(x)＝f(x－1)，g2(x)＝f(1－x)，因为f(1－x)＝f［(2－x)－1］，即g2(x)＝g1(2－x)，所以g1(x)与g2(x)的图象关于直线x＝1对称，故选C． 4.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈［2，3］时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝___． 5 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)．由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　两个函数图象的对称 自主练透 √ 1.函数y＝ex与函数y＝e－x的图象 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 √ 2.下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是 A．y1＝－2x＋cos x B．y1＝2－x－cos (－x) C．y1＝－2－x＋cos (－x) D．y1＝－2－x－cos (－x) 令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－［2－x－cos (－x)］＝－2－x＋cos (－x)．故选C． √ 3.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象 A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． √ 4.函数y＝f(x)与函数y＝h(x)的图象关于x轴对称，且函数y＝f＋b是奇函数，则函数y＝h(x)图象的对称中心是 A． B． C． D． 因为y＝f＋b是奇函数，f＋b＋f＋b＝0，即f＋f＝－2b，所以f(x)关于对称．由于函数y＝f(x)与函数y＝h(x)的图象关于x轴对称，所以y＝h(x)的中心对称点为．故选B． 破解两个函数图象对称的方法 1.利用结论“函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称”，即可求出对称轴.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 2.利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用． 规律方法 考点二　函数自身轴对称问题 高考超重点，师生共研 典例1 (1)(一题多解)已知函数f(x)＝(1－x2)·(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则ab＝______． 120 法一：因为f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－3)＝f(－1)，f(－5)＝f(1)，即所以ab＝120. 法二：令f(x)＝0，可得1－x2＝0，解得x＝－1，或x＝1.由对称性知，方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x＝－3，或x＝－5.由根与系数的关系可得所以ab＝120. 法三：因为函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(－2＋x)＝f(－2－x)，整理可得所以ab＝120. 注　从本题的三种方法中很好地体现了多想少算的解题策略，只有平时多练习思考，从中对比优劣，才能拓展思维广度，才能在考试的时候可以灵活选择． 教师备选 试求函数f(x)的最大值？ 解：把a＝8，b＝15代入f(x)，得f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)， 所以f(x)＝－(x2－1)(x2＋8x＋15)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5) ＝－［(x＋1)(x＋3)］［(x－1)(x＋5)］＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)． 令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，所以h(t)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t2－2t－15)＝－(t－1)2＋16， 所以t＝1∈［－4，＋∞)时，函数f(x)的最大值为16. (2)(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b，使得函数y＝f()关于直线x＝b对称． 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋)＝(x＋a)ln， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， ［破题点］ 即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln， 于是 当a＝，b＝－时，g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln＝(－x－)ln ＝(x＋)ln＝(x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意． 故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－. 轴对称问题的常用性质 1.设P(x0，y0)为y＝f(x)图象上任一点，若y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔点Q(2a－x0，y0)在y＝f(x)的图象上． 2.(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 规律方法 对点练1.已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x，则函数f(x)关于直线_________对称． x＝2 由|x－2|＞0，得x≠2，所以f(x)的定义域是(－∞，2)⋃(2，＋∞)．因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． 教师备选 函数f(x)＝ln图象的对称轴方程是______． x＝ 因为内层函数t＝的对称轴是直线x＝，所以函数f(x)＝ln图象的对称轴方程是x＝. 对点练2.(多题同解)(1)若函数f(x)＝(x－1)·(－1)的图象关于直线x＝1对称，则b＝____． 2 因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x)对x∈R恒成立，所以(x－1)＝(2－x－1)恒成立，所以(x－1)＝(1－x)(－1)恒成立，所以－1＝－＋1恒成立，＋＝2恒成立，所以b(＋)＝2恒成立，所以b(＋)＝2恒成立，所以b＝2. (2)(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝ex＋1＋ea－x＋(x＋b)2关于直线x＝2对称，则a＋b＝____． 3 依题意，函数f(x)＝ex＋1＋ea－x＋(x＋b)2关于直线x＝2对称，故f＝f(x)，即e5－x＋ea－4＋x＋(4－x＋b)2＝ex＋1＋ea－x＋(x＋b)2，即e5－x(1－ea－5)＋ex＋1(ea－5－1)＋(4＋2b)(4－2x)＝0，即(1－ea－5)(e5－x－ex＋1)＋(4＋2b)(4－2x)＝0，故需满足1－ea－5＝0且4＋2b＝0，即a＝5，b＝－2，则a＋b＝3. 教师备选 函数f(x)＝ex＋e－x－2图象的对称轴方程是_________． x＝－1 由f(x)＝ex＋e－x－2得，f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1)．因为函数y＝ex＋1＋e－x－1是由偶函数y＝ex＋e－x向左平移一个单位长度得到［破题点：利用奇偶性判断函数对称性是首选策略］，所以函数f(x)＝e－1(ex＋1＋e－x－1)图象的对称轴是直线x＝－1. 对点练3.已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在［2，＋∞)上恒有＜0，则不等式f(ln x)＞f(1)的解集为________． (e，e3) 因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．因为f(x)在［2，＋∞)上恒有，所以f(x)在［2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)＞f(1)需满足|ln x－2|＜|1－2|⇒1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3. 教师备选 (开放题)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝__________ ___________． ①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值． x2－2x(答 案不唯一) 取f(x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f(1－x)＝f(1＋x)，令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f(x)至少有两个零点，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f(x)min＝－1，满足③f(x)有最小值．(答案不唯一)． 考点三　函数自身中心对称问题 高考超重点，师生共研 典例2 √ (1)(多选)下列说法中正确的是 A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)对称 B．函数f(x)满足f为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f＋1过定点(1，2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 √ √ 对于A，f(x)＝＝2－，所以该函数图象的对称中心为(－2，2)，故A正确；对于B，因为f为奇函数，所以f＝ －f，所以f＝－f，所以函数f(x)的图象关于点 (－1，0)对称，故B正确；对于C，函数y＝f＋1的图象是由函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到.因为函数y＝f(x)过定点(0，1)，所以函数y＝f＋1过定点(1，2)，故C正确；对于D，因为y＝＝＝1＋，所以该函数图象的对称中心为(b，1)，由已知可知该函数的图象关于点(3，c)中心对称，所以有b＝3，c＝1⇒b＋c＝4，故D错误.故选ABC. (2)(一题多解)(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：法一(奇函数角度)：因为f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)， 所以f(x＋1)＝ln＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1)．－－－－－－［破题点］ 令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln＋ax＋bx3，x∈(－1，1)， 则g(－x)＝ln－ax－bx3＝－ln－ax－bx3＝－g(x)， 所以g(x)为定义域是(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点O对称． 又因为f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(1，a)． 法二(结论角度)：因为f(x)的定义域是(0，2)，关于x＝1对称，－－－－－－－－－－［破题点：函数定义域的对称性是解决函数图象自身对称问题的突破口］ 所以f(x)＋f(2－x)＝［ln＋ax＋b(x－1)3］＋［ln＋a(2－x)＋b(1－x)3］ ＝(ln＋ln)＋ax＋a(2－x)＋[b(x－1)3＋b(1－x)3]＝2a，所以f(x)＋f(2－x)＝2a， 所以曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(1，a)． 溯源教材5 溯源 (人教A版必修一P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 透视 高考题是将课本中“中心对称的推广结论”作为工具，用于解决一个更复杂的函数证明问题，两题核心理论同源、解题逻辑一致、思想方法共通，都体现了构造新函数、从特殊到一般的数学推广思想，考查了对该理论的理解与应用能力．从本高考题可以看出，一是函数与导数中的解答题不再局限于导数问题，纯函数问题成为新的命题方向；二是函数图象的对称性问题体现了高考“反套路”的命题导向，在近三年高考试题解答题中多次出现．所以高三备考中在立足基础复习的策略下，还要强调融会贯通，增强同一主题必修模块与选择性必修模块间的联系，将各个模块的知识有机结合并综合应用 预测 (1)函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是__________． (1，－2) 法一(常规法)：设对称中心为(a，b)，则f(a＋x)＋f(a－x)＝2b对任意的x均成立，所以(a＋x)3－3(a＋x)2＋(a－x)3－3(a－x)2＝2b，整理得，2a3＋6ax2－6a2－6x2＝2b，即a3＋3ax2－3a2－3x2＝b，所以a3－3a2＝b，且3a－3＝0，所以a＝1，且b＝－2，故对称中心为(1，－2)． 法二(导数法)：因为f(x)＝x3－3x2，所以f′(x)＝3x2－6x．由f′(x)＝3x2－6x＝0得，x＝0，x＝2．因为三次函数都是中心对称图形，所以对称中心中x＝＝1，可求对称中心中y＝13－3×12＝－2，故对称中心为(1，－2)． 【教师备选】　法三(导数法)：因为三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都是中心对称图形，都关于点(－))对称，所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是(1，－2)． 预测 (2)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－3)3. 证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：因为f(x)的定义域是(2，4)，关于x＝3对称，－－－－－－［破题点］ 所以f(x)＋f(6－x)＝［ln＋ax＋b(x－3)3］＋［ln＋a(6－x)＋b(3－x)3］ ＝(ln＋ln)＋ax＋a(6－x)＋[b(x－3)3＋b(3－x)3]＝6a， 所以f(x)＋f(6－x)＝6a， 所以曲线y＝f(x)关于点(3，3a)中心对称， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形，对称中心为点(3，3a)． 中心对称问题的常用性质 1.设P(x0，y0)为y＝f(x)图象上任一点，若y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔点Q(2a－x0，2b－y0)在y＝f(x)的图象上． 2.(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 规律方法 注意　(1)对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2(2)关于点(，)，也就是对称． (2)三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都是中心对称图形，都关于点(－，f(－))对称． 规律方法 √ 对点练4.已知函数y＝f(x＋2)为奇函数，则函数y＝f(x)＋2 026的图象 A．关于点(2，2 026)对称 B．关于点(2，－2 026)对称 C．关于点(－2，2 026)对称 D．关于点(－2，－2 026)对称 因为函数y＝f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以函数y＝f(x)＋2 026的图象关于点(2，2 026)对称．故选A． 对点练5.(多题同解)(1)(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)＝x3－x，则函数y＝f＋2的图象的对称中心是__________． 因为f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f＋2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，所以函数y＝f＋2的图象关于点(－2，2)对称. (2)(一题多解)函数f(x)＝ln＋(x－1)3＋3图象的对称中心是________． (1，3) 法一：因为f(x)的定义域是(－∞，0)∪(2，＋∞)，关于x＝1对称，所以f(x)＋f(2－x)＝［ln＋(x－1)3＋3］＋［ln＋(1－x)3＋3］＝(ln＋ln)＋[(x－1)3＋(1－x)3]＋6＝6，所以f(x)＋f(2－x)＝6，所以曲线y＝f(x)关于点(1，3)中心对称. 法二：因为f(x)＝ln＋(x－1)3＋3，所以f(x)＝ln＋(x－1)3＋3.令g(x)＝ln＋x3，可判定g(x)是奇函数，函数f(x)是由函数g(x)向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度变换而成，所以函数f(x)图象的对称中心是(1，3). 对点练6.已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为___． 6 因为f(－x)＋f(x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称．又y＝的图象也关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1，0)对称，该函数的零点之和为2×3＝6. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝ A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ f(x)＝关于点(1，2)对称，则a＝2.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2.(2026·山东烟台模拟)若函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象关于点对称，则实数a的值为 A．－3 B．3 C．－6 D．6 √ 依题意，函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象关于点对称，所以f＝－f，即f＋f＝0，即＋a＋b＋＋a＋b＝0，即x2＋4a＋b＋8＝0恒成立，所以解得a＝－6，b＝16.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 3.(2026·福建福州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈时，f(x)＝2x＋2，则f＝ A．－3 B．－1 C．1 D．3 因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f．又因为函数f(x)是奇函数，所以f＝－f．又当x∈时，f(x)＝2x＋2，所以f＝2×＋2＝1，所以f()＝－f＝－1.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 4.(2026·河北保定模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的图象 A．关于直线x＝1对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝2对称 D．关于原点对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 函数f(x)＝＝2x－，对于A，f＝22－x－＝22－x－＝＝－f(x)≠f(x)，故A错误；对于B，f＝22－x－＝22－x－＝＝－f(x)，故B正确；对于C，f＝24－x－＝24－x－2x－2＝－≠f(x)，故C错误；对于D，f(－x)＝2－x－＝－2x＋2≠ －f(x)，故D错误.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f＝0，则下列说法错误的是 A．f(x)的图象关于点对称 B．f＝f(x) C．f＝f D．f＝f(x) 对于A，已知f(x)＋f(2－x)＝0，则有f(2－x)＝－f(x)，即函数f(x)的图象关于点对称，故A正确；对于B，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，因为f(x)＋f(2－x)＝0，则有f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，用－x替换x可得：f(x＋2)＝f(x)，故B正确；对于D，再用x－2替换x可得：f＝f(x)，故D正确；只有C项，无法推得.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 6.(2026·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 如图所示，当x＞0时，f(x)＝，其关于原点对称后的图象为y＝＝－2x，易知y＝－2x与f(x)＝－有两个交点，即f(x)＝－上有两个点，中心对称后在f(x)＝上.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 7.(多选)若a为非零常数，函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是 A．若f(x－a)是奇函数，则f(x－a)＝－f(a－x) B．若f(x－a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝－a对称 C．若f(a－x)－f(a＋x)＝0，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称 D．若f(2a－x)＝－f(x)＋b，则函数f(x)的图象关于点对称 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于A，由f是奇函数，则f＝－f，故A错误；对于B，由f(x－a)是偶函数可得其图象关于x＝0对称，所以f(x)的图象关于直线x＝－a对称，故B正确；对于C，由f(a－x)－f＝0，则f＝f，则得f为偶函数，从而可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，故C正确；对于D，由f＝－f(x)＋b，可得f＋f(x)＝b，可得f(a－x)－＝－，所以f－为奇函数，则函数f(x)的图象关于点对称，故D正确.故选BCD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 √ 教师备选 (多选)已知函数f(x)的定义域是R，则下列说法正确的是 A．若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D．函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误．故选ABC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 8.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是 A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ex－3＋e3－x C．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝ √ √ 若函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则f(6－x)＝f(x)总成立．对于A，则f(6－x)＝6－x＋＝f(x)，故A错误；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，故B正确；对于C，f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648≠f(0)，所以f(6－x)＝f(x)不恒成立，故C错误；对于D，易求f(x)的图象关于直线x＝3对称，故D正确．故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 9.(多题同解)(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y＝g与y＝f(x)的图象关于点对称，则g＝____． 0 依题意，函数f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，函数y＝g与y＝f(x)的图象关于点对称，所以函数y＝g过点(2，0)，函数y＝g(x)过点(4，0)，所以g＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 (2)(2026·河南郑州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝f(x)的图象关于x＝3对称，若g＝－5，则f＝____． 1 因为g＝f＝－5f＝－5，所以f＝1.因为f(x)是奇函数，f＝－f＝－1，所以g＝f＝1.因为函数g(x)＝f(x)的图象关于x＝3对称，所以g＝g＝1，即g＝f＝f＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 10.已知函数f(x)＝(x－1)3－，过点M(1，0)的两条直线l1，l2分别与曲线y＝f(x)相交于点A，B和C，D，若△MAC的面积为2，则四边形ACBD的面积为____． 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 由函数f(x)＝(x－1)3－，所以f(x＋1)＝x3－．因为g(x)＝x3－为奇函数，所以函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称．又因为两条直线l1，l2都过点M(1，0)，所以两条直线l1，l2都关于点M(1，0)中心对称，所以点A，B关于点(1，0)中心对称，且点C，D关于点(1，0)中心对称，可知四边形ACBD为平行四边形，其面积为△MAC面积的4倍，所以四边形ACBD的面积为8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 11.(2025·山东日照一模)已知函数f(x)＝的图象关于点P对称，则点P的 坐标为__________． 令9－3x≠0，解得x≠2，可知f(x)的定义域是．又因为f＋f，所以函数f(x)的图象关于点P对称． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 12.已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有2 026个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)，则(xi＋yi)＝_______． 2 026 因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x2 026＝0，y1＋y2＋…＋y2 026＝1 013×2＝2 026，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x2 026)＋(y1＋y2＋…＋y2 026)＝2 026. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 教师备选 (2026·广东珠海模拟)已知函数f(x)定义域为R，且满足f(x)＝6－f(－x)，g(x)＝＋3，若f(x)的图象与g(x)的图象的交点分别为，，…，，则＝_____． 3m 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 对于f(x)，f(x)＝6－f(－x)，f(－x)＝6－f(x)，所以f(x)的图象关于点对称.因为h(－x)＝＝－＝－h(x)，所以h(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)＝h(x)＋3的图象关于点对称，所以f(x)，g(x)的图象的交点关于对称，所以＝xi＋yi＝0＋3m＝3m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 13.(15分)(2025·陕西西安二模节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)，设g(x)＝(x＋1)f()－f(＋1)． (1)求g(1)－g(－2)的值； 解：依题意，g(x)＝(x＋1)ln(＋2)， 所以g(x)＝(x＋1)ln－ln， 所以g(1)＝2ln 2－ln 3＝ln ，g(－2)＝－ln －ln ＝－ln ＝ln ， 所以g(1)－g(－2)＝ln －ln ＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 (2)证明：存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称． 解：证明：g(x)的定义域是(－∞，－1)⋃(0，＋∞)，若存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称，则定义域是(－∞，－1)⋃(0，＋∞)关于直线x＝m对称， 所以m＝－．－－－－－－－－－－［破题点］ 所以g(－1－x)－g(x)＝［(－x)ln－ln］－［(x＋1)ln－ln］ ＝［(－x)ln－ln］－［(x＋1)ln－ln］ ＝［xln－ln］－［(x＋1)ln－ln］ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 ＝ln－ln－ln＝ln(··)＝ln 1＝0， 所以g(－1－x)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 14.(2026·重庆质检)在同一直角坐标系内，存在一条直线l，使得函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象关于直线l对称，就称函数y＝g(x)是函数y＝f(x)的“轴对称函数”．已知函数f(x)＝ex(e是自然对数的底数)，则下列函数不是函数y＝f(x)的“轴对称函数”的是 A．y＝2－ex B．y＝e2－x C．y＝－e－x D．y＝ln x √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 对于选项A，由＝1，可知f(x)＝ex与y＝2－ex的图象关于直线y＝1对称，不合题意；对于选项B，由＝1，可知f(x)＝ex与y＝e2－x的图象关于直线x＝1对称，不合题意；对于选项C，因为f(x)＝ex与y＝－e－x的图象关于原点对称，所以y＝－e－x不是y＝f(x)的轴对称函数，符合题意；对于选项D，f(x)＝ex与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，不合题意.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15.(2026·湖南衡阳模拟)对于函数y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，已知f(x)＝若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为_____________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 若函数f(x)存在“优美点”，则函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，当x＜0时，f(x)＝x2＋3x，将其图象关于原点对称，所得图象的解析式为g(x)＝－f(－x)＝－＝－x2＋3x．所以只要射线y＝kx＋4与g(x)＝－x2＋3x(x＞0)的图象有公共点即可，由得x2＋x＋4＝0，所以k－3＝－ ，由基本不等式可得x＋≥4⇒－≤－4，当且仅当x＝2时等号成立，所以k－3≤－4，即k≤－1. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 谢 谢 观 看 第9讲　函数的对称性及其应用 $