专题09数据的分析 期末复习讲义(23大核心题型精讲+重点知识梳理)-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题09数据的分析 期末复习讲义 期末复习◆目标 核心计算：熟练掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的规范计算。 波动分析：掌握方差公式与意义，能通过方差判断数据稳定性，熟记数据变换后平均数、方差的变化规律。 统计辨析：能根据实际场景，正确选择平均数、中位数、众数描述数据，区分三者优缺点与适用范围。 核心题型◆归纳 题型1.求一组数据的平均数 题型2.已知平均数求未知数据的值 题型3.用已知平均数求相关数据的平均数 题型4.利用平均数做决策 题型5.求加权平均数 题型6.用加权平均数求未知数据的值 题型7.运用加权平均数做决策 题型8.出错情况下的平均数问题 题型9.求中位数 题型10.利用中位数求未知数据的值 题型11.运用中位数做决策 题型12.求众数 题型13.利用众数求未知数据的值 题型14.求离差平方和 题型15.离差平方和的应用 题型16.求方差 题型17.利用方差求未知数据的值 题型18.根据方差判断稳定性 题型19.运用方差做决策 题型20.求四分位数 题型21.画箱线图 题型22.根据要求选择合适的统计量 题型23.利用合适的统计量做决策 重点知识◆梳理 【知识点1、算术平均数、加权平均数】 1. 算术平均数: 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数. 记作．计算公式:． 2.加权平均数: 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数． 【知识点2、中位数和众数】 1.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数． 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【知识点3、平均数、中位数与众数的联系与区别】 1.联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要． 2.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响； 众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述． 【知识点4、极差、方差和标准差】 1.极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差. 极差＝最大值－最小值． 2.方差：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量．方差的计算公式是： 　　 3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号S表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致． 【知识点5极差、方差和标准差的联系与区别】 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小． 方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差． 题型解析◆精准备考 题型1.求一组数据的平均数 1．某篮球队5名上场队员的身高（单位：cm）分别是182，184，187，188，192，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的平均身高（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变化无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 分别计算出原数据和新数据的平均数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：原数据的平均数为： 新数据的平均数为 ∵， ∴与换人前相比，场上队员的身高平均数变小． 故选：B． 2．某中学数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表所示： 年龄／岁 12 13 14 15 人数 1 2 3 4 这10名同学年龄的平均数是_______岁． 【答案】 【详解】解：这10名同学年龄的平均数是：（岁）． 3．【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 (1)小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 (2)根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ (3)集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)队成绩更稳定，理由见解析 (3) 【分析】本题考查分析统计图中的数据，中位数，平均数，方差等数值的概念，利用方差对两组数据进行比较与评价，等可能事件的概率和画树状图求概率． （1）根据中位数，平均数的概念，分析统计图中的数据，得出队的中位数和队平均数． （2）根据方差可以用来评价数据的稳定程度，可得队成绩更稳定． （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到两队都选中七号队员的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵队中投中次数排序为，共个人， ∴中位数为第与第个数的平均值：， ∵队中投中次数排序为，共个人， ∴平均数为：， 故答案为：；； （2）解：队成绩更稳定，理由如下，            ∵，，方差越小数据越稳定， ∴队成绩更稳定； （3）解：队投中次数最高的同学有两位，为五号和七号，队投中次数最高的同学有三位，为二号、七号和八号， 根据题意绘制树状图如下， ∴共有六种等可能情况，其中两队都选七号的结果只有一种，        ∴两队都选七号的概率． 题型2.已知平均数求未知数据的值 1．已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由题意可得： 解得. 2．一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 【答案】 【详解】解：根据平均数的定义可得 ， 解得． 3．某省统计数据显示，2021年下半年平均每月进出口总额为3703亿元．如图是根据该省2021年下半年每月的进出口总额情况绘制的．不计算下半年的进出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置上吗？ 【答案】见解析 【分析】根据平均数的意义，超出平均数的数量和等于低于平均数的数量和，可以画出所求的点． 【详解】解：能．如图所示，过作一条平行于横轴的直线，根据超出平均数的数量和等于低于平均数的数量和，利用直尺通过度量可以确定11月份的大约进出口总额． 点即为所求． 题型3.用已知平均数求相关数据的平均数 1．若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用平均数的性质，当每个数据乘以相同常数时，新平均数为原平均数乘以该常数． 【详解】解：∵数据，，，，的平均数为2， ∴． 对于新数据，，，，， 其和为， ∴新平均数为， 故选：C． 2．若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 【答案】7 【分析】根据平均数的定义，先由原样本平均数求出原样本总和，再计算新样本的总和，最后求出新样本的平均数． 【详解】解：∵样本的平均数为10， ∴根据平均数的定义可得：，则， 对于样本，其平均数为： ． 3．某个工程队正在修建道路．有4天每天修5米，有2天每天修7米，有3天每天修10米，有1天修11米．这10天中该工程队平均每天修建道路多少米？ 【答案】这10天中该工程队平均每天修建道路米． 【详解】解：， 答：这10天中该工程队平均每天修建道路米． 题型4.利用平均数做决策 1．六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 【答案】D 【分析】本题考查平均数的意义，根据平均数只能反映一组数据的平均情况解答即可，也是解题关键． 【详解】解：因为平均数只能反映一组数据的平均情况， 所以无法确定谁成绩高． 故选D． 2．春日好时光，读书正当时，在第个世界读书日来临之际，月日，由省教育厅等八个部门联合主办的年河南省青少年学生读书行动启动仪式暨河南省中小学书香校园建设现场会在漯河市举行．河南某中学以此次活动为契机，举行相关朗诵比赛，更好的落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读、下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是________选手（填“甲、乙、丙”）． 【答案】乙 【分析】根据加权平均数的计算方法，分别求得甲、乙、丙三名参赛选手的平均成绩，即可求解． 【详解】解：甲的平均成绩为： 乙的平均成绩为： 丙的平均成绩为： ∴总分最高的是乙选手 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了求加权平均数，根据加权平均数作决策，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 3．检验某厂生产的手表质量时，检验人员随机抽取了10块手表，在下表中记下了每块手表的日走时误差（正数表示比标准时间快，负数表示比标准时间慢）．你认为用这10块手表走时误差的平均数来衡量这10块手表的精度合适吗？ 手表序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日走时误差/s 0 1 0 2 4 2 【答案】 不合适 【分析】先计算出这组走时误差的平均数，再结合平均数的特点判断其能否衡量手表精度即可. 【详解】解：这10块手表走时误差的平均数， 故平均数会让正负误差相互抵消，无法反映这10块手表走时误差的实际波动大小， 衡量精度需要体现走时误差偏离标准时间的程度， 故用平均数衡量这10块手表的精度不合适. 题型5.求加权平均数 1．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的人数占比为权重计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为 ，订购乙种套餐的人数为 ， ∴总花费为 ， ∴平均花费为 ． 2．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 【答案】88.5 【分析】根据已知的三项成绩和权重比例，代入加权平均数公式计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小万的分数分别是90分、95分、85分，三项成绩的权重比为， ∴最终成绩 ， 故答案为：． 3．某同学这学期四次数学测验成绩依次为93分、82分、86分和90分，期中考试成绩为77分．数学老师说这学期的总评成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占、和计算．这位同学希望总评成绩能够达到或超过85分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？（取整数） 【答案】至少要考87分 【详解】解：平时测验的平均成绩为：， 设期末考试成绩为分， 由题意得， 解得， 那么期末考试这位同学至少要考87分． 题型6.用加权平均数求未知数据的值 1．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 2．校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧 【分析】通过设未知数，根据总分列出方程，求出两项的权重，比较权重大小即可得到结论． 【详解】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得： 解得， 则， ∵，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． 3．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．设男、女生的人数分别为人，根据加权平均数的概念列式整理即可得解． 【详解】解：设男生人数为人，女生人数为人， 则有， 即， ． 男，女生人数之比为． 题型7.运用加权平均数做决策 1．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 2．某校学生会想从小聪和小明两人中推荐一人当校史馆讲解员，决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查，结果如下图．如果把口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表分别按的权重计算平均分，则__________更具优势． 【答案】小明 【分析】分别求出两个人的加权平均数，比较后即可得到结论． 【详解】解：小聪的平均成绩为分， 小明的平均成绩为分， ∵， ∴小明更具优势． 3．学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 (1)如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ (2)如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 【答案】(1)乙的最终成绩更高 (2)甲的最终成绩更高 【分析】（1）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果； （2）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果． 【详解】（1）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴乙的最终成绩更高； （2）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴甲的最终成绩更高． 题型8.出错情况下的平均数问题 1．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 2．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 3．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 题型9.求中位数 1．某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（     ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A．91，91 B．91，90 C．90.5，90 D．90，91 【答案】A 【分析】中位数是将数据从小到大排列后最中间位置的数，数据个数为奇数时即为中间的数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义即可求解． 【详解】解：∵共有15个参赛选手，数据个数为奇数， ∴中位数是从小到大排列后第个数据． 计算累计人数得 ，即成绩小于91分的共有6人，第7到第10个数据都是91分，因此第8个数据为91分，即中位数为91． ∵91分出现了4次，是所有成绩中出现次数最多的数， ∴众数为91． 2．已知一组数据1，4，6，8，6，则此组数据的中位数是_________． 【答案】6 【分析】先将给定数据按从小到大的顺序排列，再根据中位数的定义，奇数个数据的中位数为排序后最中间的数，即可求解． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：1，4，6，6，8，这组数据共有个，个数为奇数，根据中位数的定义，中位数为排序后第个数， 第个数为，因此此组数据的中位数是． 3．为了科普春季卫生防疫知识，学校组织了一次知识竞赛，团委老师分别从七、八两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两个年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； ②七年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 70，72，73，73，75，77，78，78，79． 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级抽取的40名同学成绩的中位数是__________； (2)补全知识竞赛成绩频数分布直方图； (3)若成绩为90分以上（含90分）为优秀，学校七年级有600人，八年级有700人，估计两个年级成绩优秀的总人数． 【答案】(1)78 (2) (3)245人 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）先求出七年级分数段的人数，再补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：40个数据按大小顺序排列，最中间的两个数是第20，21个数据，即78，78， 故七年级抽取的40名同学成绩的中位数是； （2）解：（名）．     补全的知识竞赛成绩频数分布直方图略： （3）解： （人） 答：估计两个年级成绩优秀的总人数为245人． 题型10.利用中位数求未知数据的值 1．现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中位数的定义确定的取值，再计算这组数据的平均数． 【详解】解：若这组数据的中位数是，则， 该组整数从小到大排列且不重复，则， 故这组数据的平均数为． 2．一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 【答案】6 【分析】根据中位数的定义，这组数据共个，为奇数个，中位数是从小到大排列后的第个数，结合中位数为，确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：将一组数据从小到大排列后，数据个数为奇数时，中位数是最中间的数，本题共有个数据，因此中位数是排列后的第个数． 已知中位数为，则排列后第个数为． 原数据中小于的数有和共个，若，则小于的数共个，排列后第个数小于，不符合要求． 因此，则的最小值为． 3．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由中位数的定义求解即可； （2）根据题意求出，平均数和中位数的定义估算出的范围，即可比较； （3）根据加权成绩理论知识成绩实操技能成绩，分别求出四位同学的加权成绩，比较即可． 【详解】（1）解：∵，且理论知识成绩在这一组的是：， ∴理论知识成绩从高到低排列，第和第位分别是， ∴； （2）解：由题意得，， ∵实操技能成绩的平均成绩为，中位数为， ∴实操技能成绩超过平均数的人数为， ∴； （3）解：甲同学的加权成绩为（分）， 乙同学的加权成绩为（分）， 丙同学的加权成绩为（分）， 丁同学的加权成绩为（分）， ∵， ∴这四位学生中加权成绩最高的是丙． 题型11.运用中位数做决策 1．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【答案】A 【详解】解：∵7名学生分数互不相同，将分数从小到大排序后，中位数是第4个分数， 又∵比赛共设3个获奖名额，获奖的分数是排序后前3个分数，均大于中位数， ∴该学生只需将自己的分数与中位数比较，若分数大于中位数，则可以获奖，反之不能获奖， 因此他应该关注的统计量是中位数． 2．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 3．某年级共有300名学生，为了解该年级学生学习A，B两门课程的情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，部分信息如下： ：课程成绩的频数直方图如图． (数据分成组，，，，，，) ：A课程成绩在这一组的数据如下： ，，，，，，，，，，，，， ：A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 请结合以上信息完成下列问题： (1)A课程成绩在的人数是_______，并补全频数直方图； (2)表中的值为________； (3)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是_______(填A或B)，理由是_______； (4)假设该年级都参加此次考试，请你估计课程80分及以上的学生人数． 【答案】(1)，补全图形如下： (2) (3)B；该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数 (4) 【分析】（1）根据题意分别求得，，的个数，即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程； （4）用总人数300乘以抽取的学生中80分及以上的比例即可． 【详解】（1）解：根据统计图可得的数据有个，的数据为个， 由信息，可得A课程成绩在这一组的数据有个， ∴A课程成绩在的人数是， 补全频数直方图略； （2）解：∵课程总人数为， 中位数为第、个数据的平均数，而第、个数据均在这一组， 中位数在这一组， 这一组的是： ， ∴课程的中位数为 ，即； （3）解：∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B， （4）解：抽取的名学生中，课程成绩80分及以上的人数为（人）． ∴(人)， 答：估计课程80分及以上的学生人数为人． 题型12.求众数 1．某班举办“近视防控”主题知识问答活动（共5道题，答对一题得2分，答错或不答不得分）．将全班48名学生的成绩进行统计，制作成如图所示的扇形统计图（不完整）．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（     ） A．全班48名学生成绩为6分的有16人 B．“4分”所在扇形的圆心角的度数为 C．全班48名学生成绩的众数一定是6分 D．全班48名学生成绩的中位数可能是4分 【答案】D 【详解】解：A、全班48名学生成绩为6分的有（人），故A正确； B、“4分”所在扇形的圆心角的度数为，故B正确； C、∵扇形统计图中6分的圆心角最大， ∴全班48名学生成绩中6分的人数最多， ∴全班48名学生成绩的众数一定是6分，故C正确； D、全班48名学生成绩为8分的有（人），4分的有（人）， ∴8分的人数和6分的人数和为（人） ∴从大到小排列后，中间的两个数为第24名和第25名，分别为6分和6分， ∴全班48名学生成绩的中位数是（分），故D错误． 2．一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数 得分 77 80 81 82 80 其中_____，_____ 【答案】 80 80 【分析】根据平均数的定义计算出的值，再根据众数的定义计算出的值即可． 【详解】解：根据题意得：平均数为 整理得： 解得： 则这组数据为77，80，80，81，82， 这组数据中出现次数最多的数为， 因此众数． 3．2026年4月24日是第十一个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】请根据上述信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． (3)如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 【答案】(1)图见解析，；； (2)七年级学生的成绩好，理由见解析 (3)七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人 【分析】（1）根据题干中所给的数据求出八年级的中位数、七年级的众数，用八年级竞赛成绩在D组的学生的占比乘以求出圆心角的度数即可； （2）根据平均数和中位数可判断七年级学生的成绩好； （3）求出七年级竞赛成绩不低于分的学生百分比，再乘以相应的人数即可． 【详解】（1）解：七年级D组人数为（人）； 补全图形如下： 将八年级的数据按从小到大的顺序排列，则八年级的中位数为第10、第11位的两个数据的平均数， 八年级组和组共有（人）， 第10、第11位的两个数据为79，85， ． 七年级测试成绩出现次数最多的是89分， ． 八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为； （2）解：七年级学生的成绩好． 理由：从平均数看，七年级样本数据的平均数大于八年级样本数据的平均数； 从中位数看，七年级样本数据的中位数大于八年级样本数据的中位数，说明七年级学生中至少有一半以上的成绩高于88.5，而八年级约有一半的学生成绩低于82； （3）解：（人）， 答：七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为人． 题型13.利用众数求未知数据的值 1．数据0，，6，1，的众数为，则这组数据的中位数是（   ） A．6 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了众数，中位数，先结合出现次数最多的数为众数得出，再把原数据从小到大排序得，，0，1，6，根据中位数的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：∵数据0，，6，1，的众数为， ∴， 则把原数据从小到大排序得，，0，1，6， ∴位于中间位置的数为0， ∴这组数据的中位数是0． 2．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定、、、、这组数据的众数，进而根据平均数的定义求出n的值，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：、、、、有唯一众数， 、、、、这组数中的众数为， 、、的平均数与、、、、的唯一众数相同， 、、的平均数为， ∴ ， 这个数这个数为， 从小到大排列依次是：、、、、、、、， 这个数的中位数是． 3．已知四个数据：10、x、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是1.5，求这组数据的中位数．（不能只有结论，要有适当的解题过程） 【答案】9或11，过程见解析 【分析】本题主要考查众数、平均数及中位数，熟练掌握众数、平均数及中位数是解题的关键． 根据题意分3种情况讨论，分别求出平均数判断是否符合题意，然后求出中位数即可． 【详解】解：∵这组数据的众数和平均数的差的绝对值是1.5， 当时，则众数是10，平均数是， ∴众数和平均数的差的绝对值是，不合题意； 当时，则众数是8，平均数是， ∴众数和平均数的差的绝对值是，符合题意， ∴此时中位数是； 当时，则众数是12，平均数是， ∴众数和平均数的差的绝对值是，符合题意， ∴此时中位数是； 综上所述，这组数据的中位数是9或11． 题型14.求离差平方和 1．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 2．已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 3．计算 (1)在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为y，腰长为x．求y关于x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)我校举办的“新时代好少年”演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，求小华此次演讲比赛得分的离差平方和． 【答案】(1)，自变量x的取值范围是 (2)2.5 【分析】（1）根据三角形的周长公式求出关于的函数表达式，再根据三角形三边关系以及边长大于0即可求出自变量的取值范围； （2）先求出小华此次演讲比赛得分的平均数，再运用离差平方和的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰的周长是20，底边的长为，腰长为， ∴， ∴， 由题意得，，即， 解得； ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：小华此次演讲比赛得分的平均数为（分）， 则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为． 题型15.离差平方和的应用 1．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 2．已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 3．现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【答案】{}，{，，，，} 【分析】根据组内离差平方和的性质求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排列，得，，，，，， 将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 计算结果表明，当按第1个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此把螺丝帽按直径大小分成两组为{}，{，，，，}． 题型16.求方差 1．已知一组数据：，，，，，则这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照方差计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：平均数为：， 方差． 2．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 3．不通过计算，比较图①②中两组数据的平均数及方差． 【答案】见解析 【分析】根据平均数的定义和方差的意义求解可得． 【详解】解：由图形知中数据的平均数接近于1，但大于1；图形中增加了5个数据，而这5个数据中4个数值小于1， 所以增加5个数据后拉低了总体的平均数， 故图中数据的平均数大于图中数据的平均数； 由图形知中数据比中数据分散， 所以图中数据的方差大于图中数据的方差． 题型17.利用方差求未知数据的值 1．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 2．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 3．某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为： 78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩分别为： 81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 a 乙 90 b 91 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：_____分，______分； （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______； （3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析． 【答案】（1）93，87；（2）15，90；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了方差，求平均数和中位数，熟练掌握方差，平均数和中位数的意义是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的意义求出a，b的值，即可求解； （2）根据方差公式，即可求解； （3）从平均数或方差两方面分析，即可求解． 【详解】（1）解：把甲班15名学生测试成绩从小到大排列为 78，83，85，87，89，90，92，93，97，94，95，98，99，100，100， 位于正中间的数为93分， ∴， 乙班15名学生测试成绩中87分的人数最多， ∴乙班的众数， 故答案为：93，87； （2）解：根据题意得：，； 故答案为：15，90； （3）解：从平均分看，甲班成绩的平均数大于乙班， 所以甲班整体平均成绩大于乙班； 从方差看，甲班成绩的方差大于乙班， 所以乙班成绩更稳定． 题型18.根据方差判断稳定性 1．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． ∵甲的平均分比乙高，方差比丁小，最稳定， ∴应选甲． 2．甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】由扇形图得出甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可解答． 【详解】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有5人，6个的有5人，7个的有5人，8个的有5人； 乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的有6人，6个的有4人，7个的有4人，8个的有6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定， ∴． 3．根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 (1)两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ (2)你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 【答案】(1)南京月平均降水量约为 ，福州月平均降水量约为 ，二者月平均降水量相近． (2)两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 【分析】本题考查平均数和方差，掌握求方差的方法是解题的关键 （1）用数据数和除以，据此求出平均数，比较即可； （2）先求出方差，再比较即可． 【详解】（1）南京2020年的月平均降水量： 福州2020年的月平均降水量： ∵， ∴从计算结果看，它们较为相近； （2）南京的方差为：， 福州的方差为：， ∵， ∴福州月降水量的波动比南京更大． 两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 题型19.运用方差做决策 1．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 94 94 93 方差 1.6 0.8 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：∵乙、丙的平均数为，高于甲的和丁的， ∴成绩较好的小组为乙和丙， 又∵乙的方差为，小于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴乙成绩好且状态稳定， 故应选择乙小组． 2．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 【答案】乙 【分析】先分别求出甲、乙两名运动员的方差，然后比较两人成绩的方差即可，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 甲成绩的方差为：， 乙成绩的方差为：， ∵， ∴乙的成绩更加稳定． 3．通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 【答案】2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁 【详解】解： ， ； ， ； ∵， ∴2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度大于南宁． 题型20.求四分位数 1．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ） A．下四分位数是80 B．平均数是79 C．中位数是80 D．10分钟内总心跳次数是790次 【答案】A 【分析】下四分位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列前半部分数据的中位数；算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数． 【详解】解：A．由附图知，将数据按照从小到大的顺序排列为， 下四分位数是前半部分的中位数，即，故本选项结论错误，符合题意； B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意； C．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80， ∴中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意； D．∵（次）， ∴10分钟内心跳总次数为790（次），故本选项结论正确，不符合题意； 故选：A． 2．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为________． 【答案】39 【详解】解：∵将个数据从小到大排序可得， ∴上四分位数为的中位数， ∴上四分位数为：． 3．某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】(1)乙 (2)83；72 (3)人 【分析】（1）方差越小，成绩越稳定，据此可得答案； （2）根据中位数和下四分位数的定义可得答案； （3）用1120乘以甲校样本中参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴甲校的方差大于乙校的方差， ∴乙的成绩更加稳定， ∴选乙校更合适； （2）解：由题意得，， （3）解：人， 答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人． 题型21.画箱线图 1．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 2．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 【答案】乙 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【详解】解：乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 3．拉萨地处青藏高原，日照时间很长．下表给出了2020年各月拉萨的日照时数（单位：）： 2020年各月拉萨的日照时数，单位：； 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日照时数 268.8 279.4 317.2 310.9 318.9 306.4 265.6 323.0 301.0 316.8 275.5 261.2 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)拉萨2020年有几个月的日照时数大于上四分位数？分别是哪几个月？ (3)图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，这是否意味着日照时数介于和之间的月份要多于介于和之间的月份？ 【答案】(1)图见详解 (2)拉萨2020年有3个月的日照时数大于上四分位数，分别是3月，5月，8月 (3)不是，理由见详解 【分析】（1）根据表格把数据按从小到大进行排列，然后根据中位数及四分位数的算法进行求解即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）由箱线图的特征可进行求解． 【详解】（1）解：根据表格可把日照时数按从小到大的顺序排列为， ∴最小值为261.2，最大值为323.0，中位数为， ∴上四分位数为， 下四分位数为， 箱线图如图所示： （2）答：拉萨2020年有3个月的日照时数大于上四分位数，分别是3月，5月，8月 （3）解：不是，箱线图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，意味着日照时数在和之间的数值分布范围比在和之间的数值分布范围大，并不代表月份的数量多，实际上这两个区间内的月份数量是相等的． 题型22.根据要求选择合适的统计量 1．某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【分析】分别根据各统计量的定义，对比加入新数据前后的变化，判断一定不变的统计量即可. 【详解】解：原数据已按从小到大排序，共10个数据，原中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∵第5个数据为，第6个数据为，∴原中位数为. 加入1个新数据后，总数据共11个，中位数为第6个数据： 若新队员身高，排序后该身高数据在新数据列的第6位或之前，此时新数据列的第6个数据必为172； 若新队员身高，插入原数据第7位及之后，前6个数据不变，第6个数据仍为； 因此新数据的中位数仍为，中位数一定不变； 对其他选项分析： A 平均数受每个数据影响，新队员身高不确定，平均数不一定不变，A错误； C 方差反映数据波动程度，数据改变后方差不一定发生变化，C错误； D 原众数为和，若新队员身高为，新众数仅为，众数改变，D错误． 2．某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的______（填“众数”或“中位数”或“平均数”） 【答案】中位数 【分析】本题主要考查了统计量的选择，中位数的意义等知识点，熟练掌握中位数的定义是解题的关键：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 由于取前名同学参加学校的决赛，共有名同学参加选拔赛，根据中位数的意义分析即可得出答案． 【详解】解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有个数， 只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了， 故答案为：中位数． 3．某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 【答案】(1)平均数为次，众数是18，中位数是18 (2)合格标准应定为18次较为合适，见解析 【分析】本题考查数据统计知识在生活中的应用，准确掌握和理解相关概念及其意义是关键，如此题中标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义． （1）根据平均数、众数、中位数的定义求解； （2）标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义． 【详解】（1）解：50名女生一分钟仰卧起坐的平均数为（次）． 这组数据中一分钟仰卧起坐次数为次的人数最多，则众数是18， ，，则中位数是． （2） 解：合格标准应定为18次较为合适，因为这组数据差异较大，用中位数描述数据较合适． 题型23.利用合适的统计量做决策 1．某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 【答案】D 【分析】先统计各款粽子的频数和数据总数，再逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，总共有11个统计结果，其中喜欢甲款粽子的有5人，喜欢乙款粽子的有3人，喜欢丙款粽子的有2人，喜欢丁款粽子的有1人． A、∵， ∴喜欢乙款粽子的人数不占总人数的一半，原说法错误，不符合题意； B、∵， ∴乙款粽子比丙款粽子更受欢迎，原说法错误，不符合题意； C、喜欢丁款粽子的人数占总人数的，原说法错误，不符合题意； D、∵， ∴甲款粽子最受欢迎，原说法正确，符合题意． 2．为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是__________． 平均数 中位数 众数 方差 8.9 9.1 9.1 0.11 【答案】中位数 【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案． 【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故答案为：中位数． 3．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)；或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09数据的分析 期末复习讲义 期末复习◆目标 核心计算：熟练掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的规范计算。 波动分析：掌握方差公式与意义，能通过方差判断数据稳定性，熟记数据变换后平均数、方差的变化规律。 统计辨析：能根据实际场景，正确选择平均数、中位数、众数描述数据，区分三者优缺点与适用范围。 核心题型◆归纳 题型1.求一组数据的平均数 题型2.已知平均数求未知数据的值 题型3.用已知平均数求相关数据的平均数 题型4.利用平均数做决策 题型5.求加权平均数 题型6.用加权平均数求未知数据的值 题型7.运用加权平均数做决策 题型8.出错情况下的平均数问题 题型9.求中位数 题型10.利用中位数求未知数据的值 题型11.运用中位数做决策 题型12.求众数 题型13.利用众数求未知数据的值 题型14.求离差平方和 题型15.离差平方和的应用 题型16.求方差 题型17.利用方差求未知数据的值 题型18.根据方差判断稳定性 题型19.运用方差做决策 题型20.求四分位数 题型21.画箱线图 题型22.根据要求选择合适的统计量 题型23.利用合适的统计量做决策 重点知识◆梳理 【知识点1、算术平均数、加权平均数】 1. 算术平均数: 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数. 记作．计算公式:． 2.加权平均数: 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数． 【知识点2、中位数和众数】 1.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数． 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【知识点3、平均数、中位数与众数的联系与区别】 1.联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要． 2.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响； 众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述． 【知识点4、极差、方差和标准差】 1.极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差. 极差＝最大值－最小值． 2.方差：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量．方差的计算公式是： 　　 3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号S表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致． 【知识点5极差、方差和标准差的联系与区别】 1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小． 方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差． 题型解析◆精准备考 题型1.求一组数据的平均数 1．某篮球队5名上场队员的身高（单位：cm）分别是182，184，187，188，192，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的平均身高（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变化无法确定 2．某中学数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表所示： 年龄／岁 12 13 14 15 人数 1 2 3 4 这10名同学年龄的平均数是_______岁． 3．【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 (1)小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 (2)根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ (3)集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 题型2.已知平均数求未知数据的值 1．已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．一组数据，，，，的平均数是，则的值为________． 3．某省统计数据显示，2021年下半年平均每月进出口总额为3703亿元．如图是根据该省2021年下半年每月的进出口总额情况绘制的．不计算下半年的进出口总额，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置上吗？ 题型3.用已知平均数求相关数据的平均数 1．若数据，，，，的平均数是2，则数据，，，，的平均数是（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 2．若样本的平均数为10，则对于样本，平均数为_______． 3．某个工程队正在修建道路．有4天每天修5米，有2天每天修7米，有3天每天修10米，有1天修11米．这10天中该工程队平均每天修建道路多少米？ 题型4.利用平均数做决策 1．六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 2．春日好时光，读书正当时，在第个世界读书日来临之际，月日，由省教育厅等八个部门联合主办的年河南省青少年学生读书行动启动仪式暨河南省中小学书香校园建设现场会在漯河市举行．河南某中学以此次活动为契机，举行相关朗诵比赛，更好的落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读、下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是________选手（填“甲、乙、丙”）． 3．检验某厂生产的手表质量时，检验人员随机抽取了10块手表，在下表中记下了每块手表的日走时误差（正数表示比标准时间快，负数表示比标准时间慢）．你认为用这10块手表走时误差的平均数来衡量这10块手表的精度合适吗？ 手表序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 日走时误差/s 0 1 0 2 4 2 题型5.求加权平均数 1．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 2．小万参加某单位的招聘考试，笔试、面试和操作技能三部分分别得了90分、95分、85分，若按照的比例来确定小万的成绩，则他的最终成绩为________分． 3．某同学这学期四次数学测验成绩依次为93分、82分、86分和90分，期中考试成绩为77分．数学老师说这学期的总评成绩的权重将按平时测验、期中考试和期末考试依次占、和计算．这位同学希望总评成绩能够达到或超过85分，那么期末考试这位同学至少要考多少分？（取整数） 题型6.用加权平均数求未知数据的值 1．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 2．校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 3．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 题型7.运用加权平均数做决策 1．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 2．某校学生会想从小聪和小明两人中推荐一人当校史馆讲解员，决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查，结果如下图．如果把口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表分别按的权重计算平均分，则__________更具优势． 3．学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 (1)如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ (2)如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 题型8.出错情况下的平均数问题 1．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 2．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是________． 3．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 题型9.求中位数 1．某校组织学生参加“奋进新征程、筑梦新时代”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如下表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（     ）． 成绩（分） 84 89 90 91 96 98 人数 1 2 3 4 3 2 A．91，91 B．91，90 C．90.5，90 D．90，91 2．已知一组数据1，4，6，8，6，则此组数据的中位数是_________． 3．为了科普春季卫生防疫知识，学校组织了一次知识竞赛，团委老师分别从七、八两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ①两个年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； ②七年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 70，72，73，73，75，77，78，78，79． 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级抽取的40名同学成绩的中位数是__________； (2)补全知识竞赛成绩频数分布直方图； (3)若成绩为90分以上（含90分）为优秀，学校七年级有600人，八年级有700人，估计两个年级成绩优秀的总人数． 题型10.利用中位数求未知数据的值 1．现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 2．一组数据的中位数是6，则的最小值为___________． 3．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是：， c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为________； (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为，则________（填“”“”或“”）； (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩理论知识成绩实操技能成绩．则这四位学生中加权成绩最高的是________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 题型11.运用中位数做决策 1．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 2．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 3．某年级共有300名学生，为了解该年级学生学习A，B两门课程的情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析，部分信息如下： ：课程成绩的频数直方图如图． (数据分成组，，，，，，) ：A课程成绩在这一组的数据如下： ，，，，，，，，，，，，， ：A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 请结合以上信息完成下列问题： (1)A课程成绩在的人数是_______，并补全频数直方图； (2)表中的值为________； (3)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是_______(填A或B)，理由是_______； (4)假设该年级都参加此次考试，请你估计课程80分及以上的学生人数． 题型12.求众数 1．某班举办“近视防控”主题知识问答活动（共5道题，答对一题得2分，答错或不答不得分）．将全班48名学生的成绩进行统计，制作成如图所示的扇形统计图（不完整）．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（     ） A．全班48名学生成绩为6分的有16人 B．“4分”所在扇形的圆心角的度数为 C．全班48名学生成绩的众数一定是6分 D．全班48名学生成绩的中位数可能是4分 2．一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数 得分 77 80 81 82 80 其中_____，_____ 3．2026年4月24日是第十一个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”．为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99．八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89．根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 84.8 78 【问题解决】请根据上述信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，上述表中__________，__________，八年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为__________度． (2)根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由． (3)如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 题型13.利用众数求未知数据的值 1．数据0，，6，1，的众数为，则这组数据的中位数是（   ） A．6 B． C．0 D．1 2．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 3．已知四个数据：10、x、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是1.5，求这组数据的中位数．（不能只有结论，要有适当的解题过程） 题型14.求离差平方和 1．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 2．已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 3．计算 (1)在等腰三角形中，，的周长是20，底边的长为y，腰长为x．求y关于x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)我校举办的“新时代好少年”演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，求小华此次演讲比赛得分的离差平方和． 题型15.离差平方和的应用 1．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 3．现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 题型16.求方差 1．已知一组数据：，，，，，则这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 2．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 3．不通过计算，比较图①②中两组数据的平均数及方差． 题型17.利用方差求未知数据的值 1．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 2．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 3．某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为： 78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩分别为： 81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 a 乙 90 b 91 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：_____分，______分； （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______； （3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析． 题型18.根据方差判断稳定性 1．甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（   ） 甲 乙 丙 丁 平均数 9.6 9.5 9.5 9.6 方差 0.25 0.25 0.27 0.27 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．甲、乙两个班级各20名男生测试引体向上的成绩（单位：个）如图所示．设甲、乙两个班级男生引体向上成绩的方差分别为和，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 3．根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 (1)两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ (2)你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 题型19.运用方差做决策 1．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差．若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（    ） 甲 乙 丙 丁 平均数 90 94 94 93 方差 1.6 0.8 1.5 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 3．通过19.2节的阅读材料我们了解到，位于西北的乌鲁木齐2022年7月1日当日温差大于位于西南的南宁，如果比较这两地月平均气温（单位：），那么结果会如何呢？下表是国家统计局在《中国统计年鉴2021》中给出的2020年两地每月的平均气温，请据此回答2020年乌鲁木齐月平均气温的变化幅度是否大于南宁． 2020年乌鲁木齐和南宁每月的平均气温 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 乌鲁木齐 2.9 16.4 19.9 21.7 23.8 23.3 16.1 8 1.3 南宁 15.4 16.5 19 19.7 27.4 28.5 29.2 27.6 26.6 22.1 20.2 13.4 题型20.求四分位数 1．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（    ） A．下四分位数是80 B．平均数是79 C．中位数是80 D．10分钟内总心跳次数是790次 2．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为________． 3．某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 题型21.画箱线图 1．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 2．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 3．拉萨地处青藏高原，日照时间很长．下表给出了2020年各月拉萨的日照时数（单位：）： 2020年各月拉萨的日照时数，单位：； 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 日照时数 268.8 279.4 317.2 310.9 318.9 306.4 265.6 323.0 301.0 316.8 275.5 261.2 (1)请将最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值标记在如图所示的箱线图中． (2)拉萨2020年有几个月的日照时数大于上四分位数？分别是哪几个月？ (3)图中箱体的下半部分比较大，上半部分比较小，这是否意味着日照时数介于和之间的月份要多于介于和之间的月份？ 题型22.根据要求选择合适的统计量 1．某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 2．某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的______（填“众数”或“中位数”或“平均数”） 3．某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 题型23.利用合适的统计量做决策 1．某餐厅推出四种新款粽子（分别以甲、乙、丙、丁表示），请顾客试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下：丙丁丙甲甲乙甲乙甲乙甲．通过以上数据，你能获得的信息是（    ） A．喜欢乙款粽子的人数占总人数的一半 B．丙款粽子比乙款粽子更受欢迎 C．喜欢丁款粽子的人数占总人数的五分之一 D．甲款粽子最受欢迎 2．为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是__________． 平均数 中位数 众数 方差 8.9 9.1 9.1 0.11 3．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $