专题06函数 期末复习讲义(12大核心题型精讲+进阶练习)-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题06函数 期末复习讲义 期末复习◆目标 基础概念：辨析常量与变量、自变量与因变量，熟记函数定义，掌握函数的核心判定方法，能快速判断变量间是否为函数关系； 重难点计算：熟练掌握整式、分式、二次根式、实际问题四类题型自变量取值范围求解方法，掌握函数值的基础求法； 函数表示：熟记解析法、列表法、图象法三种表示方式的特点、优缺点，根据题意灵活选择合适的表示方法； 综合应用：规范掌握函数图象绘制步骤，能够实现三种表示方法相互转化，结合函数基础知识解决相关问题。 核心题型◆归纳 题型1.用表格表示变量间的关系 题型2.用关系式表示变量间的关系 题型3.用图象表示变量间的关系 题型4.函数的概念 题型5.函数解析式 题型6.求自变量的取值范围 题型7.求自变量的值或函数值 题型8.函数图象识别 题型9.用描点法画函数图象 题型10.从函数的图象获取信息 题型11.动点问题的函数图象 题型12.函数的三种表示方法 题型13.分层精练9道题 重点知识◆梳理 【知识点一、函数相关概念】 1.常量与变量 常量：在某一固定变化过程中，数值始终保持不变的量。 变量：在某一固定变化过程中，数值可以发生改变的量。 特别提示：常量与变量具有相对性，二者不能脱离具体变化 过程单独判定。 2.自变量与因变量 自变量：主动发生变化的变量，常用字母 x表示； 因变量：随自变量的变化而被动变化的变量，常用字母y表示。 3.函数的定义:在一个变化过程中，存在两个变量x与y，如果对于自变量x取值范围内的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。 4.函数三大判定条件 （1）同一变化过程内，包含两个变量；（2）自变量x在规定范围内取值；（3）一个x只能对应唯一一个y。 5.函数值：当自变量x=a（a为常数）时，对应的y的数值，称为x=a时的函数值。 求解方法：将常数a直接代入函数解析式，计算即可得出对应函数值。 6.自变量的取值范围 （1）整式型：自变量取值为全体实数；示例：y=2x+3： （2）分式型：分母含自变量：限制条件：分母≠0。 示例：y=，取值范围：x≠1； (3)二次根式型：根号内含自变量，限制条件：被开方数≥0。 示例：y=，取值范围：x≥-2； (4)实际应用型：在满足解析式基础规则之上，还需贴合客观实际。 常见要求：长度、路程≥0；人数、物品个数为非负整数。 【重点提醒】若解析式为分式与二次根式混合形式，须同时满足两项限制条件，取取值范围的交集。 【知识点二、 函数的三种表示方法】 函数共有解析法、列表法、图象法三种表示方式，三种形式可互相转化，是解决函数题型的基础工具。 1.三种表示方法对比 表示方法 定义 举例 优点 缺点 解析法 利用完整数学等式，直接反映自变量与函数值之间的对应关系 y=2x-1、y=x^2 表述严谨规范；覆盖全部取值；方便计算函数值，便于研究函数性质 抽象性较强；部分实际问题无法用解析式表示 列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值，直观展示变量关系 统计表格、收费价目表 简单直白；可快速查询固定自变量对应的函数值，上手简单 只能展示有限数据，无法完整反映函数整体变化规律 图象法 平面直角坐标系中，以(x,y)描点连线，用图形表示函数关系 直线、曲线、分段折线 可视化强；直观判断函数增减性、特殊点及变化趋势 数值读取存在误差，仅适合定性分析，难以精准运算 2.函数图象绘制步骤 （1） 列表：在自变量取值范围内，选取若干具有代表性的数值，求出对应函数值，制作表格； （2）描点：以每组(x,y)为坐标，在平面直角坐标系中精准描出对应点位； （3）连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑直线或曲线依次连接所有点位； （4）标注：完善图像信息，标注函数解析式、坐标轴名称、单位长度。 【知识点三、 常考题型与易错汇总】 1.核心常考题型 （1）根据定义判断两个变量是否构成函数关系； （2）求解不同类型解析式自变量的取值范围； （3）已知自变量求函数值、已知函数值反求自变量； （4）完成解析法、列表法、图象法三者之间的相互转化。 2.高频易错点 （1）函数判定：混淆对应关系，误将“一对多”的变量关系判定为函数； （2）取值范围：分式忽略分母不为0、根式忽略被开方数非负； （3）实际问题：未结合客观实际，忽略自变量取值限制（负数、小数无实际义）； （4）画图易错：关键点选取不全、连线顺序混乱、未标注图像基础信息。 题型解析◆精准备考 题型1.用表格表示变量间的关系 1．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（  ） A．当时，温度计上的度数是 B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，结合变量、函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，本选项不符合题意； B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，本选项不符合题意； C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，本选项不符合题意； D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，本选项符合题意． 2．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 3．下表是某市2021年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高： 年龄组/岁 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 平均身高/cm 124 130 135 141 145 151 159 165 168 170 171 172 观察此表，回答下列问题： (1)该市14岁男学生的平均身高是多少？ (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？ (3)这里反映了哪些变量之间的函数关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？ 【答案】(1) . (2) 12岁 (3) 反映了年龄和平均身高两个变量之间的函数关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量 【分析】 （1）直接从表格读取对应数据即可得到结果； （2）先计算相邻年龄的平均身高增长量，比较增长量大小，即可得出平均身高开始增加特别迅速的年龄； （3）第三问根据自变量与因变量的定义，判断两个变量的关系即可． 【详解】（1） 解：根据表格给出的数据，可得该市14岁男学生的平均身高是． （2）解：计算相邻年龄组的平均身高增长量， 结果依次为： 对比各增长量可知，12岁之后身高增长量大幅增加，因此该市男学生的平均身高从12岁开始增加特别迅速； （2） 解：表格中存在两个变量，分别是年龄和男学生的平均身高，平均身高的值随年龄的变化而变化，因此这里反映了年龄和平均身高之间的函数关系. 其中年龄是主动变化的量，是自变量，平均身高随年龄变化而变化，是因变量． 题型2.用关系式表示变量间的关系 1．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出前三天行走的路程，再根据剩余路程等于总路程减去已走路程得出函数关系式即可． 【详解】解：∵第一天行走里，从第二天开始每天走的路程是前一天的一半， ∴第二天行走路程为里，第三天行走路程为里， ∵总路程为里， ∴，整理得． 2．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有存油量减去流出油量解答即可求解． 【详解】解：由题意得，原有存油量为升，分钟流出的油量为升， ∴剩余油量与流出时间的函数解析式是． 3．如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，两个变量分别是_________，_________． (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1)小正方形的边长，阴影部分的面积 (2) (3)阴影部分的面积由减小到 【分析】（1）根据题意可知阴影部分的面积随着小正方形的边长的变化而变化，故两个变量分别为小正方形的边长和阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积列式即可； （3）分别计算出小正方形的边长为1cm，3cm时阴影部分的面积，即可确定阴影部分的面积的变化情况． 【详解】（1）解：自变量是小正方形的边长，函数为阴影部分的面积； （2）解：大正方形的面积为，4个小正方形的面积为，则 阴影部分的面积为； （3）解：当时，， 当时，， 当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积由减小到． 题型3.用图象表示变量间的关系 1．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 2．小华和爸爸在公园里荡秋千，在爸爸的助推下，秋千离地面的高度h（单位：m）与摆动时间t（单位：s）之间的关系如图所示，根据图象，判断秋千离地面的高度h______（填“是”或“不是”）摆动时间t的函数． 【答案】是 【分析】根据函数的定义进行判断即可； 【详解】解：因为对于每一个摆动时间，都有一个唯一的的值与其对应，所以高度是关于的函数． 3．已知二元一次方程． x … 0 1 2 … y … … (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图象上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【分析】（1）根据表格描点连线即可； （2）根据表格作答即可； （3）把代入求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据表格可知，当时，， 当时，， ∴二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、； （3）解：把代入得， 解得：． 题型4函数的概念 1．下列曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对于x的每一个值，y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意． 2．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 【答案】 ①② 【分析】根据函数的定义逐个判断即可，对于的每一个确定值，有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 【详解】解：根据函数的定义，逐一判断： ① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义； ④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义． 因此是的函数的是①②． 3．下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 体重 4200 4900 5600 6300 7000 (1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______； (3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？ 【答案】(1)月龄x，体重y (2) (3) 【分析】本题考查了变量的概念以及探究变量之间的关系，确定变量之间的关系是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义，结合题意，进行判断即可； （2）结合表格，根据每个月婴儿体重增加量不变，求得两个变量之间的关系； （3）根据第二问的结果，将代入函数关系式中，求得y的值即可． 【详解】（1）解：由表可知，体重y随着月龄x的变化而变化， 所以月龄x是自变量，体重y是因变量． 故答案为：月龄x，体重y； （2）解：． 故答案为：； （3）解：当时，， 答：这个婴儿第8个月时体重是． 题型5.函数解析式 1．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用x张白纸的长度减去粘合部分的长度可得一次函数解析式． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， ∴． 2．等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形周长公式列等式推导函数关系式，再结合底边为正和三角形三边关系，确定自变量的取值范围． 【详解】解：由周长公式可得， 整理得． 底边长度大于， ， 解得． 又三角形两边之和大于第三边， ， 即， 将代入不等式得， 解得． 综上可得，． 3．写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过）为每吨2.91元，在这个范围内，水费y（元）是用水吨数x的函数； (2)已知等腰三角形的面积为，设它的底边长为，底边上的高为，y是x的函数； (3)在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为，S是r的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，自变量取值范围为 (2) 函数关系式为，自变量取值范围为 (3) 函数关系式为，自变量取值范围为 【分析】 本题需要根据实际问题中的等量关系推导函数关系式，再结合实际意义和题目给定的限制条件确定自变量的取值范围，用到总价单价数量关系、三角形面积公式、圆面积公式等初中基础知识． 【详解】（1）解：由题意得，水费等于每吨水费乘以用水吨数 因此 用水吨数不能为负数，且题目要求每月每户用水不超过， 因此自变量取值范围为； （2）解：由三角形面积公式可得 整理得 三角形的底边长为正数，因此自变量取值范围为； （3）解：由题意得，圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，而大圆半径为，面积为，小圆面积为 因此 小圆半径为正数，且小于大圆半径， 因此自变量取值范围为． 题型6.求自变量的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】要使函数有意义 需满足且 解不等式，得 解不等式，得 ∴自变量的取值范围是且． 2．函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不能为零，二次根式的被开方数非负，求解自变量x的取值范围． 【详解】解：对于函数，要使函数有意义， 需满足以下条件：分式的分母，二次根式的被开方数， 解得， 因此，自变量x的取值范围是且， 故答案为：且． 3．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3） 解：当时，． 题型7.求自变量的值或函数值 1．函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列各点中，不在这个函数图象上的是（    ） x 10 y 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据表格中与的对应值，找出函数规律，得到函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，再逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可得：，，， 故该函数图象上的点满足， A、，因此该点不在这个函数图象上，故符合题意； B、，该点在这个函数图象上，故不符合题意； C、，该点在这个函数图象上，故不符合题意； D、，该点在这个函数图象上，故不符合题意． 2．果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【答案】20 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据，落下的高度与时间满足关系，将代入即可求解． 【详解】解：观察表格，当时，， 当时，， 以此类推，， 当时，， 故果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 3．地表以下岩层的温度随着深度的变化而变化．某处与之间的关系在一定范围内可以近似地表示成公式：．试分别求出该处地表以下深、、处的岩层温度． 【答案】 深处岩层温度为，深处岩层温度为，深处岩层温度为 【分析】将深度的值代入解析式计算即可得到对应温度． 【详解】解：∵ ， ∴当时，， 深处温度为； 当时，， 深处温度为； 当时，， 深处温度为． 题型8.函数图象识别 1．下列各曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，结合图像利用“垂线法”进行判断即可； 【详解】解：A. 图像是一条直线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； B. 图像是一个圆，作垂直于轴的直线（在圆范围内），与图像有两个交点，即对于同一个，有两个值与之对应，不是函数； C. 图像是折线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数； D. 图像是抛物线，对于每一个，都有唯一的与之对应，是函数． 2．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【答案】（2） 【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系． 故答案为：（2）． 3．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【答案】(1)50 (2)1 (3)10，50 (4)0.5小时 【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程， （1）观察图象可得结论； （2）观察图象可得结论； （3）根据路程除以时间可得答案； （4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米． 故答案为：50； （2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发． 故答案为：1； （3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米， 所以段路程中的平均速度是（千米/小时）； 乙的平均速度是（千米/小时）． 故答案为：10，50； （4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得， ， 解得， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲． 题型9用描点法画函数图象 1．下列函数中，和函数的图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，函数图像对称的性质；取的图象任意一点，再写出这个点关于轴的对称点，然后通过判断点是否满足四个选项中的解析式得到正确答案． 【详解】解：设点为的图象上一点， 点关于轴的对称点为， 而点满足， 所以和函数的图象关于轴对称． 故选：B． 2．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数图象逐项分析判断即可． 【详解】解：（1），故点在函数图象上，原说法正确； （2）函数与函数的图象有两个交点，和，故原说法正确， （3）函数的图象分布在第一三象限，在每个象限内，有y随x的增大而减小的性质，原说法错误； （4）若，则或，原说法错误； （5）当时函数的图象不存在，所以函数的图象不能与y轴相交，原说法正确； 正确的序号为：①②⑤． 故答案为：①②⑤． 3．为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】本题考查了用描点法画函数图像以及利用函数图像解决实际问题： （1）将表格中的数据标在平面直角坐标系中，再用平滑曲线连接即可； （2）①观察图像得到1号杯和2号杯在时的水温，相减即可； ②观察图像，先找到1号杯降温至时的时间，再找到对应时间里2号杯的温度即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：①由图可知，当时，1号杯的水温为，2号杯的水温为， 则水温相差为：； ②由图可知，1号杯茶水经过约后，温度降至，2号杯茶水此时的温度大约为， 即从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为． 题型10.从函数的图象获取信息 1．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（     ） A．当时，该港口水深最深，水深为 B．当时，的值是2或4 C．3时到8时，海水水位一直在下降 D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的实际应用，通过观察图象获取水深随时间变化的信息，结合题意及安全规定进行判断即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，该港口水深最深，但纵坐标明显高于7，即， 故A错误； 当时，对应的值为1或5， 故B错误； 从到，图象呈下降趋势，即水深随时间增加而减小， 则从3时到8时，海水水位一直在下降， 故C正确； 由信息窗②可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能小于， 则该船进出港口要求水深， 由图象可知，当时，，且当时，随的增大而减小， 则当时，，此时不可以进出该港口， 故D错误． 2．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 3．小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了小明在散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的函数关系．你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？ 【答案】小明先走了3分钟，到达离家250米处的一个公共阅报栏前看了5分钟报，又花2分钟向前走了200米，到达离家450米处后返回，走了6分钟到家 【分析】根据函数图象，从转折点考虑得到信息． 【详解】解：由图可得，小明看报的时间为； 看报继续向前走的路程为，所花时间为； 回家所花时间为， 答：小明先走了3分钟，到达离家250米处的一个公共阅报栏前看了5分钟报，又花2分钟向前走了200米，到达离家450米处后返回，走了6分钟到家． 题型11.动点问题的函数图象 1．如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意，得，延长交于点M，且，得到四边形，都是矩形，根据平行线的判定和性质，三角形的面积，求解即可； 【详解】解：当时，点P在上运动，此时，根据图象，得当时，， 设，根据题意，得， ，， 解得， 故， A，B选项都是错误的； 图中各角均为直角， ， ， ，， ， 当时，点P在上运动，此时，， 根据图象，得时，， 根据图象，得点P在上运动了（秒），点P在上运动了（秒）， 故，， 延长交于点M，且， ， 故四边形，都是矩形， 故，， 故选项C错误，选项D正确； 2．如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________． 【答案】10 【分析】由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再根据勾股定理求得即可． 【详解】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ． 3．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 【答案】(1)，， (2)， (3)当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题． （1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值； （2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值； （3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【详解】（1）解：当P在边上时，由图得知：， 当时， ， ∴； 当，即动点P运动时间为6秒时，， ， ∴，； （2）解：由题意得：， P到达中点时，， 又∵， ∴， 即； （3）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴． ①P在段（）， 当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒， 此时， 若， 则，即，不符合题意，舍去； 当时，P的速度为2单位/秒， ， 若， 则，即，符合题意； ②P在段， 此时，不符合题意． ③P在CD段， 此时， 即， 若， 则，即，符合题意； 综上： 或． 当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的． 题型12.函数的三种表示方法 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式． 【详解】解：观察表格数据可知， 当时，，即弹簧原长为，且x每增加，y增加， ∴弹簧总长与所挂重物之间的关系式为． 2．某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是______． 【答案】/ y=2+6x 【分析】观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6，所以x件的销售总价y=8+6（x-1），化简即可． 【详解】解：观察表格，发现：当x每增大1，y就增大6， ∴y=8+6（x-1）=6x+2． 故答案为：y=6x+2． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，根据表格，找到y随自变量x的变化规律，写出函数的关系式，这是解题的关键． 3．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 保质期（天） (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）． 当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可． （2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解． （3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可． 【详解】（1）解：，的图象如图． 令，则，令，则，则过，画图如下： （2）解：对添加剂A，根据图象可得在时，，即可达到； 对添加剂，令，解得， ∴满足要求的浓度更低，选添加剂． 根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， ∴的范围是． （3）解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， ∴成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 2．“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】根据的取值，判断的范围即可求解． 【详解】解：当时，，此时点在第一象限， 当时，，此时点在第二象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 3．在年新国标全面落地后，电动自行车的优点变得更加突出，主要体现在经济省钱、灵活高效以及安全升级三个方面．小红妈妈新买了一辆电动自行车，充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图所示，当电池剩余能量小于时，电动车将自动报警，根据图象，下列结论中错误的是（     ） A．电池能量最多可充 B．电动自行车每行驶消耗能量 C．电动自行车充满电后，行驶时将自动报警 D．一次性充满电后，电动自行车最多行驶 【答案】D 【分析】从函数图象上获取信息即可求解． 【详解】解：、由函数图象可知，当时，，则电池电量最多可充，该选项正确，不符合题意； 、，故电动车每行驶消耗电量，该选项正确，不符合题意； 、，故电动车充满电后，行驶超过将自动报警，该选项正确，不符合题意； 、由函数图象可知，当时，，故一次性充满电后，电动车最多行驶，该选项错误，符合题意． 二、填空题 4．函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 5．如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 【答案】80 【详解】解：根据函数图象可知：小明家离儿童公园有800米，回家的时间为（分钟）， ∴小明回家的速度是（米/分钟）． 6．大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 【答案】/ 【详解】解：由题意，得， 即y与x之间的函数表达式为． 三、解答题 7．截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 【答案】(1)所挂物体的质量 (2)， (3) 【分析】（1）根据变量的定义即可得出答案； （2）根据表格得出不挂物体时，弹簧的长度为，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加，得出伸长量与增加的质量的关系，即可解答； （3）将代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在这个变化过程中，弹簧的长度随着所挂物体的质量的变化而变化， ∴所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为 ，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加， ∵， ∴当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长， ∴y与x之间的关系式为． ∵弹簧最大能够承受的重物， ∴自变量x的取值范围是； （3）解：将代入， 得， 所以， 所以当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 8．分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新正方形周长为，y是x的函数； (2)寄一封质量在以内的市内平信，需邮资0.80元，寄n封这样的信所需邮资为y元，y是n的函数； (3)长方形的周长为，它的面积是它的一条边长的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，自变量取值范围是. (2) 函数关系式为，自变量取值范围是为正整数. (3) 函数关系式为，自变量取值范围是. 【分析】（1）先表示出新正方形的边长，再根据周长公式解答，并求出自变量的取值范围； （2）根据一封信的邮资乘以信的封数等于总邮资解答； （3）先表示出长方形的另一边，再根据面积公式解答． 【详解】（1）解：， ∵，且， ∴； （2）解：根据题意，得，自变量的取值范围是n为正整数； （3）解：根据题意，得， ∵，且， ∴． 9．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，28 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知P在上时，面积不变，由图3可得出动点Q到达点A所用时间； （2）由图2得出P到B所用时间，由图3得出点Q从点C到点A所用时间，根据时间、路程、速度之间关系即可求解； （3）根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图2，图3即可求解； （4）分情况讨论：和两种情况． 【详解】（1）解：长方形中，，， ， 当动点P在线段上运动时，，保持不变； 由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28； （2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：， ， 解得； 由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ， ， 解得； （3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D， 当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A， 结合图2，3，可得： 当时，，， 令，得：， 解得； 当时，，， 满足， 综上可得，x的取值范围为或； （4）解：设动点P，Q走过的路程为，， 当时， ，， ； 当时， ， ， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06函数 期末复习讲义 期末复习◆目标 基础概念：辨析常量与变量、自变量与因变量，熟记函数定义，掌握函数的核心判定方法，能快速判断变量间是否为函数关系； 重难点计算：熟练掌握整式、分式、二次根式、实际问题四类题型自变量取值范围求解方法，掌握函数值的基础求法； 函数表示：熟记解析法、列表法、图象法三种表示方式的特点、优缺点，根据题意灵活选择合适的表示方法； 综合应用：规范掌握函数图象绘制步骤，能够实现三种表示方法相互转化，结合函数基础知识解决相关问题。 核心题型◆归纳 题型1.用表格表示变量间的关系 题型2.用关系式表示变量间的关系 题型3.用图象表示变量间的关系 题型4.函数的概念 题型5.函数解析式 题型6.求自变量的取值范围 题型7.求自变量的值或函数值 题型8.函数图象识别 题型9.用描点法画函数图象 题型10.从函数的图象获取信息 题型11.动点问题的函数图象 题型12.函数的三种表示方法 题型13.进阶练习9道题 重点知识◆梳理 【知识点一、函数相关概念】 1.常量与变量 常量：在某一固定变化过程中，数值始终保持不变的量。 变量：在某一固定变化过程中，数值可以发生改变的量。 特别提示：常量与变量具有相对性，二者不能脱离具体变化 过程单独判定。 2.自变量与因变量 自变量：主动发生变化的变量，常用字母 x表示； 因变量：随自变量的变化而被动变化的变量，常用字母y表示。 3.函数的定义:在一个变化过程中，存在两个变量x与y，如果对于自变量x取值范围内的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。 4.函数三大判定条件 （1）同一变化过程内，包含两个变量；（2）自变量x在规定范围内取值；（3）一个x只能对应唯一一个y。 5.函数值：当自变量x=a（a为常数）时，对应的y的数值，称为x=a时的函数值。 求解方法：将常数a直接代入函数解析式，计算即可得出对应函数值。 6.自变量的取值范围 （1）整式型：自变量取值为全体实数；示例：y=2x+3： （2）分式型：分母含自变量：限制条件：分母≠0。 示例：y=，取值范围：x≠1； (3)二次根式型：根号内含自变量，限制条件：被开方数≥0。 示例：y=，取值范围：x≥-2； (4)实际应用型：在满足解析式基础规则之上，还需贴合客观实际。 常见要求：长度、路程≥0；人数、物品个数为非负整数。 【重点提醒】若解析式为分式与二次根式混合形式，须同时满足两项限制条件，取取值范围的交集。 【知识点二、 函数的三种表示方法】 函数共有解析法、列表法、图象法三种表示方式，三种形式可互相转化，是解决函数题型的基础工具。 1.三种表示方法对比 表示方法 定义 举例 优点 缺点 解析法 利用完整数学等式，直接反映自变量与函数值之间的对应关系 y=2x-1、y=x^2 表述严谨规范；覆盖全部取值；方便计算函数值，便于研究函数性质 抽象性较强；部分实际问题无法用解析式表示 列表法 通过表格罗列自变量与对应函数值，直观展示变量关系 统计表格、收费价目表 简单直白；可快速查询固定自变量对应的函数值，上手简单 只能展示有限数据，无法完整反映函数整体变化规律 图象法 平面直角坐标系中，以(x,y)描点连线，用图形表示函数关系 直线、曲线、分段折线 可视化强；直观判断函数增减性、特殊点及变化趋势 数值读取存在误差，仅适合定性分析，难以精准运算 2.函数图象绘制步骤 （1） 列表：在自变量取值范围内，选取若干具有代表性的数值，求出对应函数值，制作表格； （2）描点：以每组(x,y)为坐标，在平面直角坐标系中精准描出对应点位； （3）连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑直线或曲线依次连接所有点位； （4）标注：完善图像信息，标注函数解析式、坐标轴名称、单位长度。 【知识点三、 常考题型与易错汇总】 1.核心常考题型 （1）根据定义判断两个变量是否构成函数关系； （2）求解不同类型解析式自变量的取值范围； （3）已知自变量求函数值、已知函数值反求自变量； （4）完成解析法、列表法、图象法三者之间的相互转化。 2.高频易错点 （1）函数判定：混淆对应关系，误将“一对多”的变量关系判定为函数； （2）取值范围：分式忽略分母不为0、根式忽略被开方数非负； （3）实际问题：未结合客观实际，忽略自变量取值限制（负数、小数无实际义）； （4）画图易错：关键点选取不全、连线顺序混乱、未标注图像基础信息。 题型解析◆精准备考 题型1.用表格表示变量间的关系 1．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（  ） A．当时，温度计上的度数是 B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是 2．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 3．下表是某市2021年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高： 年龄组/岁 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 平均身高/cm 124 130 135 141 145 151 159 165 168 170 171 172 观察此表，回答下列问题： (1)该市14岁男学生的平均身高是多少？ (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始增加特别迅速？ (3)这里反映了哪些变量之间的函数关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？ 题型2.用关系式表示变量间的关系 1．中国古代数学成就显著，《算法统宗》中有这样的叙述：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半．”大意是：要去路程为里的某关口，第一天腿脚利落快速行走，第二天起，因为脚痛每天只能走前一天一半的路程，设第一天行走里，则此人第三天晚上距离关口的路程（里）与（里）之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 3．如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，两个变量分别是_________，_________． (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 题型3.用图象表示变量间的关系 1．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 2．小华和爸爸在公园里荡秋千，在爸爸的助推下，秋千离地面的高度h（单位：m）与摆动时间t（单位：s）之间的关系如图所示，根据图象，判断秋千离地面的高度h______（填“是”或“不是”）摆动时间t的函数． 3．已知二元一次方程． x … 0 1 2 … y … … (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图象上有一点，求m的值． 题型4函数的概念 1．下列曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A．B． C． D． 2．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 3．下面表格表示在个月之间，这个婴儿的体重y与月龄x之间的关系． 月龄x/月 1 2 3 4 5 体重 4200 4900 5600 6300 7000 (1)如表反映的变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)利用表中数据直接写出该婴儿体重y（g）和月龄x（月）之间的关系式为______； (3)假设该变化规律不变，请计算这个婴儿第8个月时体重是多少？ 题型5.函数解析式 1．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 3．写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： (1)某地民用水费基础标准（每月每户用水不超过）为每吨2.91元，在这个范围内，水费y（元）是用水吨数x的函数； (2)已知等腰三角形的面积为，设它的底边长为，底边上的高为，y是x的函数； (3)在一个半径为的圆形纸片中剪去一个半径为的同心圆，得到一个圆环，设圆环的面积为，S是r的函数． 题型6.求自变量的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 2．函数中自变量的取值范围是__________． 3．已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 题型7.求自变量的值或函数值 1．函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列各点中，不在这个函数图象上的是（    ） x 10 y 1 A． B． C． D． 2．果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 3．地表以下岩层的温度随着深度的变化而变化．某处与之间的关系在一定范围内可以近似地表示成公式：．试分别求出该处地表以下深、、处的岩层温度． 题型8.函数图象识别 1．下列各曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 3．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 题型9用描点法画函数图象 1．下列函数中，和函数的图象关于y轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 3．为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． (2)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 题型10.从函数的图象获取信息 1．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（     ） A．当时，该港口水深最深，水深为 B．当时，的值是2或4 C．3时到8时，海水水位一直在下降 D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 2．在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 3．小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．下图描述了小明在散步过程中离家的距离与散步所用时间之间的函数关系．你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？ 题型11.动点问题的函数图象 1．如图1所示（图中各角均为直角），动点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点 P运动的时间x（秒）变化的函数关系图象如图2所示，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图①，在中，，为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图②所示，则的长为___________． 3．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 题型12.函数的三种表示方法 1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂重物的质量有下面的关系，那么弹簧总长与所挂重物之间的关系式为（    ） 0 1 2 3 4 5 6 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 A． B． C． D． 2．某文具店“六一”期间开展促销活动，销售总价与卖出笔记本数量的关系如表： 数量（件） 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 8 14 20 26 32 … 则售价与数量之间的关系式是______． 3．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 保质期（天） (1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂__________（或）． 当添加剂浓度相同时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天，则浓度的取值范围是__________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为天，当保质期不足天时，每减少天会造成元的损失．当添加剂浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为__________元． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 2．“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（　　） A．第一、二象限B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．在年新国标全面落地后，电动自行车的优点变得更加突出，主要体现在经济省钱、灵活高效以及安全升级三个方面．小红妈妈新买了一辆电动自行车，充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图所示，当电池剩余能量小于时，电动车将自动报警，根据图象，下列结论中错误的是（     ） A．电池能量最多可充 B．电动自行车每行驶消耗能量 C．电动自行车充满电后，行驶时将自动报警 D．一次性充满电后，电动自行车最多行驶 二、填空题 4．函数中自变量的取值范围是____． 5．如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 6．大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 三、解答题 7．截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 8．分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)一个正方形的边长为，它的边长减少后，得到的新正方形周长为，y是x的函数； (2)寄一封质量在以内的市内平信，需邮资0.80元，寄n封这样的信所需邮资为y元，y是n的函数； (3)长方形的周长为，它的面积是它的一条边长的函数． 9．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $