江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 八年级下学期期末数学模拟卷，以概率、几何、代数综合应用为核心，通过“阳光体育”购买方案、景区客流概率等真实情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|随机事件判断、因式分解识别、菱形面积计算|结合扇形统计图分析（第3题），考查几何直观| |填空题|10/20|数据分组、几何概率估算、折叠问题推理|运动路径面积函数（第12题），体现空间观念| |解答题|11/88|分组分解法应用、梯形分割证明、中位线性质探究|“巧分式”定义新题型（第26题），融合创新意识与符号运算|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. 答案不唯一  12. ．  13.   14. ．  15.   16.   17. 解：原式 ； 原式 ．  18. 【小题】 原式  ． 【小题】 方程两边同乘 ，得：  ， 解得 ． 检验：当 时， ， 所以 为原方程的解．   19. 解：被调查的总人数为人， 对应的人数为人， 补全图形如下： 、； 估计这所中学的所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为“：十分熟悉”和“：了解较多”的学生共有人． 答：对“安全知识”内容的了解程度为“：十分熟悉”和“：了解较多”的学生共有人．  20.   21. 证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点， ， 又， ≌， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积．  22. 【小题】 解： ； 【小题】 ， ，， 原式； 【小题】 是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ，即， 是等腰三角形．   23. 解：设篮球的单价为元个，则足球的单价为元个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：篮球的单价为元个，足球的单价为元个． 设购买个足球，则购买个篮球， 根据题意得：， 解得：． 答：至少要购买个足球； 由题意得，， 解得：， ， ， 为整数， 可取，，，，，，共种购买方案； 分别为足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个； 设总费用为元，由题意得，， ， 随着的增大而减小， 当时，， 答：买足球个，篮球个费用最少，最少费用是元．  24. ；  为正整数；   ；   ．  25. 平行四边形和即为所求作； 矩形和直角三角形和直角三角形即为所求作；  连接，， 四边形是平行四边形， ，， ， 等腰梯形中，， ， ， ， 等腰梯形中，， ，， ， ， ≌， ，即等腰梯形的对角线相等  26. 【小题】 【小题】 因为分式为常数是一个“巧分式”，它的“巧整式”为， 所以，所以， 所以解得 【小题】 是，理由如下：因为分式的“巧整式”为，所以， 所以，即． 因为，是整式， 所以是“巧分式”．   27. 【小题】 ， 【小题】 解：，，理由如下： 如图，连接并延长交的延长线于点， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ，， ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ，， ，． 【小题】 【小题】 证明：分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，则， 过点作，交于点，交延长线于点， ，，，， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 为的中点， 为梯形的中位线， ， 四边形是正方形， ，， ， 于点，于点， ，， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， 于点，于点， ，， ，， ， ，， ， ．   【解析】 1. 略 2. 解：是乘法运算，则不符合题意， 符合因式分解的定义，则符合题意， 中等号右边不是积的形式，则不符合题意， 是乘法运算，则不符合题意， 故选：． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3. 解：因为甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，  由扇形统计图和条形统计图可知：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有人，占，  被调查的同学总人数为：人，  喜欢红色人数为：人，  喜欢红色和蓝色的人数为：人，  喜欢黄色和绿色的人数为：人，  由条形图知其中一种颜色是人，则另一种颜色人，  条形统计图中小长方形的高度按照从高到低的顺序排列，  丙代表的颜色的人数为人，  丙代表的颜色为红色．  故选：． 从扇形统计图可知同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，即可求出总同学人数为人，继而可求得喜欢红色的人数人，从而可求出喜欢绿色和黄色的人数为人和人，即可求解． 本题考查扇形统计图，条形统计图，从统计图准确获取信息是解题的关键． 4. 根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 故选B． 5. 根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推出题目缺失的条件； 【详解】解：设实际每天加工零件个，给定方程为， 原计划每天加工个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， 工作时间， 原计划完成任务的时间为，实际完成任务的时间为， 方程表示原计划用时减去实际用时等于天， 原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成； 6. 解：是等腰直角三角形，，， ，， 根据图的裁剪长方形，如图所示， ，， ， ，， 能裁出条， 根据题意，， ， 依次类推，第三条长方形的长为， 总长度为：，且宽为， 按图镶边，如图所示， ， ， 正方形美术作品的面积为：， 故选：． 先求出能裁剪的纸条的条数为条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 本题考查了等腰三角形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确求出长方形纸条的长是解题关键． 7. 先提取公因式，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】  ， 故答案为： ． 本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 8. 解：最大值为，最小值为，它们的差是， 已知组距为，那么由于； 则可分成组． 故答案为：． 9. 略 10. 根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：代数式的值为 且， 解得． 11. 根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】解：有意义， 解得， 又为正整数， 的值可以是． 12. 解：如图，连接交于点． 由图可知，，且当时，的面积为． 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 先从函数图象得出的长度，利用的面积结合菱形对角线的性质求出的长度，再通过勾股定理算出的长度，最后将与的长度相加得到的值． 本题考查了菱形的性质、勾股定理与函数图象的综合应用，掌握菱形的对角线互相垂直平分，及利用面积公式和勾股定理求边长是解题的关键． 13. 略 14. 解：四边形是矩形，  ，  由图的所示方式折叠得：，  由图所示的方式折叠得：，  故结论一定正确；  四边形是矩形，  ，  是直角三角形，  在中，，  由图所示的方式折叠得：，  ，  ，  在中，，，  是等腰直角三角形，  ，  故结论一定正确；  ，  设，则，  在矩形中，，，，  是直角三角形，  在中，，  是等腰直角三角形，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  由图所示的方式折叠得：，，，      ，  故结论不正确；  ，，  ：：，  故结论一定正确  综上所述：一定正确的结论有  故答案为：． 由矩形性质得，由图的所示方式折叠得，由图所示的方式折叠得，据此得结论一定正确；  由矩形性质得，在中得，由图所示的方式折叠得，进而得，由此得是等腰直角三角形，据此得结论一定正确；  设，则，证明是等腰直角三角形得，则为，由此得，，，继而得，据此结论不正确；  由，得结论一定正确，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式计算是解决问题的关键． 15. 根据 ，得到 ，进而得到 ，列方程组 ，计算得 ，即可得到答案 【详解】解： ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  得 ， 由得 ，代入，得  ，  ， 将 代入，得 ， 整理得 ， 将代入得， ， 解得 ， ． 16. 由等式，  去分母得，  ，  ， ． ， ， ， ， 原式． 17. 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； 直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案． 18.   本题考查了分式的混合运算，以及解分式方程，熟练掌握分式方程的解法以及分式的运算法则是解答本题的关键． 括号内通分，然后把除法转化为乘法计算；  去分母化为整式方程求解，然后检验即可． 19. 【分析】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 由的人数及其所占百分比可得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得的人数，据此可补全图形； 用乘以项目人数占总人数的比例可得； 总人数乘以样本中、的百分比之和可得． 【解答】 解：见答案； 由知被调查的总人数为人 “”的部分所对应的圆心角等于， 故答案为、； 见答案． 20. 解：一名乘客通过该入口检票处时，选择闸口通过的概率为， 故答案为：； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两名游客选择不同闸口通过的结果有种， 两名游客选择不同闸口通过的概率为． 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中两名乘客选择相邻闸口通过的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 由“”可证≌，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； 由平行线的性质和角平分线的性质定义可证，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可求解． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22.   首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；   首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；   先将原式变形为，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断． 23. 设篮球的单价为元个，则足球的单价为元个，根据用元购买篮球的个数比购买足球的个数少个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 购买个足球，则购买个篮球，根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可； 解不等式得到，于是得到种购买方案；设总费用为元，由题意得到函数关系式，根据一次函数的性质即可得到结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，列出关于的一元一次不等式． 24. ； 故答案为：； 第个式子可以表示为：为正整数； 故答案为：； 原式； 故答案为：； 均为正整数， ， ， ． 故答案为：． 根据二次根式的性质和乘法法则，按照前面的特例变形得到特例； 根据前面特例中数据与序号数的关系写出第个式子； 先根据中的规律变形前面的二次根式，然后根据二次根式的乘法法则运算； 利用特例中数据与序号数的关系先确定的值，然后确定的值，最后计算它们的和． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 25. 解：如图，平行四边形和即为所求作； 等腰梯形中，， 由作图知， 四边形是平行四边形， 如图所示，矩形和直角三角形和直角三角形即为所求作； 由作图知，， ， ，均为直角三角形， 等腰梯形中，， ， ， 四边形是矩形； 证明：如图，在的图中连接，， 四边形是平行四边形， ，， ， 等腰梯形中，， ， ， ， 等腰梯形中，， ，， ， ， ≌， ，即等腰梯形的对角线相等． 以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接即可；分别过点，作，即可； 在的图中连接，，证明≌，即可证明结论． 本题考查作图，掌握平行四边形、矩形、直角三角形的判定是解题的关键． 26.   【解】因为，是整式，所以是“巧分式”； 因为，不是整式，所以不是“巧分式”； 因为，是整式，所以是“巧分式”． 故答案为．  略  略 27.   由已知可得是的中位线，即可求解； 解：点是边的中点，点是边的中点， 是的中位线， ，．  连接并延长交的延长线于点，证明，可得，，可得，为的中位线，结合平行线的性质，即可得线段，，之间的关系；  由得梯形中位线与上底、下底之间的关系，代入梯形的面积公式计算即可； 解：梯形的中位线长为，高为， ．  分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，，证明，，可得，即可证得结论． 第2页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是() A“买中奖率为品的奖券10张，中奖”是必然事件 B.“某汽车累计行驶10000km,从未出现故障”是不可能事件 C.天气预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天一定下雨 D.“清明时节雨纷纷”为随机事件 2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.(a+b)·c=ac+bc B.x2-9=(x+3)(x-3) C.4x2+4x+10=(2x+1)2+9 D.(x+y)2=x2+2xy+y2 3.小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小 长方形的高度按照从高到低的顺序排列，条形统计图被弄脏了一部分.若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中 的某一种颜色，则丙代表的颜色是() ↑人数 10% 16 蓝 红 黄 28% 绿 甲 乙丙丁 颜色 第1页，共9页 A.蓝 B.绿 C.黄 D.红 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是AB、BC的中点，连接EF,若EF=3,BD =8,则菱形ABCD的面积为() B C A.12 B.24 C.30 D.35 5.已知一个不完整的题目：某车间计划加工1800个零件，在实际生产时，，求实际每天加工零件的个 18001800 数.若设实际每天加工x个零件，可得方程x10一x =3,则题目中“”表示的条件应是() A.每天比原计划少生产10个，结果提前3天完成 B.每天比原计划多生产10个，结果提前3天完成 C.每天比原计划多生产10个，结果延期3天完成 D.每天比原计划少生产10个，结果延期3天完成 6.如图1是一张等腰直角三角形纸片，AC=BC=12W3cm,现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为33cm 的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面 积为() C H E G A A 图1 图2 图3 27 A.3cm2 B.on C.om D.27cm2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.分解因式：xy2-6xy+9x=一 8.己知数据有100个，最大值为141，最小值为60，取组距为10，则可分成组. 第2页，共9页 9.小贤同学要测量图中小马图案的面积，采用的办法是：先用长为4dm,宽为3dm的长方形将该图案围起 来，再向长方形区域内随机投掷小石子（假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的）通过大量重复试验， 发现小石子落在小马图案上的频率稳定在0.2附近，由此可估计小马图案的面积为 10若代数式-的值为0，则实数x的值是 11.若二次根式vm-4有意义，则正整数m的值可以是_.（写出一个即可） 12.如图①，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D的路径运动至点D,设点P的运动路程为x,△BCP 的面积为y,若y关于x的函数图象如图②所示，则图中a的值为 48 B 12 a 图① 图② 13.如图，小华有一块三角尺ABC,其中LACB=90°，AC=BC,过点C作直线L,分别过点A,B作的垂线， 垂足分别是D,E若DE=8,则梯形ABED的面积为一· B E 14.如图，将矩形ABCD沿AE按图1的方式折叠，点B的对应点B'落在AD上；再按如图2所示将所得梯形纸片 AECD沿AG折叠，边AD恰好与折痕AE完全重合.已知AD=V2AB,CE的长为1.下列结论： ①LGAD=22.5: 第3页，共9页 ②CE=CG: ③四边形AECG的面积为3+2√2： ④DG:CG=V2:1. 其中一定正确的结论有 (填写序号即可)， B'D G B E E(D)C 图1 图2 15.若x、y、z、m满足：V3x+2y+z-m-5+2W2x-y+2z-m+3=Vx-4y+3z-2026+ √2026-x+4y-3z,则m-2026的值为一· 16.己知正实数x,y,z满足：xy+yz+2x≠1，且 -0-山+--山+-2--4球号+ xy yz 1 +安的值为 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)计算： a顾-5+2 (2)(3-V2)2+(W3+2)W3-2). 18(体小题6分)1)化简”。2÷a-): (2)解方程2x1=1-12 第4页，共9页 19.(本小题6分) 校园安全问题已成为社会各界关注的热点问题，区教育局要求各学校加强对学生的安全教育，教育局安全 科为了调查学生对“安全知识”内容的了解程度（程度分为：“A:十分熟悉”、“B:了解较多”、“C: 了解较少、D:不了解”)，对我校中学部学生进行了抽样调查.我们将这次调查的结果绘制了以下两幅不 完整统计图，如图1，图2，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 人数 45 45 30%1 30 45% 10 0 A D 了解程度 图1 图2 根据以上信息，解答下列问题 (1)补全条形统计图： (2)本次抽样调查了_一_名学生；在图1中扇形统计图中，求出“D”的部分所对应的圆心角等于度。 (3)若我校中学部共有3100名学生，请你估计所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为“A:十分熟 悉”和“B:了解较多”的学生共有多少名？ 20.(本小题8分) 元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个阐机，如图所示，游客领取门票后可随 机选择一个阐口通过， (1)一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为 (②)当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率. 第5页，共9页 Wt 21.(本小题8分) 如图，四边形ABCD是矩形，点E是DC的中点，延长DC至点G,使得CG=CD,连接AE,AE的延长线与BC 的延长线交于点F,连接BG,FG (1)求证：四边形BEFG是菱形： (2)若BE平分LAEG,AB=4,求菱形BEFG的面积. B G 22.(本小题8分) 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但 还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2一mn+2m-2”,细心观察这个式子就会发现，前 两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提 取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2m)=m (m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2). “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：a3-3a2-6a+18: (2)已知m+n=5,m-n=1,求m2-n2+2m-2n的值： (3)△ABC的三边a,b,c满足a2+ab+c2-bc=2ac,判断△ABC的形状并说明理由. 第6页，共9页 23.(本小题8分) 为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中学为满足学生的需 求，准备再购买一些篮球和足球.如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个， 足球的单价为篮球单价的 (1)求篮球、足球的单价分别为多少元？ (2)学校计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个，那么至少购买多少个足球？ (3)在(2)的条件下，若篮球数量不能低过15个，那么有多少种购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多 少？ 24.(本小题8分) 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.下 面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律. 11 特例1： ,13+1 1+3=V3 =4×23 1 ⑧+打=9×年=3年 1 1 特例2： 2+4=4N 1 特例3： 3+5=46 、1 特例4：、4+6 (2)观察、归纳，得出猜想. 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为： (3)应用运算规律： 第7页，共9页 ①化简：√2024+2026×√4052=—一 ②若a+方11a,b均为正整数)，则a+b=-一 25.(本小题10分) 我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决 A D A D B 图1 图2 图3 (1)仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形ABCD进行分割（保留作图痕迹，无需写作法） ①图2，分割成一个平行四边形和一个三角形： ②图3，分割成一个矩形和两个直角三角形： (2)苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形： 两腰相等的梯形叫作等腰梯形. 请你结合第(1)题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等. 26.(本小题10分) 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式 的“巧整式”例如： "_=4，则称分式“是“巧分式”，4红为它的“巧整式”根据上 x-2 x-2 述定义，解决下列问题 ()下列分式中是巧分式”的有一（锁序号》.@巴，@@+子 (②法分式一m为指激)是一个巧分式”，它的“巧整式”为-求mn的值. 第8页，共9页 (③)若分式2十的“巧整式”为-x,请判断++产是否为“巧分式”，并说明理白。 A 27.(本小题10分) 探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题 G 图1 图2 图3 (1)知识回顾本学期我们研究了三角形的中位线的性质.如图1，△ABC中，EF是△ABC的中位线，连接EF 则EF与BC的关系为： (用符号语言表达). (2)方法迁移：连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线.如图2，己知梯形ABCD中，AD// BC,点M,N分别为AB,DC的中点，MN就是梯形ABCD的中位线.请猜想线段AD,BC,MN之间的关系， 并说明理由. (3)理解内化：已知梯形的中位线长为7cm,高为6cm,则梯形面积是cm2, (4)拓展：如图3，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点， 求证：点P到AB的距离是AB的一半. 第9页，共9页 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. “买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 B. “某汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D. “清明时节雨纷纷”为随机事件 2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 3.小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色每人只能选择一种颜色，并绘制了扇形统计图和条形统计图小长方形的高度按照从高到低的顺序排列，条形统计图被弄脏了一部分若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是(    ) A. 蓝 B. 绿 C. 黄 D. 红 4.如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 5.已知一个不完整的题目：某车间计划加工个零件，在实际生产时，，求实际每天加工零件的个数．若设实际每天加工个零件，可得方程，则题目中“”表示的条件应是(    ) A. 每天比原计划少生产个，结果提前天完成 B. 每天比原计划多生产个，结果提前天完成 C. 每天比原计划多生产个，结果延期天完成 D. 每天比原计划少生产个，结果延期天完成 6.如图是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边如图，纸条不重叠，正方形美术作品的面积为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.分解因式：           ． 8.已知数据有个，最大值为，最小值为，取组距为，则可分成          组 9.小贤同学要测量图中小马图案的面积，采用的办法是：先用长为，宽为的长方形将该图案围起来，再向长方形区域内随机投掷小石子假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的通过大量重复试验，发现小石子落在小马图案上的频率稳定在附近，由此可估计小马图案的面积为          ． 10.若代数式的值为，则实数的值是          ． 11.若二次根式 有意义，则正整数的值可以是          写出一个即可 12.如图，在菱形中，动点从点出发，沿的路径运动至点，设点的运动路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则图中的值为        ． 13.如图，小华有一块三角尺，其中，，过点作直线，分别过点，作的垂线，垂足分别是，若，则梯形的面积为          ． 14.如图，将矩形沿按图的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合已知，的长为下列结论： ； ； 四边形的面积为； ． 其中一定正确的结论有             填写序号即可． 15.若、、、满足： ，则 的值为          ． 16.已知正实数，，满足：，且求的值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分计算： ； ． 18.本小题分化简 ； 解方程 ． 19.本小题分 校园安全问题已成为社会各界关注的热点问题，区教育局要求各学校加强对学生的安全教育，教育局安全科为了调查学生对“安全知识”内容的了解程度程度分为：“：十分熟悉”、“：了解较多”、“：了解较少、：不了解”，对我校中学部学生进行了抽样调查．我们将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整统计图，如图，图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 根据以上信息，解答下列问题 补全条形统计图； 本次抽样调查了_____名学生；在图中扇形统计图中，求出“”的部分所对应的圆心角等于_____度． 若我校中学部共有名学生，请你估计所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为“：十分熟悉”和“：了解较多”的学生共有多少名？ 20.本小题分 元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有、、、四个阐机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个阐口通过． 一名游客通过该景点闸口时，选择闸口通过的概率为______． 当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率． 21.本小题分 如图，四边形是矩形，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． 求证：四边形是菱形； 若平分，，求菱形的面积． 22.本小题分 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为． “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： 分解因式：； 已知，，求的值； 的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 23.本小题分 为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少个，足球的单价为篮球单价的． 求篮球、足球的单价分别为多少元？ 学校计划用不多于元购买篮球、足球共个，那么至少购买多少个足球？ 在的条件下，若篮球数量不能低过个，那么有多少种购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少？ 24.本小题分 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是他的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律． 特例：， 特例：， 特例：， 特例：______． 观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：______． 应用运算规律： 化简：______； 若均为正整数，则______． 25.本小题分 我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决． 仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形进行分割保留作图痕迹，无需写作法 图，分割成一个平行四边形和一个三角形； 图，分割成一个矩形和两个直角三角形； 苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 两腰相等的梯形叫作等腰梯形． 请你结合第题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等． 26.本小题分 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”根据上述定义，解决下列问题． 下列分式中是“巧分式”的有          填序号．；；． 若分式为常数是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求，的值． 若分式的“巧整式”为，请判断是否为“巧分式”，并说明理由． 27.本小题分 探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题 知识回顾：本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图，中，是的中位线，连接则与的关系为：          用符号语言表达． 方法迁移：连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图，已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是          ． 拓展：如图，分别以的边、为一边，在外作正方形和，点是的中点，求证：点到的距离是的一半． 第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法正确的是(    ) A. “买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 B. “某汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D. “清明时节雨纷纷”为随机事件 【答案】D  【解析】略 2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：是乘法运算，则不符合题意， 符合因式分解的定义，则符合题意， 中等号右边不是积的形式，则不符合题意， 是乘法运算，则不符合题意， 故选：． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色每人只能选择一种颜色，并绘制了扇形统计图和条形统计图小长方形的高度按照从高到低的顺序排列，条形统计图被弄脏了一部分若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是(    ) A. 蓝 B. 绿 C. 黄 D. 红 【答案】D  【解析】解：因为甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，  由扇形统计图和条形统计图可知：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有人，占，  被调查的同学总人数为：人，  喜欢红色人数为：人，  喜欢红色和蓝色的人数为：人，  喜欢黄色和绿色的人数为：人，  由条形图知其中一种颜色是人，则另一种颜色人，  条形统计图中小长方形的高度按照从高到低的顺序排列，  丙代表的颜色的人数为人，  丙代表的颜色为红色．  故选：． 从扇形统计图可知同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，即可求出总同学人数为人，继而可求得喜欢红色的人数人，从而可求出喜欢绿色和黄色的人数为人和人，即可求解． 本题考查扇形统计图，条形统计图，从统计图准确获取信息是解题的关键． 4.如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 故选B． 5.已知一个不完整的题目：某车间计划加工个零件，在实际生产时，，求实际每天加工零件的个数．若设实际每天加工个零件，可得方程，则题目中“”表示的条件应是(    ) A. 每天比原计划少生产个，结果提前天完成 B. 每天比原计划多生产个，结果提前天完成 C. 每天比原计划多生产个，结果延期天完成 D. 每天比原计划少生产个，结果延期天完成 【答案】B  【解析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推出题目缺失的条件； 【详解】解：设实际每天加工零件个，给定方程为， 原计划每天加工个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， 工作时间， 原计划完成任务的时间为，实际完成任务的时间为， 方程表示原计划用时减去实际用时等于天， 原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成； 6.如图是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边如图，纸条不重叠，正方形美术作品的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：是等腰直角三角形，，， ，， 根据图的裁剪长方形，如图所示， ，， ， ，， 能裁出条， 根据题意，， ， 依次类推，第三条长方形的长为， 总长度为：，且宽为， 按图镶边，如图所示， ， ， 正方形美术作品的面积为：， 故选：． 先求出能裁剪的纸条的条数为条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 本题考查了等腰三角形的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确求出长方形纸条的长是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.分解因式：           ． 【答案】  【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】  ， 故答案为： ． 本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 8.已知数据有个，最大值为，最小值为，取组距为，则可分成          组 【答案】  【解析】解：最大值为，最小值为，它们的差是， 已知组距为，那么由于； 则可分成组． 故答案为：． 9.小贤同学要测量图中小马图案的面积，采用的办法是：先用长为，宽为的长方形将该图案围起来，再向长方形区域内随机投掷小石子假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的通过大量重复试验，发现小石子落在小马图案上的频率稳定在附近，由此可估计小马图案的面积为          ． 【答案】  【解析】略 10.若代数式的值为，则实数的值是          ． 【答案】  【解析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：代数式的值为 且， 解得． 11.若二次根式 有意义，则正整数的值可以是          写出一个即可 【答案】答案不唯一  【解析】根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】解：有意义， 解得， 又为正整数， 的值可以是． 12.如图，在菱形中，动点从点出发，沿的路径运动至点，设点的运动路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则图中的值为        ． 【答案】．  【解析】解：如图，连接交于点． 由图可知，，且当时，的面积为． 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 先从函数图象得出的长度，利用的面积结合菱形对角线的性质求出的长度，再通过勾股定理算出的长度，最后将与的长度相加得到的值． 本题考查了菱形的性质、勾股定理与函数图象的综合应用，掌握菱形的对角线互相垂直平分，及利用面积公式和勾股定理求边长是解题的关键． 13.如图，小华有一块三角尺，其中，，过点作直线，分别过点，作的垂线，垂足分别是，若，则梯形的面积为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，将矩形沿按图的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合已知，的长为下列结论： ； ； 四边形的面积为； ． 其中一定正确的结论有             填写序号即可． 【答案】．  【解析】解：四边形是矩形，  ，  由图的所示方式折叠得：，  由图所示的方式折叠得：，  故结论一定正确；  四边形是矩形，  ，  是直角三角形，  在中，，  由图所示的方式折叠得：，  ，  ，  在中，，，  是等腰直角三角形，  ，  故结论一定正确；  ，  设，则，  在矩形中，，，，  是直角三角形，  在中，，  是等腰直角三角形，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  由图所示的方式折叠得：，，，      ，  故结论不正确；  ，，  ：：，  故结论一定正确  综上所述：一定正确的结论有  故答案为：． 由矩形性质得，由图的所示方式折叠得，由图所示的方式折叠得，据此得结论一定正确；  由矩形性质得，在中得，由图所示的方式折叠得，进而得，由此得是等腰直角三角形，据此得结论一定正确；  设，则，证明是等腰直角三角形得，则为，由此得，，，继而得，据此结论不正确；  由，得结论一定正确，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式计算是解决问题的关键． 15.若、、、满足： ，则 的值为          ． 【答案】  【解析】根据 ，得到 ，进而得到 ，列方程组 ，计算得 ，即可得到答案 【详解】解： ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  得 ， 由得 ，代入，得  ，  ， 将 代入，得 ， 整理得 ， 将代入得， ， 解得 ， ． 16.已知正实数，，满足：，且求的值为          ． 【答案】  【解析】由等式，  去分母得，  ，  ， ． ， ， ， ， 原式． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算： ； ． 【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； 直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案． 18. 化简 ； 解方程 ． 【答案】(1)原式  ．   (2)方程两边同乘 ，得：  ， 解得 ． 检验：当 时， ， 所以 为原方程的解．   【解析】  本题考查了分式的混合运算，以及解分式方程，熟练掌握分式方程的解法以及分式的运算法则是解答本题的关键． 括号内通分，然后把除法转化为乘法计算；  去分母化为整式方程求解，然后检验即可． 19.本小题分 校园安全问题已成为社会各界关注的热点问题，区教育局要求各学校加强对学生的安全教育，教育局安全科为了调查学生对“安全知识”内容的了解程度程度分为：“：十分熟悉”、“：了解较多”、“：了解较少、：不了解”，对我校中学部学生进行了抽样调查．我们将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整统计图，如图，图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 根据以上信息，解答下列问题 补全条形统计图； 本次抽样调查了_____名学生；在图中扇形统计图中，求出“”的部分所对应的圆心角等于_____度． 若我校中学部共有名学生，请你估计所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为“：十分熟悉”和“：了解较多”的学生共有多少名？ 【答案】解：被调查的总人数为人， 对应的人数为人， 补全图形如下： 、； 估计这所中学的所有学生中，对“安全知识”内容的了解程度为“：十分熟悉”和“：了解较多”的学生共有人． 答：对“安全知识”内容的了解程度为“：十分熟悉”和“：了解较多”的学生共有人．  【解析】【分析】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 由的人数及其所占百分比可得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得的人数，据此可补全图形； 用乘以项目人数占总人数的比例可得； 总人数乘以样本中、的百分比之和可得． 【解答】 解：见答案； 由知被调查的总人数为人 “”的部分所对应的圆心角等于， 故答案为、； 见答案． 20.本小题分 元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有、、、四个阐机，如图所示，游客领取门票后可随机选择一个阐口通过． 一名游客通过该景点闸口时，选择闸口通过的概率为______． 当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率． 【答案】  【解析】解：一名乘客通过该入口检票处时，选择闸口通过的概率为， 故答案为：； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两名游客选择不同闸口通过的结果有种， 两名游客选择不同闸口通过的概率为． 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中两名乘客选择相邻闸口通过的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21.本小题分 如图，四边形是矩形，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． 求证：四边形是菱形； 若平分，，求菱形的面积． 【答案】证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点， ， 又， ≌， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积．  【解析】由“”可证≌，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； 由平行线的性质和角平分线的性质定义可证，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可求解． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22.本小题分 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为． “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： 分解因式：； 已知，，求的值； 的三边，，满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)解： ；   (2) ， ，， 原式；   (3)是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ，即， 是等腰三角形．   【解析】  首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；   首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；   先将原式变形为，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断． 23.本小题分 为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少个，足球的单价为篮球单价的． 求篮球、足球的单价分别为多少元？ 学校计划用不多于元购买篮球、足球共个，那么至少购买多少个足球？ 在的条件下，若篮球数量不能低过个，那么有多少种购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少？ 【答案】解：设篮球的单价为元个，则足球的单价为元个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：篮球的单价为元个，足球的单价为元个． 设购买个足球，则购买个篮球， 根据题意得：， 解得：． 答：至少要购买个足球； 由题意得，， 解得：， ， ， 为整数， 可取，，，，，，共种购买方案； 分别为足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个； 设总费用为元，由题意得，， ， 随着的增大而减小， 当时，， 答：买足球个，篮球个费用最少，最少费用是元．  【解析】设篮球的单价为元个，则足球的单价为元个，根据用元购买篮球的个数比购买足球的个数少个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 购买个足球，则购买个篮球，根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可； 解不等式得到，于是得到种购买方案；设总费用为元，由题意得到函数关系式，根据一次函数的性质即可得到结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，列出关于的一元一次不等式． 24.本小题分 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律下面是他的探究过程，请补充完整： 具体运算，发现规律． 特例：， 特例：， 特例：， 特例：______． 观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：______． 应用运算规律： 化简：______； 若均为正整数，则______． 【答案】；  为正整数；   ；   ．  【解析】； 故答案为：； 第个式子可以表示为：为正整数； 故答案为：； 原式； 故答案为：； 均为正整数， ， ， ． 故答案为：． 根据二次根式的性质和乘法法则，按照前面的特例变形得到特例； 根据前面特例中数据与序号数的关系写出第个式子； 先根据中的规律变形前面的二次根式，然后根据二次根式的乘法法则运算； 利用特例中数据与序号数的关系先确定的值，然后确定的值，最后计算它们的和． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 25.本小题分 我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决． 仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形进行分割保留作图痕迹，无需写作法 图，分割成一个平行四边形和一个三角形； 图，分割成一个矩形和两个直角三角形； 苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 两腰相等的梯形叫作等腰梯形． 请你结合第题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等． 【答案】平行四边形和即为所求作； 矩形和直角三角形和直角三角形即为所求作；  连接，， 四边形是平行四边形， ，， ， 等腰梯形中，， ， ， ， 等腰梯形中，， ，， ， ， ≌， ，即等腰梯形的对角线相等  【解析】解：如图，平行四边形和即为所求作； 等腰梯形中，， 由作图知， 四边形是平行四边形， 如图所示，矩形和直角三角形和直角三角形即为所求作； 由作图知，， ， ，均为直角三角形， 等腰梯形中，， ， ， 四边形是矩形； 证明：如图，在的图中连接，， 四边形是平行四边形， ，， ， 等腰梯形中，， ， ， ， 等腰梯形中，， ，， ， ， ≌， ，即等腰梯形的对角线相等． 以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接即可；分别过点，作，即可； 在的图中连接，，证明≌，即可证明结论． 本题考查作图，掌握平行四边形、矩形、直角三角形的判定是解题的关键． 26.本小题分 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”根据上述定义，解决下列问题． 下列分式中是“巧分式”的有          填序号．；；． 若分式为常数是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求，的值． 若分式的“巧整式”为，请判断是否为“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③  (2)因为分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为， 所以，所以， 所以解得   (3)是，理由如下：因为分式的“巧整式”为，所以， 所以，即. 因为，是整式， 所以是“巧分式”.   【解析】  【解】因为，是整式，所以是“巧分式”； 因为，不是整式，所以不是“巧分式”； 因为，是整式，所以是“巧分式”． 故答案为．  略  略 27.本小题分 探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题 知识回顾：本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图，中，是的中位线，连接则与的关系为：          用符号语言表达． 方法迁移：连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图，已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是          ． 拓展：如图，分别以的边、为一边，在外作正方形和，点是的中点，求证：点到的距离是的一半． 【答案】(1)，  (2)解：，，理由如下： 如图（2），连接并延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，．   (3)42  (4)（4）证明：分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，则， 过点作，交于点，交延长线于点， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为梯形的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴．   【解析】  由已知可得是的中位线，即可求解； 解：点是边的中点，点是边的中点， 是的中位线， ，．  连接并延长交的延长线于点，证明，可得，，可得，为的中位线，结合平行线的性质，即可得线段，，之间的关系；  由得梯形中位线与上底、下底之间的关系，代入梯形的面积公式计算即可； 解：梯形的中位线长为，高为， ．  分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，，证明，，可得，即可证得结论． 第14页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $