专题08一次函数与方程（组）、不等式及实际问题的应用期末复习讲义（14大核心题型精讲+进阶练习14道题）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题08一次函数与方程（组）、不等式及实际问题的应用 期末复习讲义 期末复习◆目标 数形关联：建立系统化函数思维，从代数、几何两大角度，深度理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在本质联系；熟练掌握图象解题法，做到数形双向转化。 基础题型：熟练求解单函数对应的方程解、单/双函数不等式解集；能够精准读取函数图象关键信息，包括坐标轴交点、两直线交点、函数增减趋势， 实际应用：吃透计费方案、动态行程、商品销售、方案决策四大高频应用题模型；熟记标准化建模解题流程，解题时主动结合实际情境限定自变量取值范围， 核心题型◆归纳 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型3.利用图象法解一元一次方程 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型7.图象法解二元一次方程组 题型8.求直线围成的图形面积 题型9.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.行程问题 题型12.梯度计价问题 题型13.其他实际问题 题型14.一次函数与几何综合题型 题型15.进阶练习14道题 重点知识◆梳理 【知识点一、一次函数与一元一次方程】 设一次函数解析式：y=kx+b (k≠0) 1.从代数角度：求解方程kx+b=0，本质求取函数值y=0时对应的自变量x的值； 拓展：方程kx+b=m，对应求解函数值为定值m时x的取值。 2. 从几何角度：方程kx+b=0的解，等于直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.方程的解为x=- ； ★方程kx+b=m的解，等价于直线y=kx+b与水平直线y=m交点的横坐标。 【知识点二、一次函数与二元一次方程的关系】 1. 一次函数与二元一次方程的关联 (1)任何一个二元一次方程，都可以通过变形转化为y=kx+b(k≠0)的一次函数形式，因此每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； (2)一次函数y=kx+b的图象（直线）上，每一个点的坐标（x,y）,都是对应二元一次方程的一组解，反之，以二元一次方程的一组解（x,y）为坐标的点，一定在该二元一次方程对应的直线上。 【知识点三、一次函数与二元一次方程组】 1.平面直角坐标系中，两条直线两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点坐标(x,y)，即为方程组的唯一解，二者可以等价互换。 2.直线位置与方程组解对应关系 相交: ，方程组有且只有1组解； 平行：=,,方程组无实数解； 重合：=,=,方程组存在无数组解。 【知识点四、一次函数与一元一次不等式的关系】 1. 两者的关系： （1） 从代数角度：不等式kx+b>0(或不等式kx+b<0)，本质上是求一次函数y=kx+b中，函数值y大于0（或小于0）时，自变量x的取值范围. （2） 从几何角度：不等式kx+b>0的解集，是一次函数y=kx+b的图象在x轴上方，（即y>0）的所有点对应的横坐标x的取值范围; 不等式kx+b<0的解集，是一次函数y=kx+b的图象在x轴下方（即y<0）的所有点对应的横坐标x的取值范围. 【知识点五、二元一次方程组的图象解法】 1.二元一次方程组的图象解法的含义： 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法。 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式： =k1x+b1 ,和=k2x+b2; (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 【知识点六、实际问题与一次函数解题步骤】 审.读懂题意，区分自变量、因变量，明确已知量、未知量； 列.根据题目等量关系，列出一次函数解析式 y=kx+b(k≠)； 限.结合现实意义，写出自变量取值范围（必考易错点）； 解.联立解析式求交点、解方程、解不等式，求出临界值； 答.结合临界值与自变量范围，分类讨论，写出完整答案。 题型解析◆精准备考 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 1．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 2．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 3．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 【答案】(1) (2)0，1 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不能为0求解； （2）令求出的值，令求出的值； （3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可； （4）的解为函数与交点的横坐标． 【详解】（1）解：， ． （2）解：令，则， ， ， ， ； 令，则， ． （3）解：如图所示． （4）解：函数的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为，， ∴方程的解为或． 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 2．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 【答案】/ 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知， ， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 3．如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可． （2）根据解析式可求得的坐标为，点的坐标为，由可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点P是两直线的交点， ∴将点代入， 得， 解得， ∴的坐标为， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：． 的解析式为：． （2）解：对于，当时，， 对于，当时，， 的坐标为，点的坐标为， ∵点， ∴，， ∵， ． 题型3.利用图象法解一元一次方程 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点为； ∴方程，即方程的解为；故选项A正确； 不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确； 方程组的解集为，故选项C错误； 把代入，得，解得， ∴， ∴当，解得， ∴不等式组的解集是；故选项D正确； 故选C． 2．已知关于的方程有两个实根．则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象．设，则，可得当时，；当时，；当时，；然后画出函数图象，即可求解． 【详解】解：设，， 当时，； 当时，； 当时，； 画出函数图象，如下， ∵关于的方程有两个实根， ∴函数的图象与直线有两个交点， 观察图象得：当时，有两个交点， 即的取值范围是． 故答案为： 3．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析． 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】先观察直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方，得，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解即可判断选项，然后根据直线与轴交点的坐标可判断；最后根据当时，直线在直线的下方，可判断． 【详解】解：、因为直线与轴交点的位置在直线与轴交点的上方， 所以，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程组的解为，该选项正确，不符合题意； 、因为直线与轴交点的坐标是， 所以方程的解为，该选项正确，不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项错误，符合题意． 2．一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 【答案】 ，2 【分析】根据不等式与一次函数的关系求解即可． 【详解】 解：由图象可知， 当时，函数图象在  x  轴上方或  x 轴上，即 ， 所以不等式的解集为． 因为 x是正整数， 所以x的正整数值为  1，2 ． 3．不等式的解集与函数的图象有什么关系？ 【答案】不等式的解集是函数的图象位于轴及轴下方部分图象所有点的横坐标的集合 【分析】令，则，进而可知不等式的解集是函数的图象位于轴及轴下方部分图象所有点的横坐标的集合，据此即可求解． 【详解】解：令，则， ∴不等式的解集是函数的图象位于轴及轴下方部分图象所有点的横坐标的集合． 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将点代入直线，求解即可确定点坐标，结合图像确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得，即交点， 结合图像可知，关于x的不等式的解集为， 在数轴上表示为． 2．已知一次函数的图像与一次函数的图像如图所示： (1)根据图像可知，直线经过点（0， ）和（ ，0）； (2)由图像可知，当时，的取值范围是 ； (3)由图像可知，直线与相交于点，则 ，不等式的解集是 ； (4)上面解决问题的方法体现了 思想． 【答案】(1)2， (2) (3)， (4)数形结合 【分析】（1）分别令和代入 求解即可； （2）观察图像，确定直线在 x上方部分对应的 x 的取值范围； （3）将点 M 的纵坐标代入 解析式求 a，根据图像上下位置关系确定不等式解集．； （4）根据利用函数图像解决方程和不等式问题的特征确定数学思想即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，， 所以图像经过点 ； 当 时，，解得 ， 所以图像经过点 ． （2）解：由图像可知，直线与 x 轴的交点坐标为． 当时，函数图像位于 x 轴上方． 观察图像可知，此时 x 的取值范围是 ． （3）解：∵直线与相交于点， ∴，解得 ． ∴点 M 的坐标为 ∵不等式，即． 由图像可知，当时，直线的图像在直线 的图像下方． ∴不等式的解集是 ． （4）解：本题通过观察函数图象的位置关系来确定方程的解和不等式的解集，将代数问题与几何图形相结合，体现了数形结合思想． 3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； (2)根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (3)结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 【答案】(1)2 (2) (3)①图像关于直线对称（答案不唯一）；② <；③；④ 【分析】本题考查一次函数与绝对值函数的综合，熟练掌握一次函数的性质，数形结合的运用是解题的关键． （1）将代入函数解析式，计算得到对应y值即为b； （2）根据表格中格点的坐标，在坐标系中描点，再用平滑线段顺次连接各点即可； （3）①观察画出的函数图象，从对称性、最值、增减性等角度选取一条描述即可； ②根据的条件，结合函数在区间的增减性判断即可； ③将方程解的个数问题转化为函数与的交点个数问题，求直线过绝对值函数顶点时的临界情况的m值，再确定范围； ④画出函数图象，利用，，可得点位于直线的左侧，点位于直线的右侧，分别代入函数解析式建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 则； （2）略； （3）解：①由（2）中图象可得函数关于直线对称； ②由图象可知，当时，随的增大而增大， ； ③方程有两个解， 函数与有两个交点， 当直线经过点时，， 解得：， 因此，方程有两个解时，的取值范围为； ④当时，函数， 当时，函数， 函数的图象如下： 由图可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，且， 将点代入得：， 将点代入得：， ， 解得：． 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； ，，故B错误； 方程的解是，故C正确； 当时，，故D错误. 2．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点M，N的横坐标，结合“点M，N位于y轴两侧”可知点M，N的横坐标异号，即，然后建立关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：依据题意，得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）由（1）可知，一次函数的解析式为， 联立与， 可得，解得， 联立与， 可得，解得， ∵点M，N位于y轴两侧，即两点横坐标异号， ∴， ∴，整理可得， ∴或， 解不等式组，可得， 解不等式组，该不等式无解， ∵， ∴或． 题型7.图象法解二元一次方程组 1．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 2．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 3．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在同一个平面直角坐标系中，由描点法作出直线和直线，找出两条直线的交点坐标就得到二元一次方程组的解． 【详解】解：对于，当时，，则；当时，，则； 对于，当时，，则；当时，，则； 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： 两条直线交点，则原方程组的解为． 题型8.求直线围成的图形面积 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 2．已知k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：对直线，当时，有， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为， 同理可得出：直线与x轴的交点坐标为， ∴两直线与x轴交点间的距离， 联立：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴ ． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； (4)点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． (5)一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 【答案】(1)， (2)解：函数图象如图所示： (3)； (4)或 (5) 【分析】（1）分别令代入直线中，求出对应的值，即可得到结果； （2）根据（1）中两点的坐标画直线即可； （3）分别求出时，对应的函数值；令解不等式即可； （4）设，根据，即可解答； （5）根据直线平移后值不变，平移后解析式为，将点代入求解出即可． 【详解】（1）解：将代入直线中，则， ∴， 令中，解得， ∴； （2）略 （3）解：∵由（2）中图象知，当时，在中，随的增大而增大， 将代入直线中，则， 将代入直线中，则， ∴当时，的取值范围是； 令， 解得， 即当时，自变量的取值范围是； （4）解：设， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 综上，点的坐标为或； （5）解：平移后解析式为， 将点代入得， 解得， 故平移后解析式为． 题型9.分配方案问题 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 2．某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元． 【答案】330 【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 依题意，得：， 解得： ∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元． 设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式： m≥(20-m)，解得：m≥， ∴≤m≤20， 设总费用为W，根据题意得： W=20m+15(20-m)=5m+300， ∵k=5>0， ∴W随m的减小而减小， ∴当m=6时，W有最小值， ∴W=5×6+300=330元 则在购买方案中最少费用是330元． 故答案为：330． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数． 3．为响应“绿色校园”建设，学校开展“旧物改造创意大赛”活动，需采购两种环保改造材料（A为再生纸板套装，B为可降解黏合剂套装），已知采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元． (1)求1套A材料和1套B材料的单价． (2)创意社团计划采购这两种材料共50套，用于12个参赛小组的创作，且B材料的采购数量不低于A材料数量的2倍，设采购A材料套，总费用为元，求总费用最低的采购方案，并求出最低总费用． 【答案】(1)30元，50元 (2)A材料16套，B材料34套时，费用最低为2180元 【分析】（1）设1套A材料的单价为元，1套B材料的单价为元．采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）根据总费用列出一次函数解析式，求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设1套A材料的单价为元，1套B材料的单价为元． 根据题意，得 解得 答：1套A材料的单价为30元．1套B材料的单价为50元． （2）解：∵采购A材料套， ∴采购B材料为套． ． B材料数量不低于A材料数量的2倍，即． 解得 ，故随的增大而减小， ∴要使最小，需取的最大值，即， 当时，， 最低总费用为：（元）． 答：A材料16套，B材料34套时，费用最低为2180元． 题型10.最大利润问题 1．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【答案】B 【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润． 【详解】解：设与的一次函数关系式为， 由图可得， 解得， 所以与的一次函数关系式为， 把代入可得， 所以销售利润为（元）． 故选B． 【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 2．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 3．某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售．已知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元，购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元．甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个． (1)分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价； (2)商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半．如何进货才能使这批文具全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每个甲笔袋进价为20元，每个乙笔袋的进价为52元 (2)购进甲笔袋34个，购进乙笔袋66个，最大利润为元 【分析】（1）设每个甲笔袋进价为元，每个乙笔袋的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设购进甲笔袋个，则购进乙笔袋个，根据列出一元一次不等式求出，设利润为元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个甲笔袋进价为元，每个乙笔袋的进价为元， 由题意可得， 解得：， ∴每个甲笔袋进价为20元，每个乙笔袋的进价为52元； （2）解：设购进甲笔袋个，则购进乙笔袋个， ∵决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半， ∴， 解得：， ∵文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售， ∴， 设利润为元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，为整数， ∴当时，最大，为（元），此时， 故购进甲笔袋34个，购进乙笔袋66个，最大利润为元． 题型11.行程问题 1．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， 所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意； 当时，， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意． 2．已知A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程与甲行驶时间之间的函数图象如图所示． （1）乙骑摩托车的速度是______； （2）当乙再次追上甲时，甲还需要骑行______小时可以到达B地． 【答案】 60 / 【分析】（1）先算出甲的速度，甲行驶用时；乙晚出发，行驶用时，则可求出乙的速度； （2）乙在甲行驶后继续前进，列出路程表达式、；联立求出再次相遇的时间，再根据甲全程需，进而即可求解． 【详解】解：（1）由图可得，甲的速度：， 甲行驶用时：， ∵乙比甲晚出发， ∴乙行驶用时：， 乙的速度：； （2）∵乙在甲行驶时到达处，停留半小时，甲行驶时乙重新出发，且甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的路程：，乙重新出发后路程：， ∴当乙再次追上甲时， 解得， ∵甲全程需， ∴剩余时间． 3．在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间． 【答案】(1)；12 (2) (3)，， 【分析】（1）先求出当甲跑步时间时甲的路程，用路程除以甲的速度再加上两次休息的时间可求出t的值；由题意可知此时乙跑步时间为，即可求出的值； （2）设，将，代入计算即可； （3）分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：12分钟小时，乙比甲晚出发小时， 小时， 当甲跑步时间时：甲的路程：， 乙跑步时间为，此时两者路程相等， 故． （2）解：由（1）知， 设， 代入得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：第一次相遇：，乙跑步时间； 第二次相遇：乙维修停在处， ∵， ∴甲跑到时，， 此时乙总跑步时间为； 第三次相遇：时，则， 解得， 此时乙总跑步时间为； 综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为，，． 题型12.梯度计价问题 1．为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像的识别，根据题意列出函数式子是解题的关键． 列出函数解析式再作图即可判断． 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，， ∴与的函数关系为：， 作出图像可得：， 故选：C． 2．某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 3．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 题型13.其他实际问题 1．某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知与为一次函数关系，且时，只需将代入各选项验证，即可得到正确的函数关系式． 【详解】解：选项A：，不符合条件； 选项B：，不符合条件； 选项C：，不符合条件； 选项D：，符合条件． 2．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．表格是一组实验数据，根据表中数据，y与x的函数关系式为______． 水的质量x/g 9 18 36 45 氢气的质量y/g 1 2 4 5 【答案】 【分析】观察表格数据，每组的比值为定值，则与成正比例关系，从而求出y与x的函数关系式． 【详解】解：观察表格数据，计算每组的比值：、、、、， 则与成正比例关系，即， 整理得：函数关系式为：． 3．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 题型14.一次函数与几何综合题型 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线沿y轴向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的值可以是（  ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先求出平移后的直线解析式为，分别计算直线经过线段端点、时的值，从而确定的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度后，所得直线的解析式为， 当直线经过点时，，解得， 当直线经过点时，，解得， ∴若平移后的直线与线段有交点，则的取值范围是， ∵，， ∴只有选项C符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在延长线上取点，使得点与点关于直线对称，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点C的坐标． 【详解】解：根据题意得，直线与直线关于直线对称， 在延长线上取点，使得点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴点C的坐标为． 2．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 3．在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标取相反数，得到点，则称是的半距点．以下说法正确的是（    ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则，； ③若把的半距点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到坐标，则的坐标是； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则所有符合条件的点围成的图形的面积是36． A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． ①根据新定义求解； ②根据新定义和象限点的特征列不等式求解； ③根据新定义列方程求解； ④根据新定义和菱形的面积公式求解． 【详解】解：①点的半距点的坐标是，故①正确； ②点的半距点为， ∴，， ∴，故②错误； ③设，则，， 解得：， ∴，故③正确； ④设，则， ∴或或或， ∴四条直线围成一个菱形，且对角线长为12和6， ∴面积为36，故④正确． 故选：B． 4．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． 【详解】∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 5．如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数图像得，当时，得到，继而求出，得到当时，，则当时，，即可解答． 【详解】解：根据函数图像得，当时，即， 将代入，得 ， 解得， ∴， 当时， ， ∴当时，． 二、填空题 6．已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【分析】两个一次函数图象交点的横纵坐标就是对应二元一次方程组的解，根据交点横坐标求出纵坐标即可得到方程组的解． 【详解】解：已知交点横坐标为， 将代入，得， 两条直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为． 7．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 _____（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据两直线的交点坐标判断两函数值是否相等；根据直线与坐标轴的交点坐标，判断三角形的形状；根据直线与x轴的交点坐标，判断交点是否为定点；根据直线的上、下位置关系，判断不等式的解集是否正确． 【详解】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴当x＝﹣2时，两函数值相等，故①正确； ∵在直线y＝﹣x+m中，当x＝0时，y＝m，当y＝0时，x＝m， ∴直线与坐标轴的交点离原点的距离都等于m， 即直线y＝﹣x+m与坐标轴的围成等腰直角三角形，故②正确； ∵直线y＝nx+4n（n≠0）中，当y＝0时，x＝﹣4， ∴直线与x轴交于定点（﹣4，0），故③正确； ∵由图象可得，当x＞﹣2时，直线y＝nx+4n在直线y＝﹣x+m的上方， ∴x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＜nx+4n的解集，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了一次函数的性，两直线的交点问题，直线与坐标轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 8．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 【答案】 【分析】根据互助一次函数的定义得到关于，的方程组，解方程组得到，的值，确定两个一次函数的解析式，求出两个函数与轴的交点坐标，结合两函数交点的横坐标，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解：根据互助一次函数的定义，可得， 整理方程组得， 解得， ∴两个函数解析式为，， 联立，得， 解得， 当时，与轴交点为，与轴交点为， ∴两个交点在轴上的距离为， ∵两函数交点的横坐标为，即三角形的高为， ∴三角形面积． 9．怎样选取上网收费方式？ 如表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 方式A中，超时费只有在上网时间超过25小时后才会产生．所以要分情况： 当时，y1＝30； 当x＞25时，y1＝30＋0.05×60（x－25）＝3x－45. 得到函数： 方式B的上网费y2关于上网时间 x的函数解析式为： 方式C的上网费y3关于上网时间x的函数解析式为：当x0时，y3＝120 在同一坐标系中画出它们的图像： ； 当上网时__________时，选择方式A最省钱； 当上网时间__________时，选择方式B最省钱； 当上网时间_________时，选择方式C最省钱． 【答案】 【解析】略 10．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，所在直线与轴交于点，若，点在第一象限，点的坐标为_______．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作，由题意易得，，即，然后可得，则有，进而可得点的坐标，求出直线的解析式为，最后问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点的坐标为，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， ∴． 三、解答题 11．端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． (1)求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 【答案】(1)甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元 (2)应该购进甜口粽子24袋 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设出咸口粽子的进价，根据两种粽子的购进袋数相等的关系列分式方程求解即可； （2）本题考查一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用，先根据资金和数量限制列出不等式组，得到甜口粽子进货量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润最大时的进货量． 【详解】（1）解：设咸口粽子每袋进价为元，则甜口粽子每袋进价为元， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解， （元）， 答：甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元． （2）解：设购进甜口粽子袋，则购进咸口粽子袋， 由题意得， 解得 ， 设售完60袋粽子的总利润为元， 由题意得 ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：要使总利润最大，应该购进甜口粽子24袋． 12．温度通常有两种表示方法：华氏温度（单位：）与摄氏温度（单位：），已知华氏温度与摄氏温度之间是一次函数关系，下表列出了它们的部分对应关系． 摄氏温度 0 25 90 … 华氏温度 32 77 194 … (1)根据表格中的数据，求关于的函数解析式； (2)有一种温度计上有两种刻度，即测量某一温度时左边是摄氏温度，右边是华氏温度，把这个温度计拿到中国最北城市“漠河”，发现两个温度显示刻度一样，求当时漠河的气温是多少摄氏度； (3)某种疫苗的活性只能在某温度区间内维持，在该温度区间内，摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差不超过16，直接写出该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）根据（1）的结论列方程解答即可． （3）根据摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差不超过16列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：已知华氏温度与摄氏温度之间是一次函数关系，设解析式为， 将表格中、代入解析式得：， 解得， 所以，函数解析式为：； （2）解：根据题意得：， 解得． 答：当天漠河的气温为． （3）解：根据题意得：， 把代入得：， 整理得：，即， 解得：， 所以，最大温差为： 答：该温度区间的最大温差是． 13．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 14．已知刘伟家、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离刘伟家，体育场离刘伟家，刘伟从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了，之后又匀速步行到文具店，在文具店停留了后，再用匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中刘伟离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 刘伟离开家的时间 3 15 30 50 刘伟离开家的距离 2.5 ②填空：刘伟从文具店匀速散步回家的速度为________； ③当时，请直接写出刘伟离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)刘伟离开家30分钟时，刘伟的哥哥也从体育场出发，以速度匀速步行直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个x的值，刘伟离家的距离为，刘伟的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.5，2.5，1.5；②0.05；③ (2) 【分析】（1）①②结合函数图象分析即可；②根据函数图象结合待定系数法进行分段求解函数关系式； （2）分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①时的速度为：， 故当时，刘伟离开家的距离为：； 由图象可得，当时，刘伟离开家的距离为：； 当时，刘伟离开家的距离为：； ②由图象可得，刘伟从文具店匀速散步回家的速度为：； ③由①可得，当时，； 由图象可得，当时，； 当时，设，代入，， 则 解得 ∴ ∴ （2）解：由题意得，， 当，，解得， ∴ 当时，，解得，不符合题意，舍去； 当，，解得，符合题意； 当时，设，代入， 则 解得 ∴， ∴， ∴中任意实数均符合题意， 综上：x的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08一次函数与方程（组）、不等式及实际问题的应用 期末复习讲义 期末复习◆目标 数形关联：建立系统化函数思维，从代数、几何两大角度，深度理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在本质联系；熟练掌握图象解题法，做到数形双向转化。 基础题型：熟练求解单函数对应的方程解、单/双函数不等式解集；能够精准读取函数图象关键信息，包括坐标轴交点、两直线交点、函数增减趋势， 实际应用：吃透计费方案、动态行程、商品销售、方案决策四大高频应用题模型；熟记标准化建模解题流程，解题时主动结合实际情境限定自变量取值范围， 核心题型◆归纳 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型3.利用图象法解一元一次方程 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型7.图象法解二元一次方程组 题型8.求直线围成的图形面积 题型9.分配方案问题 题型10.最大利润问题 题型11.行程问题 题型12.梯度计价问题 题型13.其他实际问题 题型14.一次函数与几何综合题型 题型15.进阶练习14道题 重点知识◆梳理 【知识点一、一次函数与一元一次方程】 设一次函数解析式：y=kx+b (k≠0) 1.从代数角度：求解方程kx+b=0，本质求取函数值y=0时对应的自变量x的值； 拓展：方程kx+b=m，对应求解函数值为定值m时x的取值。 2.从几何角度：方程kx+b=0的解，等于直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.方程的解为x=- ；方程kx+b=m的解，等价于直线y=kx+b与水平直线y=m交点的横坐标。 【知识点二、一次函数与二元一次方程的关系】 1. 一次函数与二元一次方程的关联 (1)任何一个二元一次方程，都可以通过变形转化为y=kx+b(k≠0)的一次函数形式，因此每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； (2)一次函数y=kx+b的图象（直线）上，每一个点的坐标（x,y）,都是对应二元一次方程的一组解，反之，以二元一次方程的一组解（x,y）为坐标的点，一定在该二元一次方程对应的直线上。 【知识点三、一次函数与二元一次方程组】 1.平面直角坐标系中，两条直线两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点坐标(x,y)，即为方程组的唯一解，二者可以等价互换。 2.直线位置与方程组解对应关系 相交: ，方程组有且只有1组解； 平行：=,,方程组无实数解； 重合：=,=,方程组存在无数组解。 【知识点四、一次函数与一元一次不等式的关系】 1. 两者的关系： （1） 从代数角度：不等式kx+b>0(或不等式kx+b<0)，本质上是求一次函数y=kx+b中，函数值y大于0（或小于0）时，自变量x的取值范围. （2） 从几何角度：不等式kx+b>0的解集，是一次函数y=kx+b的图象在x轴上方，（即y>0）的所有点对应的横坐标x的取值范围; 不等式kx+b<0的解集，是一次函数y=kx+b的图象在x轴下方（即y<0）的所有点对应的横坐标x的取值范围. 【知识点五、二元一次方程组的图象解法】 1.二元一次方程组的图象解法的含义： 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法。 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式： =k1x+b1 ,和=k2x+b2; (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 【知识点六、实际问题与一次函数解题步骤】 审.读懂题意，区分自变量、因变量，明确已知量、未知量； 列.根据题目等量关系，列出一次函数解析式 y=kx+b(k≠)； 限.结合现实意义，写出自变量取值范围（必考易错点）； 解.联立解析式求交点、解方程、解不等式，求出临界值； 答.结合临界值与自变量范围，分类讨论，写出完整答案。 题型解析◆精准备考 题型1.已知直线与坐标轴交点，求方程的解 1．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 2．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________． 3．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 题型2.由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 2．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______． 3．如图，已知过点的直线与直线相交于点，且与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； 题型3.利用图象法解一元一次方程 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．方程组的解是 D．不等式组的解集是 2．已知关于的方程有两个实根．则的取值范围是______． 3．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 题型4.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．由图象可知 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 2．一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 3．不等式的解集与函数的图象有什么关系？ 题型5.根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图像与一次函数的图像如图所示： (1)根据图像可知，直线经过点（0， ）和（ ，0）； (2)由图像可知，当时，的取值范围是 ； (3)由图像可知，直线与相交于点，则 ，不等式的解集是 ； (4)上面解决问题的方法体现了 思想． 3．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程. (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 2 4 b 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，_____； (2)根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． (3)结合函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质 ． ②若点,在函数图象上，且，则与的大小关系为__． ③若关于x的方程有两个解，请直接写出满足条件的m的取值范围 ． ④若点，都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围 ． 题型6.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 2．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（）的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)已知一次函数的图像与正比例函数（）的图像交于点M，与一次函数的图像交于点N．当点M，N位于y轴两侧时，直接写出m的取值范围． 题型7.图象法解二元一次方程组 1．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 2．一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 3．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 题型8.求直线围成的图形面积 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则的值为______． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； (4)点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． (5)一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 题型9.分配方案问题 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 2．某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元． 3．为响应“绿色校园”建设，学校开展“旧物改造创意大赛”活动，需采购两种环保改造材料（A为再生纸板套装，B为可降解黏合剂套装），已知采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元． (1)求1套A材料和1套B材料的单价． (2)创意社团计划采购这两种材料共50套，用于12个参赛小组的创作，且B材料的采购数量不低于A材料数量的2倍，设采购A材料套，总费用为元，求总费用最低的采购方案，并求出最低总费用． 题型10.最大利润问题 1．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 2．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 3．某文具店计划购进甲、乙两种笔袋共100个进行销售．已知购进2个甲笔袋和1个乙笔袋需花费92元，购进3个甲笔袋和2个乙笔袋需花费164元．甲笔袋售价为40元/个，乙笔袋售价为87元/个． (1)分别求出每个甲笔袋和乙笔袋的进价； (2)商店根据销售经验，决定购进甲笔袋的数量不少于乙笔袋数量的一半．如何进货才能使这批文具全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 题型11.行程问题 1．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 2．已知A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程与甲行驶时间之间的函数图象如图所示． （1）乙骑摩托车的速度是______； （2）当乙再次追上甲时，甲还需要骑行______小时可以到达B地． 3．在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间． 题型12.梯度计价问题 1．为鼓励居民节约用水，我市出台的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水立方米，水费为元，则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 3．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 题型13.其他实际问题 1．某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 2．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．表格是一组实验数据，根据表中数据，y与x的函数关系式为______． 水的质量x/g 9 18 36 45 氢气的质量y/g 1 2 4 5 3．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 题型14.一次函数与几何综合题型 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线沿y轴向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的值可以是（  ） A．1 B． C．3 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一面朝右的平面镜贴在y轴上，一束光线从点处射出，射到平面镜上的点处，被平面镜反射后射到x轴上的点C处，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标取相反数，得到点，则称是的半距点．以下说法正确的是（    ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则，； ③若把的半距点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到坐标，则的坐标是； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则所有符合条件的点围成的图形的面积是36． A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④ 4．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 7．如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，现有以下结论： ①当x＝﹣2时，两函数值相等； ②直线y＝﹣x+m与坐标轴围成的是等腰直角三角形； ③直线y＝nx+4n（n≠0）与x轴的交点为定点； ④x＞﹣2是关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集； 其中正确的是 _____（填写序号）． 8．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 9．怎样选取上网收费方式？ 如表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 方式A中，超时费只有在上网时间超过25小时后才会产生．所以要分情况： 当时，y1＝30； 当x＞25时，y1＝30＋0.05×60（x－25）＝3x－45. 得到函数： 方式B的上网费y2关于上网时间 x的函数解析式为： 方式C的上网费y3关于上网时间x的函数解析式为：当x0时，y3＝120 在同一坐标系中画出它们的图像： ； 当上网时__________时，选择方式A最省钱； 当上网时间__________时，选择方式B最省钱； 当上网时间_________时，选择方式C最省钱． 10．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，所在直线与轴交于点，若，点在第一象限，点的坐标为_______．则点的坐标为________． 三、解答题 11．端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． (1)求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 12．温度通常有两种表示方法：华氏温度（单位：）与摄氏温度（单位：），已知华氏温度与摄氏温度之间是一次函数关系，下表列出了它们的部分对应关系． 摄氏温度 0 25 90 … 华氏温度 32 77 194 … (1)根据表格中的数据，求关于的函数解析式； (2)有一种温度计上有两种刻度，即测量某一温度时左边是摄氏温度，右边是华氏温度，把这个温度计拿到中国最北城市“漠河”，发现两个温度显示刻度一样，求当时漠河的气温是多少摄氏度； (3)某种疫苗的活性只能在某温度区间内维持，在该温度区间内，摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差不超过16，直接写出该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 13．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 14．已知刘伟家、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离刘伟家，体育场离刘伟家，刘伟从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了，之后又匀速步行到文具店，在文具店停留了后，再用匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中刘伟离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 刘伟离开家的时间 3 15 30 50 刘伟离开家的距离 2.5 ②填空：刘伟从文具店匀速散步回家的速度为________； ③当时，请直接写出刘伟离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)刘伟离开家30分钟时，刘伟的哥哥也从体育场出发，以速度匀速步行直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个x的值，刘伟离家的距离为，刘伟的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $