第2章 第12讲 指数函数(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数函数”专题，依据高考评价体系梳理了概念理解、图象分析、性质应用三大考查维度，通过近五年高考真题及模拟题统计，明确了“性质应用（比较大小、解不等式）”占60%、“图象应用”占30%的高频考点分布，归纳了图像判断、单调性应用等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+规律总结+分层训练”的备考策略，如以2025上海卷比较大小题为例，详解“同底数化”“中间量法”，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（符号意识）。特设“易错点警示”（如底数a分类讨论）和“答题模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第12讲　指数函数 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的 概念． 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并 理解指数函数的单调性与特殊点． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域 是R．   a＞1 0＜a＜1 图象     定义域 ____ 值域 ___________ 2.指数函数的图象和性质 R (0，＋∞)   a＞1 0＜a＜1 性质 过定点________，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，______；当x＜0时，_________ 当x＜0时，______；当x＞0时，_________ 在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________ 2.指数函数的图象和性质 (0，1) y＞1 0＜y＜1 y＞1 0＜y＜1 增函数 减函数 常用结论 1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． 2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 3.如图所示是指数函数 (1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c＞d＞1＞a＞b＞0. √ 自测诊断 1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于 A．不确定 B．0 C．1 D．2 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1.由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.故选C． 2.(链接北师必修一P95B组T2)已知函数f(x)＝为奇函数，则f(a)＝ A． B． C． D．2 √ 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝2－x＝＝－f(x)＝ax，所以a＝，f＝.故选C. 3.(链接北师必修一P89练习T2)已知关于x的不等式≥3－2x，则该不等式的解集为 A．［－4，＋∞) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－4，1］ √ 不等式≥3－2x，即34－x≥3－2x.由于y＝3x是增函数，所以4－x≥ －2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞).故选A. 4.(链接北师必修一P90例5)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则 A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b √ 因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a．故选C． 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　指数函数的图象及应用 自主练透 √ 1.(2026·河北石家庄模拟)若函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，则一定有 A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＜1，且b＞0 已知函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得0＜a＜1，指数函数y＝ax过定点，则函数y＝ax＋b－1过定点，即.因为函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与y轴的交点在y轴负半轴上，即a0＋b－1＜0⇒b＜0综上分析，可得故选C. 2.(多选)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b，下列各式可以成立的是 A．a＝b＝0 B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．0＜b＜a √ √ √ 如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故选ABD． 3.已知函数f(x)＝的图象经过坐标原点，且当x趋向于正无穷大时，f(x)的图象无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，则a＝______． －1 当x趋向于正无穷大时，f(x)的图象无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，可知b＝－2或b＝2.又图象经过坐标原点，则b＝2不满足条件，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1. 4.直线y＝3a与函数y＝(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则实 数a的取值范围是______． (0，) a＞1时，作出函数y＝的图象，如图①.此时在x≤－1时，0≤y＜1，而3a＞3＞1，因此y＝3a与函数y＝的图象只有一个交点，不合题意；0＜a＜1时，作出函数y＝的图象，如图②.此时在x≥－1时，0≤y＜1，因此y＝3a与函数y＝的图象有两个交点，则0＜3a＜1，解得0＜a＜.综上所述，a∈(0，). 与指数函数图象有关问题的策略 规律方法 考点二　指数函数的性质及应用 多维探究 典例1 √ 角度1　比较大小 (1)(2025·上海卷)设a＞0，s∈R，下列各项中，能推出as＞a的一 项是 A．a＞1，且s＞0 B．a＞1，且s＜0 C．0＜a＜1，且s＞0 D．0＜a＜1，且s＜0 当a＞1时，as＞a⇔s＞1；当0＜a＜1时，as＞a⇔s＜1.结合选项可知只有D选项能推出as＞a．故选D． √ (2)(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知实数x，y满足＜，则下列关系式中恒成立的是 A．e2x＋1＞e2y＋1 B．sin x＞sin y C．x3＞y3 D．2x－2y＞3－x－3－y √ √ 因为＜，所以x＞y.对于A，y＝ex在R上是增函数，故e2x＋1＞ e2y＋1，故本关系式恒成立；对于B，当x＝π，y＝0时，显然符合x＞y，但是sin x＞sin y不成立，故本关系式不恒成立；对于C，因为y＝x3在R上是增函数，所以x3＞y3，故本关系式恒成立；对于D，由于y＝2x为单调递增函数，y＝3－x为单调递减函数，故y＝2x－3－x为R上的单调递增函数，由x＞y可得2x－3－x＞2y－3－y，故2x－2y＞3－x－3－y，故本关系式恒成立.故选ACD. √ 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若≤，则函数y＝2x的值域为 A． B． C． D．［2，＋∞) ＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，所以≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为.故选B. (2)(2026·江苏无锡模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x＋1(e为自然对数的底数)，若f＋f＞2，则该不等式的解集为_______________． f(－x)＋f(x)＝e－x－ex＋1＋ex－e－x＋1＝2，则f＋f＝2，f＋f(4－x2)＞2⇒f＋f＞f＋f，故f＞f.f(x)＝ex－e－x＋1在R上单调递增，所以4－x2＞1－2x，解得－1＜x＜3. 1.比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小． 2.指数方程(不等式)的求解：主要利用指数函数的单调性进行 转化． 规律方法 √ 对点练1.(2026·河北衡水模拟)若＜＜＜1，则 A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 若＜＜＜1，且∈，由函数f(x)＝在R上为减函数，f＜f＜f(a)＜f(0)，则0＜a＜b＜1.又函数y＝ax在R上为减函数，则ab＜aa.又函数y＝xa在上为增函数，则aa＜ba，因此可得ab＜aa＜ba.故选C. √ 对点练2.(2026·湖南长沙模拟)设函数f(x)＝＋1，则使得f＜f(－x)成立的x的取值范围是 A． B． C． D． 因为f(x)＝＋1，所以f＝＋1＝＋1＝f(x)，即函数f(x)关于x＝1对称，当x≥1时，f(x)＝ex－1＋1单调递增，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.因为f＜f(－x)，所以＜，解得x＞.故选B. 考点三　指数型函数的综合应用 师生共研 典例2 (2026·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数(a＞0，b＞0)． (1)求f(x)的解析式； 解：由函数f(x)＝是R上的奇函数，则有f(0)＝＝0，解得a＝3， 所以f(x)＝. ∀x∈R，f(－x)＝＝ ＝－＝－f(x)， 即∀x∈R，b·3x＋1＝3x＋b，解得b＝1， 经验证得a＝3，b＝1时，f(x)是奇函数，所以f(x)＝. (2)求当x∈时，函数g(x)＝f(x)·＋9x－1的值域． 解：由(1)知，g(x)＝f(x)·＋9x－1＝3－3x＋1＋9x－1＝－3×3x＋2＝－. 令t＝3x，x∈，则1≤t≤3， 于是函数g(x)变为y＝t2－3t＋2，t∈[1，3]， 对称轴为t＝，所以y＝t2－3t＋2在［1，］单调递减，在［，3］单调递增， 因此当t＝3x＝时，g(x)min＝－， 当t＝3x＝3时，g(x)max＝2， 所以函数g(x)的值域为. 教师备选 设a∈R，函数f(x)＝． (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； 解：由f(x)为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)， 即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1， 当a＝1时，f(x)＝(x≠0)，f(－x)＝＝＝－f(x)对一切非零实数x恒成立， 故a＝1时，y＝f(x)为奇函数． (2)若f(x)关于点(0，2)中心对称，求a的值； 解：由f(x)关于点(0，2)中心对称， 得f(x)＋f(－x)＝4， 所以＋＝4，即＝4， 解得a＝－3. (3)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围． 解：由f(2)＝a，可得＝a，解得a＝2， 所以f(x)＞a⇔＜0⇔1＜2x＜4， 解得0＜x＜2， 所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2)． 　　求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 注意　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论． 规律方法 √ 对点练3.已知ln a2－ln a＝1，则函数f(x)＝ax2－2x的单调递增区间是 A．(－∞，0］ B．(－∞，1］ C．［0，＋∞) D．［1，＋∞) 因为ln a2－ln a＝1，所以ln a＝1，所以a＝e，所以f(x)＝ex2－2x．函数y＝ex在R上单调递增，函数y＝x2－2x在区间(－……，1］单调递减，在区间［1，＋∞)单调递增，根据复合函数的单调性法则知，函数f(x)＝ax2－2x的单调递增区间是［1，＋∞)．故选D． 对点练4.已知函数f(x)＝3x＋·3－x为奇函数． (1)求实数k的值，判断函数f(x)的单调性(无需证明)，并求不等式f－f＞0的解集； 解：因为函数f(x)＝3x＋·3－x(x∈R)为奇函数， 所以f(0)＝1＋·1＝0，所以k＝1，所以f(x)＝3x－3－x． 因为f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，所以符合函数是奇函数，所以k＝1. 因为y＝3x单调递增，y＝3－x单调递减，所以f(x)＝3x－3－x单调递增． 因为f－f＞0，所以f＞f， 所以3x－2＞x＋1，所以x＞， 所以原不等式的解集为． (2)若对∀x∈，不等式f(x)＋m×3x≤6恒成立，求实数m的取值 范围． 解：∀x∈，f(x)＋m×3x≤6，所以3x－3－x＋m×3x≤6， 所以m＋1≤＝＋6×. 令＝t，所以m＋1≤t2＋6t，t∈，m＋1≤， 当t＝3时，＝27，所以m＋1≤27，即m≤26. 所以实数m的取值范围是(－∞，26]. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·湖北荆州模拟)2a＞2b是＞的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 由指数函数的单调性可得2a＞2b⇔a＞b，由＞可得a＞b＞0，而由a＞b不能推出＞，如2＞－1，但没有意义，所以2a＞2b是＞的必要不充分条件.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.已知函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝(b＞0，且b≠1)的图象如图所示，则 A．a＞b＞1 B．a＞1＞b＞0 C．b＞1＞a＞0 D．b＞a＞1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 由图得a＞1，0＜＜1，所以b＞1.因为函数y＝(b＞0，且b≠1)的图象与函数y＝bx(b＞0，且b≠1)的图象关于y轴对称，如图所示.由图可知a1＞b1，则a＞b＞1.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 3.(2026·福建福州模拟)已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系为 A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 因为y＝1.5x是增函数，又0＜0.6＜0.7，所以b＞a＞1.又y＝0.7x是减函数，所以c＝0.70.60＜0.70＝1，则b＞a＞c．故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 4.(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝在区间单调递增，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 令t＝x(x＋a)，又y＝在R上单调递减，所以要使f(x)＝在区间单调递增，则t＝x(x＋a)在区间单调递减，所以由t＝x(x＋a)＝(x＋)2－的开口向上且对称轴为x＝－得－≥2，解得a≤－4.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 5.(多选)(2026·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是 A．函数f(x)单调递增 B．函数f(x)值域为(0，2) C．函数f(x)的图象关于(0，1)对称 D．函数f(x)的图象关于(1，1)对称 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 f(x)＝＝＝2－，设函数y＝2－，t＝2x－1＋1，则t＞1.又内层函数t＝2x－1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x－1＋1＞1，所以0＜＜2，则0＜2－＜2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)关于点(1，1)对称，易知f(－x)＋f(x)≠2，故C错误，D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 教师备选 (多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是 A．函数f(x)的定义域是R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，因为ex＞0，所以ex＋1＞0，所以函数f(x)的定义域是R，故A正确；对于B，f(x)＝＝1－，由ex＞0⇒ex＋1＞1⇒0＜＜1⇒－2＜－＜0⇒－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确；对于C，因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；对于D，因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1＞1，所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数，故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 √ 6.(多选)设f(x)＝，c＜b＜a，且f＞f(a)＞f，则下列关系式中一定成立的是 A．3c＜3b B．3c＞3b C．3c＋3a＞2 D．3c＋3a＜2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 f(x)＝＝则f(x)的图象如图所示.因为c＜b＜a，所以若0＜c＜b＜a，则f＜f＜f(a)，这与已知f＞f(a)＞f矛盾.同理，c＜b＜a＜0也不成立，所以只有c＜0＜b＜a或c＜b＜0＜a这两种情况.所以3c＜3b，故B一定不成立，故A成立；又f－f(a)＞0，即1－3c－＞0，所以3c＋3a＜2，故D一定成立，C一定不成立.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 7.已知函数f(x)＝若对任意的x1≠x2，均有＜，则实 数a的取值范围是________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 因为对任意的x1≠x2，均有＜，即＜0，所以f(x)在R上单调递减.由y＝单调递减得0＜a＜1.因为指数函数y＝3x单调递增且恒大于零，则由y＝单调递减可得a＞0，故解得0＜a≤. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 8.(开放题)(2026·山东临沂模拟)已知函数f(x)的定义域为D，∀x1，x2∈D，且x1≠x2，写出满足以下两个条件①②的函数f(x)＝_______________．条件①：＞0，条件②：f＝f(x1)f(x2)． ex(答案不唯一) 设f(x)＝ex，则f(x)为R上的增函数，此时＞0必成立，而f＝＝×＝f(x1)f(x2)，故f(x)满足性质①②(答案不唯一). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 9.(10分)已知函数f(x)＝2x－a·2－x，g(x)＝x＋． (1)当a＝－2时，解关于x的方程f(x)＝3； 解：当a＝－2时，2x＋＝3，令t＝2x，则t＋＝3即t2－3t＋2＝0，t＞0， 解得t＝1或t＝2，即2x＝1或2x＝2，解得x＝0或x＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)若对∀x1∈，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值 范围． 解：设f(x)在上的值域为A，g(x)在(0，＋∞)上的值域为B，则A⊆B． 因为x∈，所以g(x)＝x＋≥2，当且仅当x＝即x＝1时等号成立， 所以B＝． 因为A⊆B，所以f(x)＝2x－a·2－x≥2对∀x∈恒成立， 即a≤－2·2x对∀x∈恒成立. 令u＝2x，则y＝u2－2u＝(u－1)2－1，u∈， 当u＝1时，ymin＝－1，所以a≤－1. 所以实数a的取值范围是(－∞，－1］． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 10.(2026·广东汕头模拟)已知和是函数y＝2x图象上的两点，则 A．y1＋y2≥ B．≤ C．y1y2≥＋＋ D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 已知(x1，y1)和(x2，y2)是函数y＝2x图象上的两点，可得y1＝，y2＝，由于＞0，＞0，因此y1＋y2＝＋≥2＝2×，当且仅当＝，即x1＝x2时等号成立.得.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 11.(新定义)(多选)定义“真指数”：＝(e为自然对数的底数)，则 A．≤· B． C．≤ D．＋≥2 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 设f(x)＝，依题意作出函数f(x)的图象如图所示.则函数 f(x)不存在减区间，且对任意的x，y∈R，当x≤y时，f(x) ≤f，≤，且f(x)≥1.对于A，当x1≥0，x2≥0时， 则x1＋x2≥0，所以＝＝·＝·， 符合题意；若x1＜0，x2＜0时，则x1＋x2＜0，所以＝1＝1×1＝·，符合题意；若x1≥0，x2＜0，则x1＋x2＜x1，所以·＝，若x2≥0，x1＜0，同理可知≤·，综上所述，≤·，故A正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于B，①若x1＜0，x2＜0，则＝1≤，符合题 意；②若x1≥0，x2≥0，则＝＝，若x1－x2 ≥0，则＝，此时＝，若x1－x2＜0，则＝1，此时＝1＞＝，故当x1≥0，x2≥0时，，符合题意； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 ③若x1≥0，x2＜0，则x1－x2＞x1≥0，＝＞ ＝，符合题意；④若x1＜0，x2≥0，则x1－x2≤x1 ＜0，＝1，＝≤1，则，符合题 意.综上所述，，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于C，不妨取x1＝1，x2＝－1，则＝＝1， ＝e－1＝，此时＞，故C错误；对于D，若 x1≥0，x2≥0，则x1＋x2≥0，由基本不等式可得＋ ＝＋≥2＝2＝2，当且仅当x1＝x2时，等号成立，符合题意；若x1＜0，x2＜0，则x1＋x2＜0，＋＝1＋1＝2＝2，符合题意； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 若x1≥0，x2＜0，则x1＞x1＋x2，则＋＝＋1≥2＝2＝2≥2，当且仅当x1＝0时等号成立，若x1＜0，x2≥0，同理可知＋≥2，综上所述，＋≥2，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 12.(15分)已知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2·3x． (1)求函数f(x)、g(x)的解析式； 解：依题意，知f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2·3－x，且f(x)＋g(x)＝2·3x， f(x)＝3x＋3－x，两式相减可得g(x)＝3x－3－x． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (2)直接说明函数g(x)的单调性，并解关于x的不等式：g＋g＞0； 解：由y＝3x，y＝－3－x在R上均单调递增，故g(x)在R上单调递增. 由g＋g＞0，则g＞－g＝g(6－x)， 所以x2＋4x＞6－x，即x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)＞0，可得x＜－6或x＞1， 所以原不等式的解集为(－∞，－6)∪(1，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 (3)设p(x)＝，h(x)＝f－2g(x)＋2m－3，对于∀x1∈R，都∃x2∈ ，使得p(x1)＝h(x2)，求实数m的取值范围． 解：x∈R时，p(x)＝＝1－，又0＜＜2，故p(x)∈(－1，1)， x≥0时，h(x)＝f－2g(x)＋2m－3＝32x＋3－2x－2(3x－3－x)＋2m－3＝(3x－3－x)2－2(3x－3－x)＋2m－1. 令t＝3x－3－x，则t≥0， 则h(x)＝F2＋2m－2≥2m－2， 由∀x1∈R，都∃x2∈，使得p(x1)＝h(x2)，只需2m－2≤－1，即m≤. 所以实数m的取值范围是(－∞，］． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 13.(多选)(2026·广东广州模拟)双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数sh(x)＝，双曲余弦函数ch(x)＝，双曲正切函数th(x)＝，且当x＞0时有th(x)＜x，则下列选项正确的是 A．2－2＝1 B．th(x)的值域为 C．th(x)＋th＞0，则x＜1 D．f(x)＝，则f＞f √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于A，－＝－＝＝1，故A正确；对于B，th(x)＝＝＝＝＝1－.因为e2x＞0，则e2x＋1＞1，故0＜＜1，故th(x)＝1－∈，即函数th(x)的值域为，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 对于C，对任意的x∈R，ex＋e－x＞0，故函数th(x)的定义域是R，th(－x)＝＝－th(x)，即函数th(x)为奇函数，任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则＞＞0，所以th(x1)－th(x2)＝－＝－＝＞0，即th(x1)＞th(x2)，故函数th(x)为R上的增函数，且为奇函数，由th(x)＋th＞0可得th(x)＞－th＝th，故x＞2－x，解得x＞1，故C错误；对于D，f(x)＝(x－1)[sh(x)＋ch(x)]＝ex，当x＞0时，由th(x)＝＜x整理可得ex＞e－x，即f(x)＞f(－x)，故f＞f，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 14.纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段AB的端点A向B运动，点F从射线DE的端点D出发向E运动，其中AB的长为a，DE的长无限大.若DF的长度满足在第t秒时DF＝3t，CA的长度满足在第t秒时CA＝a－，记DF＝x，CB＝y，则x是关于y的一个对数函数.根据以上定义，当y＝时，则x＝____. 18 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 依题意，知第t秒时y＝a－＝.令y＝得，＝，解得t＝6.又因为第t秒时x＝3t，所以当y＝时，x＝3×6＝18. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 第12讲　指数函数 $